2018-2019学年甘肃省武威市第六中学高二下学期第三次学段考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年甘肃省武威市第六中学高二下学期第三次学段考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019 学年甘肃省武威市第六中学高二下学期第三次学 段考试数学（理）试题 一、单选题 1．已知 是虚数单位，则复数 的虚部是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为 ,所以 的 虚部是 ，故选 B. 2． 一件产品要经过 2 道独立的加工程序，第一道工序的次品率为 a，第二道工序 的次品率为 b，则产品的正品率为(　　) A．1－a－b B．1－ab C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b) 【答案】C 【解析】【详解】 第一道工序的正品率为 1-a，第二道工序的正品率为 1-b 因为产品为正品时需要这两道工序都为正品， 根据独立事件的概率乘法公式可得， 产品的正品率为（1-ａ）（1-ｂ），故选 C 【考点】本题考查了对立与独立事件概率的求法 点评：区分对立事件与独立事件是解决此类问题的关键，属基础题 3．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取 3 000 人，计算发现 k2 ＝6．023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把 握是(　　) P(K2≥k) … 0．25 0．15 0．10 0．025 0．010 0．005 … k … 1．323 2．072 2．706 5．024 6．635 7．879 … A．90% B．95% C．97．5% D．99．5% i ( )21 1 iz i += − 1− i− i ( )21 2i 1 1 iz i i += =− − ( ) ( )( ) 2 1 2 2= = 11 1 2 i i i ii i + − + = − +− + ( )21 1 iz i += − 1 【答案】C 【解析】【详解】 ∵ ∴可断言市民收入增减与旅游欲望有关的把握为 97.5%. 故选 C. 点睛：本题主要考查独立性检验的实际应用.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数 据制成 列联表；（2）根据公式 ，计算出 的 值；（3）查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断. 4．体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球 等四项体自运动中的某一种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项 目的一些判断: ①小红没有踢足球，也没有打篮球； ②小方没有打篮球,也没有打羽毛球； ③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球； ④小强没有踢足球,也没有打篮球. 已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( ) A．踢足球 B．打篮球 C．打羽毛球 D．打乒乓球 【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的逻辑关系进行推理论证即可. 详解：由题意可知：小红、小方、小强都没有打篮球，故小军打篮球； 则小军没有踢足球，且已知小红、小强都没有踢足球，故小方踢足球. 本题选择 A 选项. 点睛：本题主要考查学生的推理能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．设随机变量 的概率分布列为则 （ ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 2 6.023 5.024K = > 2 2× 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2K 2K X ( )3 1P X − = = X P 1 3 m 1 4 1 6 7 12 1 6 1 4 5 12 【答案】D 【解析】先计算出 m 的值，再由 解出 X,再求和。 【详解】 故选 D 【点睛】 本题考查根据分布列计算随机变量的概率，属于基础题。 6．已知随机变量 ，若 ，则 ， 分别是( 　) A．4 和 2.4 B．2 和 2.4 C．6 和 2.4 D．4 和 5.6 【答案】A 【解析】 故选 A． 7．定积分 的值为(　 　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析： = .故选 C. 【考点】1.微积分基本定理；2.定积分的计算. 8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区 户家庭，得到 如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程 ，其中 .