湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学(理)(四)试卷

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湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学(理)(四)试卷

湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学(理)(四)试卷 理科数学 测试范围:学科内综合.共150分,考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.已知全集是不大于5的自然数集,,,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在复平面内,复数在复平面内对应的点分别为,则复数的共轭复数的虚部为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸,问芒种日影长为 ( )‎ A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸 ‎4.执行如图所示程序框图输出的值为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知函数的定义域为,满足:①对任意,都有,②对任意且,都有,则函数叫“成功函数”,下列函数是“成功函数”的是 ( )‎ A. ‎ B.‎ C. D.‎ ‎6.某研究员为研究某两个变量的相关性,随机抽取这两个变量样本数据如下表:‎ ‎0.04‎ ‎1‎ ‎4.84‎ ‎10.24‎ ‎1.1‎ ‎2.1‎ ‎2.3‎ ‎3.3‎ ‎4.2‎ 若依据表中数据画出散点图,则样本点都在曲线附近波动.但由于某种原因表中一个值被污损,将方程作为回归方程,则根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为 ( )‎ A. B.1.69 C.1.96 D.4.32‎ ‎7.已知变量满足约束条件,若恒成立,则实数的最大值为 ( )‎ A.40 B.9 C.8 D.‎ ‎8.已知是双曲线的左、右焦点,是双曲线右支上一点,是线段的中点,是坐标原点,若周长为(为双曲线的半焦距),,则双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.某简单组合体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.在四棱锥中,是边长为6的正三角形,是正方形,平面平面,则该四棱锥的外接球的体积为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在中,曲线上动点满足,,,若曲线与直线围成封闭区域的面积为,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若()恰有1个零点,则实数的取值范围为 ( )‎ A. B. C D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.)‎ ‎13.已知展开式的各项系数和为128,则展开式中含项的系数为 .‎ ‎14.在梯形中,,,,,,,则向量= .‎ ‎15.已知函数图象相邻的一个最大值点和一个对称中心分别为,则在区间的值域为 .‎ ‎16.已知直线与抛物线自下到上交于,是抛物线准线与直线的交点,是抛物线的焦点,若,则以为直径的圆的方程为 .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)已知数列前项和为.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎18.(12分)中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化,在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛,为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况,从参赛的人员中随机抽取名人员的成绩(满分100分)作为样本,将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如下图所示,已知抽取的人员中成绩在[50,60)内的频数为3.