2017-2018学年安徽省舒城中学高二第一学期第三次统考（12月）数学（理）试题

2017-2018学年安徽省舒城中学高二第一学期第三次统考（12月）数学（理）试题

舒城中学 2017-2018 学年度第一学期第三次统考试卷 高二理数 （时间 120 分钟 满分 150 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.设 ，则“ ”是“ ”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设命题 ： ，则 为 ( ) A. B. C. D. 3.双曲线 的渐近线的方程是 ( ) A． B． C． D． 4.下列说法正确的是 ( ) A.若 且 为假命题，则 ， 均为假命题 B.“ ”是“ ”的必要不充分条件 C.若 ，则方程 无实数根 D.命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题 5.如果方程 表示椭圆，则 的取值范围是 （ ） A． 且 B． C． D． 6.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 (　　) x R∈ 2 1x − < 2 2 0x x+ − > p 2, 2nn N n∃ ∈ > p¬ 2, 2nn N n∀ ∈ > 2, 2nn N n∃ ∈ ≤ 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2, =2nn N n∃ ∈ 2 216 9 144x y− = − 16 9y x= ± 16 9x y= ± 4 3y x= ± 4 3x y= ± p q p q 2x > 2 3 2 0x x- + > 1m < 2 2 0x x m- + = x y= sin sinx y= 134 22 =−+− m y m x m )4,3( 2 7≠m ),4()3,( +∞−∞  ),4( +∞ )3,(−∞ ,l m ,α β A.若 ； B.若 ； C.若 ； D.若 ； 7.如图，在长方体 中， ，则 与平面 所 成角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 8.抛物线 上有 三点， 是它的焦点，若 成等差数列，则 （ ） A． 成等差数列 B． 成等差数列 C． 成等差数列 D． 成等差数列 9.已知 是抛物线 的焦点， 是该抛物线上的动点，则线段 中点的轨迹方程是 （ ） A B． C． D． 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面 的面积为 (　　) A. B. C. D.3 11. 已知椭圆 与双曲线 有 公共的焦点， 的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 两点．若 恰好将线段 三等分，则 (　　) A． B． C． D． 12.抛物线 的准线与双曲线 的左、右支分别交于 两点， 为双曲线的右顶点， 为坐标原点，若 ，则双曲线的离心率为 1 1 1 1ABCD A B C D- 12, 1AB BC AA= = = 1BC 1 1BB D D 2 5 5 15 5 10 5 // , // , //m l m lα α则 , , / /m l m lα α⊥ ⊥ 则 / / , , / / ,l m l mα β α β⊥ ⊥则 , / / , , / / , / /m m l lα β β α α β⊂ ⊂ 则 6 3 )0(22 >= ppxy ),,(),,( 2211 yxByxA ),( 33 yxC F |||,||,| CFBFAF 321 ,, xxx 231 ,, xxx 321 ,, yyy 231 ,, yyy F 21 4y x= P PF 2 2 1x y= − 2 12 16x y= − 2 1 2x y= − 2 2 2x y= − 2 2 5 2 6 2 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 2 : 14 yC x − = 2C 1C ,A B 1C AB 2 13 2a = 2 13a = 2 1 2b = 2 2b = 2 6x by= − 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ,B C A O AOC BOC∠ = ∠ 舒中高二统考理数 第 1 页（共 4 页） 舒中高二统考理数 第 2 页（共 4 页） B （ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.若抛物线 上的点 到 轴的距离是 ，则 到焦点的距离为 ． 14.过点 作一直线与椭圆 相交于 A、B 两点，若 点恰好为弦 的中点， 则 所在直线的方程为 ． 15.边长为 2 的正方形 中，点 分别是 的中点，将 , 分别沿 折起，使得 三点重合于点 ，若四面体 的四个顶 点在同一个球面上，则该球的表面积为 16.