据 此估计,该社区一户年收入为 万元的家庭年支出为（ ） 收入 (万元) 支出 (万元) 3 1X − = 1 1 1 11 3 4 6 4m = − − − = ( ) ( ) ( )2 4 1 1 53 1 4 6 12P X P P− = = + = + = 8ξ η+ = (10, 0.4)Bξ  ( )E η ( )D η 10 0.4 10 0.4 4 10 0.4 0.6 2.4B E Dξ ξ ξ∴ = × = = × × = ～（ ， ）， ， ， 8 8 4 8 2.4E E D Dη ξ η ξ η ξ= − ∴ = − = = − = ， （ ） ， （ ） 1 0 (2 )xx e dx+∫ 2e + 1e + e 1e − 1 2 1 2 2 0 1 0 0 ( 2 ) ( ) | ( ) | ( ) |x x x x x xe x dx e x e x e x= =+ = + = + − +∫ ( 1) 1e e+ − = 5 y bx a= +   ˆ ˆˆ0.76, ˆb a y bx= = − 15 x 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 y 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 【答案】B 【解析】根据表格分别计算出 ，再代入回归直线求出 ，再将 代入回归直线， 即可算出。 【详解】 ， 所以 当 时 故选 B 【点睛】 本题考查线性回归直线，线性回归直线过定点 是解题的关键，属于基础题。 9．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用导数求出切线斜率，利用点斜式写出切线，求出切线与坐标轴的交点，再 计算面积。 【详解】 因为 所以 所以切线方程为 化简为 与 x 轴交点为 ，与 y 轴交点为 面积为 故选 D 【点睛】 本题考查利用导数求切线，属于基础题。 10．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 的值为 11.4 11.8 12.0 12.2 x y， ˆa =15x 8.2+8.6+10+11.3+11.9= =105x 6.2+7.5 8 8.5 9.8= 85y + + + = 0.76, =8 0.76 10 0.ˆ 4ˆb a y bx= = − − × = 0.76 0.4y x= + =15x 0.76 15 0.4=11.8y = × + ( )x y， xy e= 2(2 )e， 23 2 e 2 2e 2e 21 2 e xy e= exy′ = 2 2xy e=⇒ =′ 2 2 ( 2)y e e x− = − 2 2 0e x y e− − = (1,0) 2(0, )e− 2 21 12 2 eS e= × × − = ξ 2(1, )N σ ( 2) 0.8P ξ < = (0 1)P ξ< < （　　） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【解析】根据正态密度曲线的对称轴得出 ，然后利用正态密 度曲线的对称性得出 可得出答案。 【详解】 随机变量 服从正态分布 ，所以， ， ， ，故选：B。 【点睛】 本题考查正态分布的应用，意在考查正态密度曲线的对称性，属于基础题。 11．某公司安排五名大学生从事 四项工作,每项工作至少安排一人且每人 只能安排一项工作， 项工作仅安排一人，甲同学不能从事 项工作,则不同的分配方 案的种数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先排特殊再排一般。 【详解】 若甲同学在 项工作，则剩余 4 人安排在 B、C、D 三项工作中，共有 种 若甲同学不在 项工作，，则在 C 或 D 工作，共有 种 所以共有 36+96=132 种，选 C 【点睛】 本题考查排列组合，属于中档题。 12．定义在 R 上的函数 满足： ， ， 是 的导 函数，则不等式 （其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A． B． C． D． ( ) ( )1 1 0.5P Pξ ξ< = > = ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2 1P P P Pξ ξ ξ ξ< < = < < = < − > ξ ( )21,N σ ( ) ( )1 1 0.5P Pξ ξ> = < = ( ) ( ) ( )1 2 2 1 0.8 0.5 0.3P P Pξ ξ ξ∴ < < = < − > = − = ( ) ( )0 1 1 2 0.3P Pξ ξ< < = < < = A B C D、 、 、 A B 96 120 132 240 A 1 2 1 1 3 4 2 1 36C C C C = A 1 1 1 1 1 2 4 2 3 3 2 3( ) 96C C C C C C+ + = ( )f x ( ) 1 ( )f x f x> − ′ (0) 0f = ( )f x′ ( )f x ( ) 1x xe f x e> − ( , 1) (0, )−∞ − +∞ (0, )+∞ ( ,0) (1, )−∞ +∞ ( 1, )− +∞ 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：令 ，则 ， ∵ ，即 ，∴ 恒成立，∴g(x)在 R 上单调 递增， 又 ，∴不等式 ， ∴不等式的解集为 ，故选 B 【考点】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用 点评：解决本题的关键是根据导函数确定原函数 二、填空题 13． 展开式中 的系数是________.