数学卷·2018届福建省宁德市民族中学、柘荣一中等五校高二上学期期中联考数学理试卷 (解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届福建省宁德市民族中学、柘荣一中等五校高二上学期期中联考数学理试卷 (解析版)

‎2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二(上)期中 数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题卡的相应位置填涂.‎ ‎1.如果a>b,那么下列不等式中正确的是(  )‎ A. B.|a|>|b| C.a2>b2 D.a3>b3‎ ‎2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,,A=60°,则满足条件的三角形个数为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.以上都不对 ‎3.数列{an}的首项a1=1,an+1=an+2n,则a5=(  )‎ A. B.20 C.21 D.31‎ ‎4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=60°,b=4,面积为,则c的长度为(  )‎ A.4 B. C.8 D.‎ ‎5.在等差数列{an}中,a1+a2+a3=﹣24,a10+a11+a12=78,则此数列前12项和等于(  )‎ A.96 B.108 C.204 D.216‎ ‎6.在△ABC中,若2cosCsinA=sinB,则△ABC的形状是(  )‎ A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 ‎7.设a>0,b>0,若是5a与5b的等比中项,则+的最小值为(  )‎ A.8 B.4 C.1 D.‎ ‎8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若=4,则=(  )‎ A.3 B.4 C. D.13‎ ‎9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinB=2sinC,a2﹣c2=3bc,则A等于(  )‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ ‎10.设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知在Sn中有S17<0,S18>0,那么Sn中最小的是(  )‎ A.S10 B.S9 C.S8 D.S7‎ ‎11.已知点P(x,y)的坐标满足条件,(k为常数),若z=3x+y的最大值为8,则k的值为(  )‎ A. B. C.﹣6 D.6‎ ‎12.如图,在平面直角坐标系中,锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A,B,C三点.分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴,若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形,则此三角形的外接圆面积为(  )‎ A. B. C. D.π ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.不等式的解集为  .‎ ‎14.对任意实数x,不等式ax2﹣2ax﹣4<0恒成立,则实数a的取值范围是  .‎ ‎15.台风“海马”以25km/h的速度向正北方向移动,观测站位于海上的A点,早上9点观测,台风中心位于其东南方向的B点;早上10点观测,台风中心位于其南偏东75°方向上的C点,这时观测站与台风中心的距离AC等于  km.‎ ‎16.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…其中从第三个数起,每一个数都等于他前面两个数的和.该数列是一个非常美丽、和谐的数列,有很多奇妙的属性.比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887….人们称该数列{an}为“斐波那契数列”.若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn},在数列{bn}中第2016项的值是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(10分)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2csinA=a.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)若c=2,a2+b2=6,求△ABC的面积.‎ ‎18.(12分)已知f(x)=x2﹣(a+b)x+3a.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,3],求实数a,b的值;‎ ‎(2)若b=3,求不等式f(x)>0的解集.‎ ‎19.(12分)已知等差数列{an}的首项和公差都为2,且a1、a8分别为等比数列{bn}的第一、第四项.‎ ‎(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=,求{cn}的前n项和Sn.‎ ‎20.(12分)某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇,并立即投入使用,预计每年的收入为25万元,此外每年都要花费一定的维护费用,计划第一年维护费用4万元,从第二年起,每年的维修费用比上一年多2万元,设使用x年后游艇的盈利为y万元.‎ ‎(1)写出y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)此游艇使用多少年,可使年平均盈利额最大?‎ ‎21.(12分)在△ABC中,D为BC边上的动点,且AD=3,B=.‎ ‎(1)若cos∠ADC=,求AB的值;‎ ‎(2)令∠BAD=θ,用θ表示△ABD的周长f(θ),并求当θ取何值时,周长f(θ)取到最大值?‎ ‎22.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且2Sn=an+1+2n.