已知椭圆 的左、右焦点分别为 过 作一条直线（不与 轴垂 直）与椭圆交于 两点，如果 恰好为等腰直角三角形，则该直线的斜率为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分 10 分） 已 知 且 。 设 : 函 数 在 区 间 内 单 调 递 减 ； : 曲 线 与 轴交于不同的两点，如果“ ”为真命题，“ ”为假命 题 ，求实数 的取值范围. 18. （本小题满分 12 分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 ， ， ，点 为棱 的中点. (Ⅰ)证明： ； (Ⅱ)求二面角 的余弦值． ABCD E F、 AB BC、 'A EFD 2 3 3 3 4 3 3 2 3 xy 42 = M y 9 M (1,1)M 2 2 19 4 x y+ = M AB AB , ,ADE EBF FCD∆ ∆ ∆ , ,DE EF FD A B C、 、 'A 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2,F F ⋅ 2F x ,A B 1ABF∆ 0>a 1≠a p )1(log += xy a ),0( +∞ q 1)32(2 +−+= xaxy x qp ∨ qp ∧ a P ABCD− PA ⊥ ABCD , / / ,AD AB AB DC⊥ 2AD DC AP= = = 1AB = E PC BE DC⊥ E AB P− − 19. （本小题满分 12 分） 如图，四边形 中， ， ， ， 分别在 上 ， ． 现 将 四 边 形 沿 折 起 ， 使 得 平 面 ⊥ 平 面 ． (Ⅰ)当 ，是否在折叠后的 上存在一点 ，使得 平面 ？若存在， 求出 点位置，若不存在，说明理由； (Ⅱ)设 ，问当 为何值时，三棱锥 的体积有最大值？并求出这个最大 值． 20. （本小题满分 12 分） 已知双曲线 ： （ ）的离心率为 ，虚轴长为 ． (Ⅰ)求双曲线的标准方程； （Ⅱ）过点 ，倾斜角为 的直线 与双曲线 相交于 两点， 为坐标原点，求 的面积． 21（本小题满分 12 分） 已知椭圆 : 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上. （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）已知动直线 过点 ，且与椭圆 交于 ， 两点.试问 轴上是否存在定点 ，使 得 恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. ABCD AB AD⊥ / /AD BC 6, 4, 2AD BC AB= = = ,E F ,BC AD / /EF AB ABEF EF ABEF EFDC 1BE = AD P / /CP ABEF P BE x= x A CDF− C 12 2 2 2 =− b y a x 0,0 >> ba 5 4 ( )0,1 045 l C ,A B O OAB∆ C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > (1,0)F 2( 1, )2 − C C l F C A B x Q 7 16QA QB⋅ = −  Q 舒中高二统考理数 第 4 页（共 4 页） 22. （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中,已知 , 点在直线 上, 点满足 ∥ , = , 点的轨迹为曲线 . (Ⅰ)求曲线 的方程; (Ⅱ) 为 上的动点, 为 在 点处的切线,求 点到 距离的最小值. xOy (0, 1)A − B 3y = − M MB OA MA AB   MB BA   M C C P C l C P O l 舒城中学 2017-2018 学年高二第三次统考试卷 数 学 （时间 120 分钟 满分 150 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.设 ，则“ ”是“ ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设命题 ： ，则 为( ) A. B. C. D. 3.双曲线 的渐近线的方程是 A． B． C． D． 4.下列说法正确的是（ ） A.若 且 为假命题，则 ， 均为假命题 B.“ ”是“ ”的必要不充分条件 C.若 ，则方程 无实数根 D.命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题 5.如果方程 表示椭圆，则 的取值范围是（ ） A． 且 B． C． D． 6.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是(　　) A.若 ； B.若 ； C.若 ； D.