(用数字作答) 【答案】 【解析】利用二项式 展开式的通项公式 计算即可得出 【详解】 展开式的通项公式为 所以 的系数为 【点睛】 本题考查二项式 展开式，属于基础题。 14．甲、乙两个小组各 名学生的数学测试成绩的茎叶图如图所示.现从这 名学生 中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件 ，“抽出的学生数学测试成 绩不低于 分”记为事件 .则 的值是______. ( ) ( ) 1x xg x e f x e= − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1x x x xg x e f x e f x e e f x f x′ ′ ′ = + − = + −  ( ) ( )1f x f x> − ′ ( ) ( ) 1 0f x f x −′+ > ( ) 0g x′ > ( ) ( )0 00 0 1 0g e f e= − + = ( ) ( ) ( )1 1 0 0x x x xe f x e e f x e g x> − ⇒ − + > ⇒ > ( )0, ∞+ 91( )x x + 3x 84 ( )na b+ 1= r r n r r nT C a b − + 91( )x x + 9 2 9 1 9 9 1= r r r r r rT C x C xx − − +   =   2 9 3 6r r− = ⇒ = 3x 6 9 84C = ( )na b+ 10 20 A 85 B ( )P A B 【答案】 【解析】首先计算抽出的学生数学测试成绩不低于 分的人数，再计算其中为甲组的 人数，再做商即可。 【详解】 测试成绩不低于 分的甲组有 5 个，乙组有 4 个， 所以 【点睛】 本题考查条件概率，属于基础题。 15．当 x∈(1,2)时，不等式 x2＋mx＋4＜0 恒成立，则 m 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 令 ，则 的图像是开口向上的抛物线， 要当 时， 恒成立，只需 ，解得 . 点睛：本题主要考查了二次函数的图象与性质，不等式的恒成立问题的求解，其中把 不等式的恒成立问题转化为一元二次函数的图象与性质是解答的关键，对于不等式的恒 成立问题常见解法分离参数法和利用函数的性质、函数的最值，平时要注意总结和积累. 16．在矩形 中，对角线 与相邻两边所成的角分别为 、 ，则有 ，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体 中，对角线 与相邻三个面所成的角分别为 、 、 ，则 __________. 【答案】 【解析】试题分析： 我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质，在长 方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是 、 ,则有 ，我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，因为长方体 5 9 85 85 ( ) 5 5= =5+4 9P A B ( ], 5−∞ − ( ) 2 4f x x mx= + + ( )f x (1,2)x∈ ( ) 0f x < (1) 1 4 0 (2) 4 2 4 0 f m f m = + + ≤  = + + ≤ 5m ≤ − ABCD AC α β 2 2cos cos 1α β+ = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AC α β γ 2 2 2cos cos cosα β γ+ + = α β 2 2cos cos 1α β+ = 中，如图,对角线 与过 点的三个面 、 所成的 角分别为 、 、 ， ， ，令同一顶点出发的三个棱的长分别 为 ，则有 ，故答案为 . 考点: 1、类比推理；2、直线和平面成的角. 三、解答题 17．选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 为参数），M 为 上 的动点，P 点满足 ，点 P 的轨迹为曲线 ． （I）求 的方程； （II）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 的异于极 点的交点为 A，与 的异于极点的交点为 B，求|AB|． 【答案】（1） 的参数方程为 （ 为参数）（2） 【解析】(I)本小题属于相关点法求 P 点的轨迹方程.设 P(x，y)，则由条件知 M( ). 由于 M 点在 C1 上，可得到点 P 的轨迹方程. (II)解本小题的关键是先确定 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ．然后根据 求值即可. 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AC A ABCD 1111 DCBA α β γ 1 1 1 cos ,cos ,ABAC AC AC α β∴ = = 1 1 cos AD AC γ = 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 cos cos cos AC AB AD AC α β γ + +∴ + + = , ,a b c 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 cos cos cos AC AB AD AC α β γ + ++ + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b a c b c a b c + + + + += =+ + 2 1C 2cos{ (2 2sin x y α αα = = + 1C 2OP OM=  2C 2C 3 πθ = 1C 2C 2C 4 4 4 x cos y sin α α =  = + α 2 3AB = 1C 4sinρ θ= 2C 8sinρ θ= 2 1AB ρ ρ= − 解：（I）设 P(x，y)，则由条件知 M( ).