‎ ‎(1)求的值和估计参赛人员的平均成绩(保留小数点后两位有效数字);‎ ‎(2)已知抽取的名参赛人员中,成绩在[80,90)和[90,100]女士人数都为2人,现从成绩在[80,90)和[90,100]的抽取的人员中各随机抽取2人,记这4人中女士的人数为,求的分布列与数学期望.‎ ‎19.(12分)在多面体中,为菱形,,为正三角形.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若平面平面,求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎20.(12分)已知是椭圆的左、右焦点,离心率为,是平面内两点,满足,线段的中点在椭圆上,周长为12.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若与圆相切的直线与椭圆交于,求(其中为坐标原点)的取值范围.‎ ‎21.(12分)已知.‎ ‎(1)若函数在点的切线与圆相切,求实数的值.‎ ‎(2)已知,当时,求实数的取值范围.‎ 请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22.(10分)选修4—4坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴非负半轴为极轴,长度单位相同,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线过点,倾斜角为.‎ ‎(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,写出直线的参数方程的标准形式;‎ ‎(2)已知直线交曲线于两点,求.‎ ‎23.(10分)选修4—5不等式选讲 ‎(1)已知函数,当时,恒成立,求实数的最小值.‎ ‎(2)已知正实数满足,,求的最小值.‎ 理科数学答案与解析 ‎1.【答案】B【解析】由题可知,,,,则,故选B. ‎ ‎2.【答案】B【解析】由题知,,所以,其共轭复数为,故虚部为,故选B.‎ ‎3.【答案】B【解析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为,是其前项和,则尺,所以尺,由题知,所以,所以公差,所以尺,故选B.‎ ‎4.【答案】D【解析】由程序框图知,输出 ‎,故选D.‎ ‎5.【答案】B【解析】由任意,都有知是奇函数,由任意且,都有知是增函数,因为在定义域上是奇函数,但在定义域上不是单增函数,故A错;因为是奇函数,,所以在定义域上是增函数,故B正确;由增性排除C,D.故选B.‎ ‎6.【答案】C【解析】设缺失的数据为,则样本数据如下表所示:‎ ‎0.2‎ ‎1‎ ‎2.2‎ ‎3.2‎ ‎1.1‎ ‎2.1‎ ‎2.3‎ ‎3.3‎ ‎4.2‎ 其回归直线方程为,由表中数据额可得,,由线性回归方程得,,即,解得.故选C.‎ ‎7.【答案】D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,设表示可行域内点与点距离的平方减去1,由题知,过作直线的垂线,由图可知,垂足在线段上,因为点到直线的的距离,所以,故选D.‎ ‎8.【答案】C【解析】连接,因为是线段的中点,由三角形中位线定理知,由双曲线定义知,因为周长为,所以,‎ 解得,在中,‎ 由余弦定理得,‎ 即,整理得,,所以,所以双曲线的渐近线方程为,故选C.‎ ‎9.【答案】A【解析】由三视图知,该三视图对应的几何体为如图所示的四棱锥和一个底面半径为4高为3的四分之一圆锥组成的组合体,四棱锥可以看成是以两直角边分别为的直角三角形为底面,高为4的棱柱截去一个体积为棱柱体积的棱锥得到的,故该几何体的体积为,故选A.‎ ‎ ‎ ‎ 第9题图 第10题图 第12题图 ‎10.【答案】D【解析】取BC的中点为,分别是正三角形ABC的中心和正方形BCDE的中心,O是该四棱锥外接球的球心,连接,则N在线段AM上,OF⊥平面BCDE,ON⊥平面ABC,OM⊥BC,AM⊥BC,MF⊥BC,所以∠AMF为二面角A—BC—D的平面角,因为平面ABC⊥平面BCD,所以AM⊥MF,又,所以,所以四边形OEMF为矩形,所以,在直角三角形OMB中,球半径,所以外接球的体积为,故选D.‎ ‎11.【答案】A【解析】设,则在直线上,且,,由知,,所以点在直线上,故曲线与直线围成封闭区域就是,由得,,所以,解得,所以,由余弦定理知,‎ ‎,解得,‎ 由正弦定理得,,所以,故选A.