‎ ‎(1)求a2;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(3)令bn=(2n﹣1)(an﹣1),求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二(上)期中数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题卡的相应位置填涂.‎ ‎1.(2016秋•福鼎市期中)如果a>b,那么下列不等式中正确的是(  )‎ A. B.|a|>|b| C.a2>b2 D.a3>b3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【专题】探究型;简易逻辑;不等式.‎ ‎【分析】举出反例,可分析出A,B,C错误,由幂函数的单调性,可判断D正确 ‎【解答】解:若a>0>b,则,故A错误;‎ 若a>0>b且a,b互为相反数,则|a|=|b|,故B错误;‎ 若a>0>b且a,b互为相反数,则a2>b2,故C错误;‎ 函数y=x3在R上为增函数,若a>b,则a3>b3,故D正确;‎ 故选:D ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了函数的单调性,难度不大,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(2016秋•福鼎市期中)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,,A=60°,则满足条件的三角形个数为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.以上都不对 ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形.‎ ‎【分析】根据正弦定理求出B,然后进行判断即可.‎ ‎【解答】解:∵a=3,,A=60°,‎ ‎∴由正弦定理可得:sinB===1,‎ ‎∴B=90°,‎ 即满足条件的三角形个数为1个.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查三角形个数的判断,利用正弦定理是解决本题的关键,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(2016秋•福鼎市期中)数列{an}的首项a1=1,an+1=an+2n,则a5=(  )‎ A. B.20 C.21 D.31‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【专题】计算题;函数思想;转化法;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】把已知数列递推式变形,考查了an+1﹣an=2n,然后利用累加法求得a5的值.‎ ‎【解答】解:由an+1=an+2n,得an+1﹣an=2n,又a1=1,‎ ‎∴a5=(a5﹣a4)+(a4﹣a3)+(a3﹣a2)+(a2﹣a1)+a1‎ ‎=2(4+3+2+1)+1=21.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查数列递推式,训练了累加法求数列的通项公式,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.(2016秋•福鼎市期中)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=60°,b=4,面积为,则c的长度为(  )‎ A.4 B. C.8 D.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;转化法;解三角形.‎ ‎【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解.‎ ‎【解答】解:∵A=60°,b=4,面积为,‎ ‎∴4=bcsinA=4×c×,‎ ‎∴解得:c=4.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(2016秋•福鼎市期中)在等差数列{an}中,a1+a2+a3=﹣24,a10+a11+a12=78,则此数列前12项和等于(  )‎ A.96 B.108 C.204 D.216‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【专题】计算题;整体思想;综合法;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】由题意和等差数列的性质求出a2、a11,由等差数列的前n项和公式求出此数列前12项和.‎ ‎【解答】解:∵在等差数列{an}中,a1+a2+a3=﹣24,a10+a11+a12=78,‎ ‎∴3a2=﹣24,3a11=78,解得a2=﹣8,a11=26,‎ ‎∴此数列前12项和=‎ ‎=6×18=108,‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式,以及等差数列的性质,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.(2016秋•福鼎市期中)在△ABC中,若2cosCsinA=sinB,则△ABC的形状是(  )‎ A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形.‎ ‎【分析】利用sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵A+B+C=180°,‎ ‎∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA,‎ ‎∴sinCcosA﹣sinAcosC=0,即sin(C﹣A)=0,‎ ‎∴A=C 即为等腰三角形.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查三角形形状的判断,考查和角的三角函数,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎7.(2016春•西宁期末)设a>0,b>0,若是5a与5b的等比中项,则+的最小值为(  )‎ A.8 B.4 C.1 D.