若 ； x R∈ 2 1x − < 2 2 0x x+ − > p 2, 2nn N n∃ ∈ > p¬ 2, 2nn N n∀ ∈ > 2, 2nn N n∃ ∈ ≤ 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2, =2nn N n∃ ∈ 2 216 9 144x y− = − 16 9y x= ± 16 9x y= ± 4 3y x= ± 4 3x y= ± p q p q 2x > 2 3 2 0x x- + > 1m < 2 2 0x x m- + = x y= sin sinx y= 134 22 =−+− m y m x m )4,3( 2 7≠m ),4()3,( +∞−∞  ),4( +∞ )3,(−∞ ,l m ,α β // , // , //m l m lα α则 , , / /m l m lα α⊥ ⊥ 则 / / , , / / ,l m l mα β α β⊥ ⊥则 , / / , , / / , / /m m l lα β β α α β⊂ ⊂ 则 7.如图，在长方体 中， ，则 与平面 所 成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 8.抛物线 上有 三点， 是它的焦点，若 成等差数列，则 （ ） A． 成等差数列 B． 成等差数列 C． 成等差数列 D． 成等差数列 9.已知 是抛物线 的焦点， 是该抛物线上的动点，则线段 中点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积 为(　　) A. B. C. D.3 11.已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点， 的一条 渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 两点．若 恰好将线段 三等分，则(　　) A． B． C． D． 12.抛物线 的准线与双曲线 的左、右支分别交于 两点， 为双曲线的右顶点， 为坐标原点，若 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.若抛物线 上的点 到 轴的距离是 ，则 到焦点的距离为 ． 1 1 1 1ABCD A B C D- 12, 1AB BC AA= = = 1BC 1 1BB D D 2 5 5 15 5 10 5 6 3 )0(22 >= ppxy ),,(),,( 2211 yxByxA ),( 33 yxC F |||,||,| CFBFAF 321 ,, xxx 231 ,, xxx 321 ,, yyy 231 ,, yyy F 21 4y x= P PF 2 2 1x y= − 2 12 16x y= − 2 1 2x y= − 2 2 2x y= − 2 2 5 2 6 2 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 2 : 14 yC x − = 2C 1C ,A B 1C AB 2 13 2a = 2 13a = 2 1 2b = 2 2b = 2 6x by= − 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ,B C A O AOC BOC∠ = ∠ 2 3 3 3 4 3 3 2 3 xy 42 = M y 9 M 14.过点 作一直线与椭圆 相交于 A、B 两点，若 点恰好为弦 的中点， 则 所在直线的方程为 ． 15.边长为 2 的正方形 中，点 分别是 的中点，将 , 分别沿 折起，使得 三点重合于点 ，若四面体 的四 个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 16.已知椭圆 的左、右焦点分别为 过 作一条直线（不 与 轴垂直）与椭圆交于 两点，如果 恰好为等腰直角三角形，该直线的 斜率为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分 10 分） 已 知 且 。 设 : 函 数 在 区 间 内 单 调 递 减 ； : 曲 线 与 轴交于不同的两点，如果“ ”为真命题，“ ”为假命 题 ，求实数 的取值范围. 18. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，点 为棱 的中点. (Ⅰ)证明： ； (Ⅱ)求二面角 的余弦值． 19. （本小题满分 12 分） ABCD E F、 AB BC、 ,ADE EBFD D 'A EFD (1,1)M 2 2 19 4 x y+ = M AB AB ,FCDD , ,DE EF FD A B C、 、 'A 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2,F F ⋅ 2F x ,A B 1ABF∆ 0>a 1≠a p )1(log += xy a ),0( +∞ q 1)32(2 +−+= xaxy x qp ∨ qp ∧ a P ABCD− PA ⊥ ABCD , / / ,AD AB AB DC⊥ 2AD DC AP= = = 1AB = E PC BE DC⊥ E AB P− − 如图，四边形 中， ， ， ， 分别在 上 ， ． 