由于 M 点在 C1 上，所以 即 从而 的参数方程为 （ 为参数）……………… 5 分 （Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ．射 线 与 的交点 的极径为 ，射线 与 的交点 的极径为 ． 所以 .……………… 10 分 18．甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概 率为 . （1）记甲击中目标的次数为 ，求 的概率分布及数学期望； （2）求乙至多击目标 2 次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率. 【答案】（1）分布列见解析， ；（2） ； （3） . 【解析】(1) 的可能取值为 ，根据独立事件概率公式求出各随机变量对应的概 率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得 的数学期望；(2) 根据独立事件与对立 事件的概率公式求解即可；(3) 根据互斥事件的概率公式以及独立事件的概率公式求解 即可. 【详解】 (1) 的概率分布列为 0 1 2 3 P 2cos ,2{ 2 2sin2 x y = ∂ = + ∂ 2C 4cos{ 4 4sin x y α α = = + α 1C 4sinρ θ= 2C 8sinρ θ= 3 πθ = 1C A 1 4sin 3 πρ = 3 πθ = 2C B 2 8sin 3 πρ = 2 1 2 3AB ρ ρ= − = 1 2 2 3 ξ ξ 1.5 19 27 1 24 ξ 0,1,2,3 ξ ξ ξ ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝1.5 或 ＝3× ＝1.5. (2)乙至多击中目标 2 次的概率为 1－C ( )3＝ . (3)设甲恰好比乙多击中目标 2 次为事件 A，甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次为事 件 B1，甲恰击中目标 3 次且乙恰击中目标 1 次为事件 B2，则 A＝B1＋B2，B1、B2 为互 斥事件， P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝ × ＋ × ＝ . 19．在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程 为参数),以 原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . 求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程； 若 与 交于 两点，设 ，求 . 【答案】 ， ； . 【解析】曲线 C,两边同乘 利用公式 化简，直线 l 消参即 可。 先将直线 的参数方程 为参数)化为 为参数)，再利用参数 t 的几何意义解。 【详解】 由 ,得 , 化为直角坐标方程得 , 即曲线 的直角坐标方程为 . 在直线 的参数方程中,由 ,得 , 代入 ,可得 , ( )E ξ ( )E ξ xOy l 2 (3 2 x t ty t = +  = − O x C cosρ θ= 4 ( )1 C l ( )2 l C ,A B ( )2,3M 2 2| |MA MB+ ( )1 2 2 4 0x y x+ − = 2 7y x= − + ( )2 94 5 ρ 2 2 2cos ,sin x x yy ρ θ ρρ θ = = + = l 2 (3 2 x t ty t = +  = − 12 5 (23 5 x t t y t  = +  = − ( )1 cosρ θ= 4 2 4 cosρ ρ θ= 2 2 4x y x+ = C 2 2 4 0x y x+ − = l 2x t= + 2t x= − 3 2y t= − 3 2( 2)y x= − − 即直线 的普通方程为 . 把 代入曲线 的直角坐标方程， 得 , 整理得 . 设 对应的参数分别为 , 则 , ,显然 . 设 , , 则 ， 所以 . 【点睛】 本题考查极坐标与参数方程，需要注意的是参数方程中参数是否具有几何意义，属于基 础题。 20．2017 年 10 月 18 日上午 9:00，中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开 幕.习近平代表第十八届中央委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会 夺取新时 代中国特色社会主义伟大胜利》的报告. 人们通过手机、电视等方式关注十九大盛况. 某调查网站从观看十九大的观众中随机选出 200 人，经统计这 200 人中通过传统的传媒 方式电视端口观看的人数与通过新型的传媒方式 PC 端口观看的人数之比为 4∶1.