‎ ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【专题】转化思想;转化法;等差数列与等比数列;不等式.‎ ‎【分析】根据等比数列的性质,建立方程关系,利用1的代换,结合基本不等式进行求解即可.‎ ‎【解答】解:∵是5a与5b的等比中项,‎ ‎∴5a•5b=()2=5,‎ 即5a+b=5,‎ 则a+b=1,‎ 则+=(+)(a+b)=1+1++≥2+2=2+2=4,‎ 当且仅当=,即a=b=时,取等号,‎ 即+的最小值为4,‎ 故选:B ‎【点评】本题主要考查等比数列性质的应用,以及利用基本不等式求最值问题,注意1的代换.‎ ‎ ‎ ‎8.(2016秋•福鼎市期中)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若=4,则=(  )‎ A.3 B.4 C. D.13‎ ‎【考点】等比数列的前n项和.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】由Sn为等比数列{an}的前n项和,可得S4,S8﹣S4,S12﹣S8也成等比数列,即可解出.‎ ‎【解答】解:∵Sn为等比数列{an}的前n项和,=4,‎ ‎∴S4,S8﹣S4,S12﹣S8也成等比数列,且S8=4S4,‎ ‎∴(S8﹣S4)2=S4×(S12﹣S8),即9S42=S4×(S12﹣4S4),‎ 解得=13.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.是基础的计算题.‎ ‎ ‎ ‎9.(2016秋•福鼎市期中)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinB=2sinC,a2﹣c2=3bc,则A等于(  )‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形.‎ ‎【分析】利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系,然后通过余弦定理求解即可.‎ ‎【解答】解:由sinB=2sinC,由正弦定理可知:b=2c,代入a2﹣c2=3bc,‎ 可得a2=7c2,‎ 所以cosA===﹣,‎ ‎∵0<A<180°,‎ ‎∴A=120°.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎10.(2016秋•福鼎市期中)设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知在Sn中有S17<0,S18>0,那么Sn中最小的是(  )‎ A.S10 B.S9 C.S8 D.S7‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【专题】转化思想;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用.‎ ‎【分析】由S16<0,S17>0,利用求和公式及其性质可得:a8<0,a9>0,即可得出.‎ ‎【解答】解:∵S16<0,S17>0,‎ ‎∴=8(a8+a9)<0,=17a9>0,‎ ‎∴a8<0,a9>0,‎ ‎∴公差d>0.‎ ‎∴Sn中最小的是S8.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎11.(2016秋•福鼎市期中)已知点P(x,y)的坐标满足条件,(k为常数),若z=3x+y的最大值为8,则k的值为(  )‎ A. B. C.﹣6 D.6‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【专题】数形结合;函数思想;高考数学专题;不等式.‎ ‎【分析】由目标函数z=x+3y的最大值为8,我们可以画出满足条件的平面区域,根据目标函数的解析式形式,分析取得最优解的点的坐标,然后根据分析列出一个含参数k的方程组,消参后即可得到k的取值.‎ ‎【解答】解:画出x,y满足的可行域如下图:z=3x+y的最大值为8,‎ 由,解得y=0,x=,‎ ‎(,0)代入2x+y+k=0,∴k=﹣,‎ 故选B.‎ ‎【点评】如果约束条件中含有参数,可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组),代入另一条直线方程,消去x,y后,即可求出参数的值.‎ ‎ ‎ ‎12.(2016秋•福鼎市期中)如图,在平面直角坐标系中,锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A,B,C三点.分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴,若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形,则此三角形的外接圆面积为(  )‎ A. B. C. D.π ‎【考点】三角函数线.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;数形结合法;解三角形.‎ ‎【分析】由题意可求三角形的三边长为sinα、sinβ、sin(α+β),设边长为sin(α+β)的所对的三角形内角为θ,由余弦定理,三角函数恒等变换的应用化简可得cosθ=﹣cos(α+β),结合角的范围利用同角三角函数基本关系式可求sinθ,利用正弦定理可求三角形外接圆的半径,利用圆的面积公式即可得解.‎ ‎【解答】(本题满分为12分)‎ 解:由题意可得:|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin(α+β),‎ 设边长为sin(α+β)的所对的三角形内角为θ,‎ 则由余弦定理可得,cosθ=‎ ‎=﹣cosαcosβ ‎=﹣cosαcosβ ‎=sinαsinβ﹣cosαcosβ ‎=﹣cos(α+β),‎ ‎∵α,β∈(0,)‎ ‎∴α+β∈(0,π)‎ ‎∴sinθ==sin(α+β)‎ 设外接圆的半径为R,则由正弦定理可得2R==1,‎ ‎∴R=,‎ ‎∴外接圆的面积S=πR2=.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理,三角函数恒等变换的应用,同角三角函数基本关系式,正弦定理,圆的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.