数学卷·2018届福建省宁德市民族中学、柘荣一中等五校高二上学期期中联考数学理试卷 （解析版）

数学卷·2018届福建省宁德市民族中学、柘荣一中等五校高二上学期期中联考数学理试卷 （解析版）

‎2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中 数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．‎ ‎1．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（　　）‎ A． B．|a|＞|b| C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ ‎2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 ‎3．数列{an}的首项a1=1，an+1=an+2n，则a5=（　　）‎ A． B．20 C．21 D．31‎ ‎4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=4，面积为，则c的长度为（　　）‎ A．4 B． C．8 D．‎ ‎5．在等差数列{an}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78，则此数列前12项和等于（　　）‎ A．96 B．108 C．204 D．216‎ ‎6．在△ABC中，若2cosCsinA=sinB，则△ABC的形状是（　　）‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 ‎7．设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则+的最小值为（　　）‎ A．8 B．4 C．1 D．‎ ‎8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若=4，则=（　　）‎ A．3 B．4 C． D．13‎ ‎9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB=2sinC，a2﹣c2=3bc，则A等于（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知在Sn中有S17＜0，S18＞0，那么Sn中最小的是（　　）‎ A．S10 B．S9 C．S8 D．S7‎ ‎11．已知点P（x，y）的坐标满足条件，（k为常数），若z=3x+y的最大值为8，则k的值为（　　）‎ A． B． C．﹣6 D．6‎ ‎12．如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A，B，C三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（　　）‎ A． B． C． D．π ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．不等式的解集为　　．‎ ‎14．对任意实数x，不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎15．台风“海马”以25km/h的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C点，这时观测站与台风中心的距离AC等于　　km．‎ ‎16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{an}为“斐波那契数列”．若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2016项的值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2csinA=a．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c=2，a2+b2=6，求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）已知f（x）=x2﹣（a+b）x+3a．‎ ‎（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，求实数a，b的值；‎ ‎（2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}的首项和公差都为2，且a1、a8分别为等比数列{bn}的第一、第四项．‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=，求{cn}的前n项和Sn．‎ ‎20．（12分）某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元．‎ ‎（1）写出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？‎ ‎21．（12分）在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=．‎ ‎（1）若cos∠ADC=，求AB的值；‎ ‎（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？‎ ‎22．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且2Sn=an+1+2n．‎ ‎（1）求a2；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（3）令bn=（2n﹣1）（an﹣1），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．‎ ‎1．（2016秋•福鼎市期中）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（　　）‎ A． B．|a|＞|b| C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】探究型；简易逻辑；不等式．‎ ‎【分析】举出反例，可分析出A，B，C错误，由幂函数的单调性，可判断D正确 ‎【解答】解：若a＞0＞b，则，故A错误；‎ 若a＞0＞b且a，b互为相反数，则|a|=|b|，故B错误；‎ 若a＞0＞b且a，b互为相反数，则a2＞b2，故C错误；‎ 函数y=x3在R上为增函数，若a＞b，则a3＞b3，故D正确；‎ 故选：D ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2016秋•福鼎市期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．‎ ‎【分析】根据正弦定理求出B，然后进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵a=3，，A=60°，‎ ‎∴由正弦定理可得：sinB===1，‎ ‎∴B=90°，‎ 即满足条件的三角形个数为1个．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2016秋•福鼎市期中）数列{an}的首项a1=1，an+1=an+2n，则a5=（　　）‎ A． B．20 C．21 D．31‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】把已知数列递推式变形，考查了an+1﹣an=2n，然后利用累加法求得a5的值．‎ ‎【解答】解：由an+1=an+2n，得an+1﹣an=2n，又a1=1，‎ ‎∴a5=（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1‎ ‎=2（4+3+2+1）+1=21．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（2016秋•福鼎市期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=4，面积为，则c的长度为（　　）‎ A．4 B． C．8 D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形．‎ ‎【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵A=60°，b=4，面积为，‎ ‎∴4=bcsinA=4×c×，‎ ‎∴解得：c=4．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（2016秋•福鼎市期中）在等差数列{an}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78，则此数列前12项和等于（　　）‎ A．96 B．108 C．204 D．216‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由题意和等差数列的性质求出a2、a11，由等差数列的前n项和公式求出此数列前12项和．