将这 200 人按年龄分组：第 组 ，第 组 ，第 组 ，第 组 ，第 组 ，其中统计通过传统的传媒方式电视端口观看的观众得到的 频率分布直方图如图所示. （1）求 a 的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄； l 2 7y x= − + ( )2 2 , 3 2x t y t= + = − C 2 2(2 ) (3 2 ) 4(2 ) 0t t t+ + − − + = 25 12 5 0t t− + = ,A B 1 2,t t 1 2 12 5t t+ = 1 2 1t t = 1 20, 0t t> > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 2 2 12 3 2 5MA x y t t t= − + − = + − = ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 22 3 2 5MB x y t t t= − + − = + − = ( ) ( )2 22 2 1 2| | 5 5MA MB t t+ = + ] [2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 12 945( ) 5[( ) 2 5 ( ) 2 1]5 5t t t t t t= + = + − = − × = 1 [15,25) 2 [25,35) 3 [35,45) 4 [45,55) 5 [55,65] （2）把年龄在第 1，2，3 组的观众称为青少年组，年龄在第 4，5 组的观众称为中老年 组，若选出的 200 人中通过新型的传媒方式 PC 端口观看的中老年人有 12 人，请完成 下面 列联表，则能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为观看十九大的方式与 年龄有关？ 通过 PC 端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计 青少年 中老年 合计 附： （其中 样本容量）. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) ;41.5. (2)列联表见解析；不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为观看十九大的方式与年 龄有关. 【解析】（1）由频率分布直方图可得： ，解得 ，所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为： . （2）由题意得 列联表： 通过 PC 端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计 青少年 28 96 124 中老年 12 64 76 合计 40 160 200 2 2× 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 2 0( )P K k≥ 0k 0.035a = ( )10 0.01 0.015 0.03 0.01 1a× + + + + = 0.035a = 20 10 0.01+30 10 0.015+40 10 0.035+50 10 0.03+60 10 0.01=41.5× × × × × × × × × × 2 2× 计算得 的观测值为 ， 所以不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关. 21．已知函数 ，其中 . （Ⅰ）若函数 在其定义域内单调递减,求实数 的取值范围; （Ⅱ）若 ,且关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根, 求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ） . 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ） 的定义域是 ，由于函数 在其定义 域内单调递减，所以 在 时恒成立，即 在 恒成立.解 法一：因为 ，所以二次函数开口向下，对称轴 ，问题转化为 ；即可求出 a 的范围；解法二，分离变量，得 在 恒成立，即 ，当 时， 取最小值 ， 即可求出 a 的范围；（Ⅱ）由题意 ，即 ， 设 则 列表可知 ， ，又 ， 方程 在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.根据函数图象可知 ， 即 可求出 b 的范围. 试题解析：解：（Ⅰ） 的定义域是 ，求导得 依题意 在 时恒成立，即 在 恒成立. 