(2016秋•福鼎市期中)不等式的解集为 (0,1] .‎ ‎【考点】其他不等式的解法.‎ ‎【专题】转化思想;综合法;不等式的解法及应用.‎ ‎【分析】由不等式可得即,由此求得x的范围.‎ ‎【解答】解:不等式,即,求得0<x≤1,‎ 故答案为:(0,1].‎ ‎【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎14.(2016秋•福鼎市期中)对任意实数x,不等式ax2﹣2ax﹣4<0恒成立,则实数a的取值范围是 (﹣4,0] .‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法.‎ ‎【专题】分类讨论;转化法;不等式的解法及应用.‎ ‎【分析】根据不等式恒成立的条件,建立条件关系即可得出结论.‎ ‎【解答】解:当a=0时,不等式等价为﹣4<0,满足条件;‎ 当a≠0时,要使不等式ax2﹣2ax﹣4<0恒成立,‎ 则满足,‎ 即,‎ ‎∴‎ 解得﹣4<a<0,‎ 综上:a的取值范围是(﹣4,0].‎ 故答案为:(﹣4,0].‎ ‎【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,注意要对二次项系数进行讨论.‎ ‎ ‎ ‎15.(2016秋•福鼎市期中)台风“海马”以25km/h的速度向正北方向移动,观测站位于海上的A点,早上9点观测,台风中心位于其东南方向的B点;早上10点观测,台风中心位于其南偏东75°方向上的C点,这时观测站与台风中心的距离AC等于 25 km.‎ ‎【考点】解三角形的实际应用.‎ ‎【专题】应用题;转化思想;演绎法;解三角形.‎ ‎【分析】由题意,∠ABC=135°,∠A=75°﹣45°=30°,BC=25km,由正弦定理可得AC.‎ ‎【解答】解:由题意,∠ABC=135°,∠A=75°﹣45°=30°,BC=25km,‎ 由正弦定理可得AC==25km,‎ 故答案为:25.‎ ‎【点评】本题考查三角形的实际应用,转化思想的应用,利用正弦定理解答本题是关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(2016秋•福鼎市期中)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…其中从第三个数起,每一个数都等于他前面两个数的和.该数列是一个非常美丽、和谐的数列,有很多奇妙的属性.比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887….人们称该数列{an}为“斐波那契数列”.若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn},在数列{bn}中第2016项的值是 0 .‎ ‎【考点】数列的应用.‎ ‎【专题】综合题;转化思想;演绎法;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】根据数列,得到余数构成是数列是周期数列,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:1,1,2,3,5,8,13,…除以4所得的余数分别为1,1,2,3,1,0,;1,1,2,3,1,0…,‎ 即新数列{bn}是周期为6的周期数列,‎ ‎∴b2016=b336×6=b6=0,‎ 故答案为:0.‎ ‎【点评】本题主要考查数列的应用,考查数列为周期数性,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(10分)(2016秋•福鼎市期中)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2csinA=a.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)若c=2,a2+b2=6,求△ABC的面积.‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形.‎ ‎【分析】(1)由已知及正弦定理可得,结合sinA≠0,可求sinC的值,利用特殊角的三角函数值即可得解C的值.‎ ‎(2)由已知及余弦定理可求ab=2,利用三角形的面积公式即可计算得解.‎ ‎【解答】(本小题满分10分)‎ 解:(1)∵,‎ ‎∴,…2分 在锐角△ABC中,,…3分 故sinA≠0,‎ ‎∴,.…5分 ‎(2)∵,…6分 ‎∴,即ab=2,…8分 ‎∴.…10分 ‎【点评】本题主要考查了正弦定理,特殊角的三角函数值,余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2016秋•福鼎市期中)已知f(x)=x2﹣(a+b)x+3a.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,3],求实数a,b的值;‎ ‎(2)若b=3,求不等式f(x)>0的解集.‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法.‎ ‎【专题】分类讨论;转化法;不等式的解法及应用.‎ ‎【分析】(1)由一元二次不等式与对应方程的关系,利用根与系数的关系即可求出a、b的值;‎ ‎(2)利用分类讨论法求出b=3时不等式f(x)>0的解集.‎ ‎【解答】解:(1)∵函数f(x)=x2﹣(a+b)x+3a,‎ 当不等式f(x)≤0的解集为[1,3]时,‎ 方程x2﹣(a+b)x+3a=0的两根为1和3,‎ 由根与系数的关系得 ‎,‎ 解得a=1,b=3;‎ ‎(2)当b=3时,不等式f(x)>0可化为 x2﹣(a+3)x+3a>0,‎ 即(x﹣a)(x﹣3)>0;‎ ‎∴当a>3时,原不等式的解集为:{x|x<3或x>a};‎ 当a<3时,原不等式的解集为:{x|x<a或x>3};‎ 当a=3时,原不等式的解集为:{x|x≠3,x∈R}.‎ ‎【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题,是基础题目.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2016秋•福鼎市期中)已知等差数列{an}的首项和公差都为2,且a1、a8分别为等比数列{bn}的第一、第四项.