‎ ‎【解答】解：∵在等差数列{an}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78，‎ ‎∴3a2=﹣24，3a11=78，解得a2=﹣8，a11=26，‎ ‎∴此数列前12项和=‎ ‎=6×18=108，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（2016秋•福鼎市期中）在△ABC中，若2cosCsinA=sinB，则△ABC的形状是（　　）‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．‎ ‎【分析】利用sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵A+B+C=180°，‎ ‎∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA，‎ ‎∴sinCcosA﹣sinAcosC=0，即sin（C﹣A）=0，‎ ‎∴A=C 即为等腰三角形．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．‎ ‎　‎ ‎7．（2016春•西宁期末）设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则+的最小值为（　　）‎ A．8 B．4 C．1 D．‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；不等式．‎ ‎【分析】根据等比数列的性质，建立方程关系，利用1的代换，结合基本不等式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵是5a与5b的等比中项，‎ ‎∴5a•5b=（）2=5，‎ 即5a+b=5，‎ 则a+b=1，‎ 则+=（+）（a+b）=1+1++≥2+2=2+2=4，‎ 当且仅当=，即a=b=时，取等号，‎ 即+的最小值为4，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．‎ ‎　‎ ‎8．（2016秋•福鼎市期中）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若=4，则=（　　）‎ A．3 B．4 C． D．13‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由Sn为等比数列{an}的前n项和，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8也成等比数列，即可解出．‎ ‎【解答】解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，=4，‎ ‎∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8也成等比数列，且S8=4S4，‎ ‎∴（S8﹣S4）2=S4×（S12﹣S8），即9S42=S4×（S12﹣4S4），‎ 解得=13．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎9．（2016秋•福鼎市期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB=2sinC，a2﹣c2=3bc，则A等于（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．‎ ‎【分析】利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可．‎ ‎【解答】解：由sinB=2sinC，由正弦定理可知：b=2c，代入a2﹣c2=3bc，‎ 可得a2=7c2，‎ 所以cosA===﹣，‎ ‎∵0＜A＜180°，‎ ‎∴A=120°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎10．（2016秋•福鼎市期中）设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知在Sn中有S17＜0，S18＞0，那么Sn中最小的是（　　）‎ A．S10 B．S9 C．S8 D．S7‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由S16＜0，S17＞0，利用求和公式及其性质可得：a8＜0，a9＞0，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵S16＜0，S17＞0，‎ ‎∴=8（a8+a9）＜0，=17a9＞0，‎ ‎∴a8＜0，a9＞0，‎ ‎∴公差d＞0．‎ ‎∴Sn中最小的是S8．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•福鼎市期中）已知点P（x，y）的坐标满足条件，（k为常数），若z=3x+y的最大值为8，则k的值为（　　）‎ A． B． C．﹣6 D．6‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【专题】数形结合；函数思想；高考数学专题；不等式．‎ ‎【分析】由目标函数z=x+3y的最大值为8，我们可以画出满足条件的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．‎ ‎【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，‎ 由，解得y=0，x=，‎ ‎（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，‎ 故选B．‎ ‎【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．‎ ‎　‎ ‎12．（2016秋•福鼎市期中）如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A，B，C三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（　　）‎ A． B． C． D．π ‎【考点】三角函数线．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．‎ ‎【分析】由题意可求三角形的三边长为sinα、sinβ、sin（α+β），设边长为sin（α+β）的所对的三角形内角为θ，由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cosθ=﹣cos（α+β），结合角的范围利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，利用正弦定理可求三角形外接圆的半径，利用圆的面积公式即可得解．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：由题意可得：|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin（α+β），‎ 设边长为sin（α+β）的所对的三角形内角为θ，‎ 则由余弦定理可得，cosθ=‎ ‎=﹣cosαcosβ ‎=﹣cosαcosβ ‎=sinαsinβ﹣cosαcosβ ‎=﹣cos（α+β），‎ ‎∵α，β∈（0，）‎ ‎∴α+β∈（0，π）‎ ‎∴sinθ==sin（α+β）‎ 设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R==1，‎ ‎∴R=，‎ ‎∴外接圆的面积S=πR2=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．（2016秋•福鼎市期中）不等式的解集为　（0，1]　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由不等式可得即，由此求得x的范围．‎ ‎【解答】解：不等式，即，求得0＜x≤1，‎ 故答案为：（0，1]．‎ ‎【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（2016秋•福鼎市期中）对任意实数x，不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣4，0]　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【专题】分类讨论；转化法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】根据不等式恒成立的条件，建立条件关系即可得出结论．‎ ‎【解答】解：当a=0时，不等式等价为﹣4＜0，满足条件；‎ 当a≠0时，要使不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，‎ 则满足，‎ 即，‎ ‎∴‎ 解得﹣4＜a＜0，‎ 综上：a的取值范围是（﹣4，0]．‎ 故答案为：（﹣4，0]．‎ ‎【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对二次项系数进行讨论．‎ ‎　‎ ‎15．