这个不等式提供 2 种解法，供参考 2K ( )2200 28 64 12 96 1.3582 2.70640 160 124 76k × × − ×= ≈ <× × × 21( ) 2 ln2f x ax x x= + − 0a < ( )f x a 1 2a = − x 1( ) 2f x x b= − [1,4] b ( , 1]−∞ − 5ln 2 2 4b− < ≤ − ( )f x (0, )+∞ ( )f x ( ) 0f x′ ≤ 0x > 2 2 1 0ax x+ − ≤ 0x > 0a < 1 0x a = − > 22 4 0a∆ = + ≤ 2 2 1 2 1( 1) 1xa x x −≤ = − − 0x > 1x = 21( 1) 1x − − 1− 21 12 ln4 2x x x x b− + − = − 21 3 ln 04 2x x x b− + − = 21 3( ) ln ( 0).4 2g x x x x b x= − + − > ( 2)( 1)( ) .2 x xg x x −′ −= 5( ) (1) 4g x g b= = − −极大值 (4) 2ln 2 2g b= − − ( ) 0g x = (1) 0 { (2) 0 (4) 0 g g g ≥ < ≥ ( )f x (0, )+∞ 21 2 1( ) 2 ( 0)ax xf x ax xx x + −= + − = >′ ( ) 0f x′ ≤ 0x > 2 2 1 0ax x+ − ≤ 0x > 解法一：因为 ，所以二次函数开口向下，对称轴 ，问题转化为 所以 ，所以 的取值范围是 解法二，分离变量，得 在 恒成立，即 当 时， 取最小值 ，∴ 的取值范围是 （Ⅱ）由题意 ，即 ， 设 则 列表： ­ 极大值 ¯ 极小值 ­ ∴ ， ，又 方程 在[1，4]上恰有两个不相等的实数根. 则 ， 得 （注意 ） 【考点】1.导数在研究函数单调性中的应用；2.函数的零点与方程的根. 22．已知函数 . 若曲线 在点 处的切线平行于 轴,求函数 的单调区间； 若 时,总有 ,求实数 的取值范围. 0a < 1 0x a = − > 22 4 0a∆ = + ≤ 1a ≤ − a ( , 1]−∞ − 2 2 1 2 1( 1) 1xa x x −≤ = − − 0x > 1x = 21( 1) 1x − − 1− a ( , 1]−∞ − 21 12 ln4 2x x x x b− + − = − 21 3 ln 04 2x x x b− + − = 21 3( ) ln ( 0).4 2g x x x x b x= − + − > ( 2)( 1)( ) .2 x xg x x −′ −= x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) ( )g x′ + 0 − 0 + ( )g x 5( ) (1) 4g x g b= = − −极大值 (4) 2ln 2 2g b= − −  ( ) 0g x = (1) 0 { (2) 0 (4) 0 g g g ≥ < ≥ 5ln 2 2 4b− < ≤ − 5 1 2ln 2 24 − < − < − 2 2( ) xf x e ax e x= + − ( )1 ( )y f x= ( )(2, 2 )f x ( )f x ( )2 ( )0,1x∈ 2( ) 1xf x xe e x> − + a 【答案】 当 时， ， 在 上单调递减；当 时, ， 在 上单调递增； . 【解析】曲线 在点 处的切线平行于 轴等价于 在 处的导数等于 0.解出 a 的值，再求导判断正负号，写出单调区间。 将 带入不等式，化简整理为 ，转化为讨论 ，在 上的最大值 ，求出 a 的取 值范围。 【详解】 由 得: 在点 处的切线斜率 ，则 . 此时 ， . 由 ，得 . 当 时， ， 在 上单调递减； 当 时, ， 在 上单调递增. 由 得: . 设 ， ，则 . ， . ① 当 ，即 时， ， 在 上单调递增， ，不合要求，应舍去. ② 当 ，即 时， ， 在 上单调递减， ，满足要求. ③ 当 ，即 时，令 得 . 当 时， 在 上单调递减;当 时， 在 上单调递增. ， 令 得 . ( )1 ( ),2x∈ −∞ '( ) 0f x < ( )f x ( ),2−∞ ( )2,x∈ +∞ '( ) 0f x > ( )f x ( )2,+∞ ( )2 [1 )+ ∞， ( )y f x= ( )(2, 2 )f x ( )y f x= ( )(2, 2 )f ( )f x 2( 1) 1 0xx e ax− − + < 2( ) ( 1) 1xg x x e ax= − − + )1(0x∈ ， max( ) 0g x < ( )1 2'( ) 2xf x e ax e= + − ( )y f x= ( )(2, 2 )f 4 0k a= = 0a = 2( ) xf x e e x= − 2'( ) xf x e e= − '( ) 0f x = 2x = ( ),2x∈ −∞ '( ) 0f x < ( )f x ( ),2−∞ ( )2,x∈ +∞ '( ) 0f x > ( )f x ( )2,+∞ ( )2 2( ) 1xf x xe e x> − + 2( 1) 1 0xx e ax− − + < 2( ) ( 1) 1xg x x e ax= − − + )1(0x∈ ， '( ) ( 2 )xg x x e a= − (01)x∈ ， 1 xe e∴ < < 2 1a ≤ 1 2a ≤ '( ) 0g x > ( )g x (0 )1， ( )( ) 0 0g x g∴ > = 2a e≥ 2 ea ≥ )'( 0g x < ( )g x (0 )1， ( )( ) 0 0g x g∴ < = 1 2a e< < 1 2 2 ea< < '( ) 0g x = (2 )x ln a= 0 (2 )x ln a< < '( ) ( )g x g x< ，0 (0 (2 ))ln a， (2 ) 1ln a x< < '( ) 0 ( )g x g x> ， ( (2 ) 1)ln a ， ( ) ( )0 0 1 1g g a= = − + ， ∴ ( )1 1 0g a= − + ≤ 1 2 ea≤ < 综合得， 的取值范围为 . 【点睛】 本题考查利用导数求单调区间、利用导数说明单调性去证明不等式。属于中档题。 a [1 )+ ∞，