高考数学专题复习:数学归纳法

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高考数学专题复习:数学归纳法

‎2.3 数学归纳法 一、选择题 ‎1、用数学归纳法证明不等式“++…+> (n>2)”时的过程中,由n=k到n=k+1时,不等式的左边(  )‎ A.增加了一项 B.增加了两项, C.增加了两项,,又减少了一项 D.增加了一项,又减少了一项 ‎2、用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”时,第一步验证n=1时,命题成立,第二步归纳假设应写成(  )‎ A.假设n=2k+1(n∈N*)时命题正确,再推证n=2k+3时命题正确 B.假设n=2k-1(k∈N*)时命题正确,再推证n=2k+1时命题正确 C.假设n=k(k∈N*)时命题正确,再推证n=k+2时命题正确 D.假设n≤k(k∈N*)时命题正确,再推证n=k+2时命题正确 ‎3、用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n+1)(n∈N*),从“k到k+‎1”‎左端需增乘的代数式为(  )‎ A.2k+1 B.2(2k+1)‎ C. D. ‎4、已知f(n)=1+++…+(n∈N*),证明不等式f(2n)>时,f(2k+1)比f(2k)多的项数是(  )‎ A.2k-1项 B.2k+1项 C.2k项 D.以上都不对 ‎5、用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取(  )‎ A.2 B.‎3 C.5 D.6‎ ‎6、用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1时,等号左边的项是(  )‎ A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3‎ 二、填空题 ‎7、已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an (n∈N*).依次计算出S1,S2,S3,S4后,可猜想Sn的表达式为________________.‎ ‎8、用数学归纳法证明:1+2+22+…+2n-1=2n-1 (n∈N*)的过程如下:‎ ‎(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1.所以当n=k+1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*,等式都成立.上述证明的错误是________________________.‎ ‎9、用数学归纳法证明:1+2+3+…+n2=时,则n=k+1时的左端应在n=k时的左端加上____________________________.‎ 三、解答题 ‎10、等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.‎ ‎(1)求r的值;‎ ‎(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*),‎ 证明:对任意的n∈N*,不等式··…·>成立.‎ ‎11、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在正整数m,使得对任意n∈N*都能使m整除f(n),‎ 则最大的m的值为多少?并证明之.‎ ‎12、在数列{an}中,a1=,an+1=(n=1,2,3,…)‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.‎ ‎13、试比较2n+2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C [当n=k时,左边=++…+.‎ 当n=k+1时,左边=++…+=++…++‎ .]‎ ‎2、B [因n为正奇数,所以否定C、D项;当k=1时,2k-1=1,2k+1=3,故选B.]‎ ‎3、B [当n=k时左端为(k+1)(k+2)·…·(k+k),当n=k+1时,左端为(k+2)(k+3)…(k ‎+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1),即(k+2)(k+3)…(k+k)·(2k+1)(2k+2).‎ 观察比较它们的变化知增乘了 ‎=2(2k+1).]‎ ‎4、C [观察f(n)的表达式可知,右端分母是连续的正整数,f(2k)=1++…+,‎ 而f(2k+1)=1++…++++…+.‎ 因此f(2k+1)比f(2k)多了2k项.]‎ ‎5、C [当n取1、2、3、4时2n>n2+1不成立,当n=5时,25=32>52+1=26,第一个 能使2n>n2+1的n值为5.]‎ ‎6、C [当n=1时,an+1=a2.‎ ‎∴等号左边的项是1+a+a2.]‎ 二、填空题 ‎7、Sn= 解析 S1=1,S2=,S3==,S4=,‎ 猜想Sn=.‎ ‎8、没有用到归纳假设,不是数学归纳法.‎ ‎9、(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2‎ 三、解答题 ‎10、(1)解 由题意:Sn=bn+r,‎ 当n≥2时,Sn-1=bn-1+r.‎ 所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1),‎ 由于b>0且b≠1,‎ 所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列.‎ 又a1=b+r,a2=b(b-1),‎ =b,即=b,解得r=-1.‎ ‎(2)证明 当b=2时,由(1)知an=2n-1,‎ 因此bn=2n(n∈N*),‎ 所证不等式为··…·>.‎ ‎①当n=1时,左式=,右式=.‎ 左式>右式,所以结论成立,‎ ‎②假设n=k(k∈N*)时结论成立,‎ 即··…·>,‎ 则当n=k+1时,‎ ··…· ‎>·=.‎ 要证当n=k+1时结论成立,‎ 只需证≥,‎ 即证≥,‎ 由基本不等式= ‎≥成立,‎ 故≥成立,‎ 所以当n=k+1时,结论成立.‎ 由①②可知,n∈N*时,不等式··…·>成立.‎ ‎11、解 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,‎ f(3)=360=10×36,‎ ‎∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除.‎ 证明:n=1,2时,由上得证,假设n=k(k∈N*,k≥2)时,‎ f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,‎ 则n=k+1时,‎ f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k ‎=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k ‎=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2).‎ ‎∴f(k+1)能被36整除.‎ 因此,对任意n∈N*,f(n)都能被36整除.‎ 又∵f(1)不能被大于36的数整除,‎ ‎∴所求最大的m值等于36.‎ ‎12、解 (1)a2===,‎ a3===.‎ ‎(2)猜想an=,下面用数学归纳法证明此结论正确.‎ 证明:①当n=1时,结论显然成立.‎ ‎②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即ak=,‎ 那么ak+1== ‎==.‎ 也就是说,当n=k+1时结论成立.‎ 根据①②可知,结论对任意正整数n都成立,‎ 即an=.‎ ‎13、证明 当n=1时,21+2=4>n2=1,‎ 当n=2时,22+2=6>n2=4,‎ 当n=3时,23+2=10>n2=9,‎ 当n=4时,24+2=18>n2=16,‎ 由此可以猜想,‎ ‎2n+2>n2 (n∈N*)成立.‎ 下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当n=1时,左边=21+2=4,右边=1,‎ 所以左边>右边,所以原不等式成立.‎ 当n=2时,左边=22+2=6,‎ 右边=22=4,所以左边>右边;‎ 当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,‎ 所以左边>右边.‎ ‎②假设n=k时(k≥3且k∈N*)时,不等式成立,‎ 即2k+2>k2,那么n=k+1时,‎ ‎2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.‎ 要证当n=k+1时结论成立,‎ 只需证2k2-2≥(k+1)2,‎ 即证k2-2k-3≥0,‎ 即证(k+1)(k-3)≥0.‎ 又∵k+1>0,k-3≥0,‎ ‎∴(k+1)(k-3)≥0.‎ 所以当n=k+1时,结论成立.‎ 由①②可知,n∈N*,2n+2>n2.‎
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