（2016秋•福鼎市期中）台风“海马”以25km/h的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C点，这时观测站与台风中心的距离AC等于　25　km．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【专题】应用题；转化思想；演绎法；解三角形．‎ ‎【分析】由题意，∠ABC=135°，∠A=75°﹣45°=30°，BC=25km，由正弦定理可得AC．‎ ‎【解答】解：由题意，∠ABC=135°，∠A=75°﹣45°=30°，BC=25km，‎ 由正弦定理可得AC==25km，‎ 故答案为：25．‎ ‎【点评】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，利用正弦定理解答本题是关键．‎ ‎　‎ ‎16．（2016秋•福鼎市期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{an}为“斐波那契数列”．若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2016项的值是　0　．‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】根据数列，得到余数构成是数列是周期数列，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，‎ 即新数列{bn}是周期为6的周期数列，‎ ‎∴b2016=b336×6=b6=0，‎ 故答案为：0．‎ ‎【点评】本题主要考查数列的应用，考查数列为周期数性，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）（2016秋•福鼎市期中）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2csinA=a．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c=2，a2+b2=6，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．‎ ‎【分析】（1）由已知及正弦定理可得，结合sinA≠0，可求sinC的值，利用特殊角的三角函数值即可得解C的值．‎ ‎（2）由已知及余弦定理可求ab=2，利用三角形的面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】（本小题满分10分）‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴，…2分 在锐角△ABC中，，…3分 故sinA≠0，‎ ‎∴，．…5分 ‎（2）∵，…6分 ‎∴，即ab=2，…8分 ‎∴．…10分 ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•福鼎市期中）已知f（x）=x2﹣（a+b）x+3a．‎ ‎（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，求实数a，b的值；‎ ‎（2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【专题】分类讨论；转化法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、b的值；‎ ‎（2）利用分类讨论法求出b=3时不等式f（x）＞0的解集．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣（a+b）x+3a，‎ 当不等式f（x）≤0的解集为[1，3]时，‎ 方程x2﹣（a+b）x+3a=0的两根为1和3，‎ 由根与系数的关系得 ‎，‎ 解得a=1，b=3；‎ ‎（2）当b=3时，不等式f（x）＞0可化为 x2﹣（a+3）x+3a＞0，‎ 即（x﹣a）（x﹣3）＞0；‎ ‎∴当a＞3时，原不等式的解集为：{x|x＜3或x＞a}；‎ 当a＜3时，原不等式的解集为：{x|x＜a或x＞3}；‎ 当a=3时，原不等式的解集为：{x|x≠3，x∈R}．‎ ‎【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•福鼎市期中）已知等差数列{an}的首项和公差都为2，且a1、a8分别为等比数列{bn}的第一、第四项．‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=，求{cn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）由等差数列通项公式可知：an=2+（n﹣1）2=2n，分别求得a1和a8，则由等比数列性质可知：，根据等比数列通项公式求得{bn}的通项公式；‎ ‎（2）由（1），采用“裂项法”即可求得数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（1）由等差数列通项公式可知：an=2+（n﹣1）2=2n，‎ 当n=1时，2b1=a1=2，b4=a8=16，…3‎ 设等比数列{bn}的公比为q，则，…4‎ ‎∴q=2，…5‎ ‎∴ …6‎ ‎（2）由（1）可知：log2bn+1=n…7‎ ‎∴…9‎ ‎∴，‎ ‎∴{cn}的前n项和Sn，Sn=．…12‎ ‎【点评】本题考查等比数列及等差数列通项公式，等比数列性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•福鼎市期中）某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元．‎ ‎（1）写出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）根据预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，可得y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）求出年平均盈利额，利用基本不等式可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）（x∈N*）…6‎ ‎（2）盈利额为…‎ 当且仅当即x=7时，上式取到等号…11‎ 答：使用游艇平均7年的盈利额最大．…12‎ ‎【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•福鼎市期中）在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=．‎ ‎（1）若cos∠ADC=，求AB的值；‎ ‎（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质；解三角形．‎ ‎【分析】（1）由已知利用诱导公式可求cos∠ADB，利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，进而利用正弦定理可求AB的值．‎ ‎（2）由已知利用正弦定理可得，从而利用三角函数恒等变换的应用可得f（θ）=，利用正弦函数的性质即可得解．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴…2分（注：先算∴sin∠ADC给1分）‎ ‎∵，…3分 ‎∴，…5分 ‎（2）∵∠BAD=θ，‎ ‎∴，…6‎ 由正弦定理有，…7分 ‎∴，…8分 ‎∴，…10分 ‎=，…11分 当，即时f（θ）取到最大值9．…12分 ‎【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•福鼎市期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且2Sn=an+1+2n．‎ ‎（1）求a2；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（3）令bn=（2n﹣1）（an﹣1），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）由n=1时，2S1=2a1=a2+2，a2=4；‎ ‎（2）当n≥2时，2an=2sn﹣2sn﹣1=an+1﹣an+2，整理可得an+1=3an﹣2，an+1﹣1=3（an﹣1），因此{an﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列，由，，；‎ ‎（3）由（2）可知：，，利用“错位相减法”即可求得数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=a2+2，‎ ‎∴a2=4…1；‎ ‎（2）当n≥2时，2an=2sn﹣2sn﹣1=an+1+2n﹣an﹣2（n﹣1）=an+1﹣an+2，‎ ‎∴an+1=3an﹣2，‎ ‎∴an+1﹣1=3（an﹣1）…4，‎ ‎∴，‎ ‎∴{an﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（3）∴…8‎ ‎∴①…9‎ ‎∴②‎ ‎①﹣②得：，‎ ‎=，‎ ‎=（2﹣2n）×3n﹣4，…11‎ ‎∴…12‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．‎