‎ A. ‎【答案】B【解析】由恰有1个零点,方程恰有1个解,即方程恰有1个解,即函数的图象与直线在上恰有1个交点,因为,当时,,当时,,所以在区间上都是减函数,在是增函数,当时,取极小值,直线过点,斜率为,显然是函数的图象与直线的一个交点,这两个图象不能有其他交点,作出函数与的图象,由图可知,当时,直线应在函数()的图象上方,设,‎ 即恒成立,因为,只需为减函数,所以,‎ 即恒成立,设,设,则,‎ ‎,当且仅当,即,即,‎ 即时,,所以,当时,直线与相切,也适合,故满足题意的取值范围为,故选B.‎ ‎13.【答案】【解析】令得,,解得,将看成7个相乘,要得到含项,则这7个因式中2个因式取,余下5个因式中3个取,余下2个因式取2,所以含项的系数为.‎ ‎14.【答案】【解析】由知,,以为原点,以向量分别为轴的正方向建立平面直角坐标系,则,设,则,所以,解得,所以,设,所以,所以,因为在上,所以,所以,解得,所以,,所以.‎ ‎15.【答案】【解析】由题知,,,所以,解得,由,,解得,所以,所以,因为,所以,所以,所以,所以在区间的值域为.‎ ‎16.【答案】【解析】因为,所以焦点在直线上,且,过作抛物线准线的垂线,垂足为,由抛物线定义知,,所以,所以,即直线的倾斜角为,所以直线方程为,代入整理得,,设,线段的中点坐标为,则,所以,,,所以以为直径的圆的方程为.‎ ‎17.【解析】‎ ‎(1)由题知=,即,‎ 即,(2分)‎ ‎,,‎ 数列是首项为3,公比为3的等比数列,(4分)‎ ‎,;(6分)‎ ‎(2)由(1)知,,‎ ‎,(7分)‎ 设, ①‎ ‎ ②‎ ‎①-②得,,‎ ‎,,(11分)‎ ‎.(12分)‎ ‎18.【解析】‎ ‎(1)由频率分布直方图知,成绩在频率为 ‎,‎ 成绩在[50,60)内频数为3,抽取的样本容量,(2分)‎ 参赛人员平均成绩为.(4分)(2)由频率分布直方图知,抽取的人员中成绩在[80,90)的人数为0.0125×10×40=5,‎ 成绩在[90,100]的人数为0.0100×10×40=4,‎ 的可能取值为0,1,2,3,4,(5分)‎ ‎;,‎ ‎,,‎ ‎.(10分)‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ (11分)‎ ‎.(12分)‎ ‎19.【解析】‎ ‎(1)取的中点为,连接,‎ 为正三角形,,‎ 为菱形,,为正三角形,,,‎ 平面,.(5分)‎ ‎(2)由(1)知,,平面平面,平面,(6分)‎ 以为原点,分别为轴建立如图所示空间直角坐标系,设,‎ 直线与平面所成的角,则,‎ 则,(7分)‎ 设平面的法向量为,‎ 则,取,‎ 则,,,(9分)‎ ‎,直线 与平面所成的角的正弦值为.(12分)‎ ‎20.【解析】‎ ‎(1)连接,,,‎ 是线段的中点,是线段的中点,,‎ 由椭圆的定义知,,‎ 周长为,‎ 由离心率为知,,解得,,‎ 椭圆的方程为.(4分)‎ ‎(2)当直线的斜率不存在时,直线,代入椭圆方程解得,此时,(5分)‎ 当直线的斜率存在时,设直线的方程为,‎ 由直线与圆相切知,,,(6分)‎ 将直线方程代入椭圆的方程整理得,‎ ‎,‎ 设,则,,‎ ‎,(8分)‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,,‎ ‎,(11分)‎ 综上所述,的取值范围为.(12分)‎ ‎21.【解析】‎ ‎(1)由题知,,,‎ 在点的切线斜率为,‎ 在点的切线方程为,即,(2分)‎ 由题知,,解得.(4分)‎ ‎(2)设,(5分)‎ 设,,‎ 当时,,,,,‎ 即在上是增函数,,(7分)‎ 当时,,则当时,,‎ 函数在上是增函数,当时,,满足题意,(9分)‎ 当时,,‎ 在上是增函数,趋近于正无穷大时,趋近于正无穷大,‎ 存在上,使,‎ 当时,,函数在是减函数,‎ 当时,,不满足题意,(11分)‎ 综上所述,实数的取值范围为.(12分)‎ ‎22.【解析】‎ ‎(1)由得,,‎ 将代入上式整理得,‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为,(3分)‎ 由题知直线的标准参数方程为(是参数).(5分)‎ ‎(2)设直线与曲线交点对应的参数分别为,‎ 将直线的标准参数方程为(是参数)代入曲线方程整理得,‎ ‎,,(8分)‎ ‎.(10分)‎ ‎23.【解析】‎ ‎(1),(2分)‎ 在区间上是减函数,在区间是增函数,‎ ‎,在区间上的最大值为8,‎ ‎,实数的最小值为8.(5分)‎ ‎(2),,,‎ ‎,‎ 当且仅当且,即时,取最小值8.‎ 的最小值为8.(10分)‎
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