现 将 四 边 形 沿 折 起 ， 使 得 平 面 ⊥ 平 面 ． (Ⅰ)当 ，是否在折叠后的 上存在一点 ，使得 平面 ？若存在， 求出 点位置，若不存在，说明理由； (Ⅱ)设 ，问当 为何值时，三棱锥 的体积有最大值？并求出这个最大 值． 20. （本小题满分 12 分） 已知双曲线 ： （ ）的离心率为 ，虚轴长为 ． (Ⅰ)求双曲线的标准方程； （Ⅱ）过点 ，倾斜角为 的直线 与双曲线 相交于 两点， 为坐标原点，求 的面积． 21（本小题满分 12 分） 已知椭圆 : 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上. （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）已知动直线 过点 ，且与椭圆 交于 ， 两点.试问 轴上是否存在定点 ，使 得 恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 22. （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中,已知 , 点在直线 上, 点满足 ∥ , = , 点的轨迹为曲线 . (Ⅰ)求曲线 的方程; (Ⅱ) 为 上的动点, 为 在 点处的切线,求 点到 距离的最小值. ABCD AB AD⊥ / /AD BC 6, 4, 2AD BC AB= = = ,E F ,BC AD / /EF AB ABEF EF ABEF EFDC 1BE = AD P / /CP ABEF P BE x= x A CDF− C 12 2 2 2 =− b y a x 0,0 >> ba 5 4 ( )0,1 045 l C ,A B O OAB∆ C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > (1,0)F 2( 1, )2 − C C l F C A B x Q 7 16QA QB⋅ = −  Q xOy (0, 1)A − B 3y = − M MB OA MA AB   MB BA   M C C P C l C P O l 舒城中学 2017-2018 学年高二第三次统考试卷 数学答案 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. ACCDA CDAAB CC 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 10 14. 15. 16. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本题 10 分） 18. （本题 12 分）(Ⅰ)略；(Ⅱ) ． 19. （本题 12 分）解： (Ⅰ)若存在 P，使得 CP∥平面 ABEF，此时 λ= ： 证明：当 λ= ，此时 = ， 过 P 作 MP∥FD，与 AF 交 M，则 = ， 又 FD=5，故 MP=3， 因为 EC=3，MP∥FD∥EC， 所以 MP∥EC，且 MP=EC，故四边形 MPCE 为平行四边形， 所以 PC∥ME， 因为 CP 平面 ABEF，ME⊂平面 ABEF， 故答案为：CP∥平面 ABEF 成立． (Ⅱ)因为平面 ABEF⊥平面 EFDC，ABEF∩平面 EFDC=EF，AF⊥EF， 所以 AF⊥平面 EFDC， 因为 BE=x，所以 AF=x，（0＜x＜4），FD=6﹣x， 故三棱锥 A﹣CDF 的体积 V= × ×2×（6-x）x=﹣ （x-3）2+3， 所以 x=3 时，三棱锥 A﹣CDF 的体积 V 有最大值，最大值为 3． 20.（本题 12 分）(Ⅰ) ; (Ⅱ) . 013-94 =+ yx 6p 2±      +∞∪     ,2 51,2 1 2 2 2 3 2 3 AD AP 5 3 FD MP 5 3 ⊄ 3 1 2 1 3 1 2 2 14 yx − = 4 3OABS∆ = 21. （本题 12 分） 22.（本题 12 分） (Ⅰ)设 ( , ),由已知得 ( ,-3), (0,—1), ∴ =( , ), =(0, ), =( ,-2), 由题意可知 =0,即 =0,化简整理得 , ∴曲线 的方程为 ; (Ⅱ)设 ( , )为曲线 : 上一点,∴ 的斜率为 , ∴直线 的方程为 = ,即 ∴ 点到 的距离 = = = ≥2, M x y B x A MA x− 1 y− − MB 3 y− − AB x ( )MA MB AB+    ( , 4 2 ) ( , 2)x y x− − − − 21 24y x= − C 21 24y x= − P 0x 0y C 21 24y x= − l 0 1 2 x l 0y y− 0 0 1 ( )2 x x x− 2 0 0 02 2 0x x y y x− + − = O l d 2 0 0 2 0 | 2 | 4 y x x − + 2 0 2 0 1 42 4 x x + + 2 0 2 0 1 4( 4 )2 4 x x + + +