‎ ‎(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=,求{cn}的前n项和Sn.‎ ‎【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式.‎ ‎【专题】转化思想;转化法;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】(1)由等差数列通项公式可知:an=2+(n﹣1)2=2n,分别求得a1和a8,则由等比数列性质可知:,根据等比数列通项公式求得{bn}的通项公式;‎ ‎(2)由(1),采用“裂项法”即可求得数列{cn}的前n项和Sn.‎ ‎【解答】解:(1)由等差数列通项公式可知:an=2+(n﹣1)2=2n,‎ 当n=1时,2b1=a1=2,b4=a8=16,…3‎ 设等比数列{bn}的公比为q,则,…4‎ ‎∴q=2,…5‎ ‎∴ …6‎ ‎(2)由(1)可知:log2bn+1=n…7‎ ‎∴…9‎ ‎∴,‎ ‎∴{cn}的前n项和Sn,Sn=.…12‎ ‎【点评】本题考查等比数列及等差数列通项公式,等比数列性质,考查“裂项法”求数列的前n项和,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2016秋•福鼎市期中)某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇,并立即投入使用,预计每年的收入为25万元,此外每年都要花费一定的维护费用,计划第一年维护费用4万元,从第二年起,每年的维修费用比上一年多2万元,设使用x年后游艇的盈利为y万元.‎ ‎(1)写出y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)此游艇使用多少年,可使年平均盈利额最大?‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用.‎ ‎【专题】综合题;转化思想;演绎法;函数的性质及应用.‎ ‎【分析】(1)根据预计每年的收入为25万元,此外每年都要花费一定的维护费用,计划第一年维护费用4万元,从第二年起,每年的维修费用比上一年多2万元,可得y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)求出年平均盈利额,利用基本不等式可得结论.‎ ‎【解答】解:(1)(x∈N*)…6‎ ‎(2)盈利额为…‎ 当且仅当即x=7时,上式取到等号…11‎ 答:使用游艇平均7年的盈利额最大.…12‎ ‎【点评】本题考查函数模型的构建,考查利用基本不等式求函数的最值,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2016秋•福鼎市期中)在△ABC中,D为BC边上的动点,且AD=3,B=.‎ ‎(1)若cos∠ADC=,求AB的值;‎ ‎(2)令∠BAD=θ,用θ表示△ABD的周长f(θ),并求当θ取何值时,周长f(θ)取到最大值?‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;数形结合法;三角函数的图像与性质;解三角形.‎ ‎【分析】(1)由已知利用诱导公式可求cos∠ADB,利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB,进而利用正弦定理可求AB的值.‎ ‎(2)由已知利用正弦定理可得,从而利用三角函数恒等变换的应用可得f(θ)=,利用正弦函数的性质即可得解.‎ ‎【解答】(本小题满分12分)‎ 解:(1)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴…2分(注:先算∴sin∠ADC给1分)‎ ‎∵,…3分 ‎∴,…5分 ‎(2)∵∠BAD=θ,‎ ‎∴,…6‎ 由正弦定理有,…7分 ‎∴,…8分 ‎∴,…10分 ‎=,…11分 当,即时f(θ)取到最大值9.…12分 ‎【点评】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式,正弦定理,三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2016秋•福鼎市期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且2Sn=an+1+2n.‎ ‎(1)求a2;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(3)令bn=(2n﹣1)(an﹣1),求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【考点】数列的求和;数列递推式.‎ ‎【专题】转化思想;转化法;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】(1)由n=1时,2S1=2a1=a2+2,a2=4;‎ ‎(2)当n≥2时,2an=2sn﹣2sn﹣1=an+1﹣an+2,整理可得an+1=3an﹣2,an+1﹣1=3(an﹣1),因此{an﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列,由,,;‎ ‎(3)由(2)可知:,,利用“错位相减法”即可求得数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(1)当n=1时,2S1=2a1=a2+2,‎ ‎∴a2=4…1;‎ ‎(2)当n≥2时,2an=2sn﹣2sn﹣1=an+1+2n﹣an﹣2(n﹣1)=an+1﹣an+2,‎ ‎∴an+1=3an﹣2,‎ ‎∴an+1﹣1=3(an﹣1)…4,‎ ‎∴,‎ ‎∴{an﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴;‎ ‎(3)∴…8‎ ‎∴①…9‎ ‎∴②‎ ‎①﹣②得:,‎ ‎=,‎ ‎=(2﹣2n)×3n﹣4,…11‎ ‎∴…12‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式,数列的递推公式,考查“错位相减法”求数列的前n项和,考查计算能力,属于中档题.‎
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