高中数学必修2教案:2_3_3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质 (2)

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高中数学必修2教案:2_3_3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质 (2)

第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质 ‎(一)教学目标 ‎1.知识与技能 ‎(1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理;‎ ‎(2)能运用性质定理解决一些简单问题;‎ ‎(3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.‎ ‎2.过程与方法 ‎(1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识;‎ ‎3.情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.‎ ‎(二)教学重点、难点 两个性质定理的证明.‎ ‎(三)教学方法 学生依据已有知识和方法,在教师指导下,自主地完成定理的证明、问题的转化.‎ 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 新课导入 问题1:判定直线和平面垂直的方法有几种?‎ 问题2:若一条直线和一个平面垂直,可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂直呢?‎ 师投影问题. 学生思考、讨论问题,教师点出主题 复习巩固以旧带新 探索新知 一、直线与平面垂直的性质定理 ‎1.问题:已知直线a、b和平面,如果,那么直线a、b一定平行吗?‎ 已知 求证:b∥a.‎ 证明:假定b不平行于a,设=0‎ b′是经过O与直线a平行的直线 ‎∵a∥b′,‎ ‎∴b′⊥a 即经过同一点O的两线b、b′都与垂直这是不可能的,‎ 因此b∥a.‎ ‎2.直线与平面垂直的性质定理 生:借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间相互平行,所以结论成立.‎ 师:怎么证明呢?由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内,故无法应用平行直线的判定知识,也无法应用公理4,有这种情况下,我们采用“反证法”‎ 师生边分析边板书.‎ 借助模型教学,培养几何直观能力.,反证法证题是一个难点,采用以教师为主,能起到一个示范作用,并提高上课效率.‎ 垂直于同一个平面的两条直线平行 简化为:线面垂直线线平行 探索新知 二、平面与平面平行的性质定理 ‎1.问题 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直? ‎ ‎2.例1 设,=CD,,AB⊥CD,AB⊥CD = B求证AB 证明:在内引直线BE⊥CD,垂足为B,则∠ABE是二面角的平面角.由知,AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是内的两条相交直线,所以AB⊥‎ ‎3.平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 简记为:面面垂直线面垂直.‎ 教师投影问题,学生思考、观察、讨论,然后回答问题 生:借助长方体模型,在长方体ABCD – A′B′C′D′中,面A′ADD′⊥面ABCD,A′A⊥AD,AB⊥A′A ‎∵‎ ‎∴A′A⊥面ABCD 故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.‎ 师:证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直,现AB⊥CD,需找一条直线与AB垂直,有条件还没有用,能否利用构造一条直线与AB垂直呢?‎ 生:在面内过B作BE⊥CD即可.‎ 师:为什么呢?‎ 学生分析,教师板书 本例题的难点是构造辅助线,采用分析综合法能较好地解决这个问题.‎ 典例分析 例2 如图,已知平面 师投影例2并读题 生:平行 ‎,,直线a满足,,试判断直线a与平面的位置关系.‎ 解:在内作垂直于与交线的直线b,‎ 因为,所以 因为,所以a∥b.‎ 又因为,所以a∥.‎ 即直线a与平面平行.‎ 例3 设平面⊥平面,点P作平面的垂线a,试判断直线a与平面的位置关系?‎ 证明:如图,设= c,过点P在平面内作直线b⊥c,根据平面与平面垂直的性质定理有.‎ 因为过一点有且只有一条直线与平面垂直,所以直线a与直线b垂合,因此.‎ 师:证明线面平行一般策略是什么?‎ 生:转证线线平行 师:假设内一条直线b∥a则b与的位置关系如何?‎ 生:垂直 师:已知,怎样作直线b?‎ 生:在内作b垂直于、的交线即可.‎ 学生写出证明过程,教师投影.‎ 师投影例3并读题,师生共同分析思路,完成证题过程,然后教师给予评注.‎ 师:利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下,所采用的一种数学方法,这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到,二是证直线b与直线a重合,相对容易一些,本题注意要分类讨论,其结论也可作性质用.‎ 巩固所学知识,训练化归能力.‎ 巩固所学知识,训练分类思想化归能力及思维的灵活性.‎ 随堂练习 ‎1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”错误的画“×”.‎ ‎(1)a.垂直于同一条直线的两个平面互相平行. ( √ )‎ b.垂直于同一个平面的两条直线互相平行. ( √ )‎ c.一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直. ( √ )‎ ‎(2)已知直线a,b和平面,且a⊥b,a⊥,则b与 学生独立完成 巩固、所学知识 的位置关系是 .‎ 答案:b∥或b.‎ ‎2.(1)下列命题中错误的是( A )‎ A.如果平面⊥平面,那么平面内所有直线垂直于平面.‎ B.如果平面⊥平面,那么平面内一定存在直线平行于平面.‎ C.如果平面不垂直平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面.‎ D.如果平面⊥平面,平面⊥平面,,那么.‎ ‎(2)已知两个平面垂直,下列命题( B )‎ ‎①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.‎ ‎②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.‎ ‎③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.‎ ‎④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.‎ 其中正确命题的个数是( )‎ A.3 B.‎2 C.1 D.0‎ ‎3.设直线a,b分别在正方体ABCD – A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内,欲使a∥b,a,‎ b应满足什么条件?‎ 答案:不相交,不异面 ‎4.已知平面,,直线a,且,,a∥,a⊥AB,试判断直线a与直线的位置关系. ‎ 答案:平行、相交或在平面内 归纳总结 ‎1.直线和平面垂直的性质 ‎2.平面和平面垂直的性质 ‎3.面面垂直线面垂直线线垂直 学生归纳总结,教材再补充完善.‎ 回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.‎ 课后作业 ‎2.3 第三课时 习案 学生独立完成 固化知识 提升能力 备选例题 例1 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面,另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直,a是内一条直线,若斜边AB与a垂直,则BC是否与a垂直?‎ ‎【解析】‎ ‎【评析】若BC与垂直,同理可得AB与也垂直,其实质是三垂线定理及逆定理,证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法:“线线垂直→线面垂直→线线垂直” .‎ 例2 求证:如果两个平面都垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面.已知⊥r,⊥r,∩= l,求证:l⊥r.‎ ‎【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面、垂直.或由面面垂直的性质易在、内作出平面r的垂线,再设法证明l与其平行即可.‎ ‎【证明】法一:如图,设∩r = a ,∩r = b,在r内任取一点P.过点P在r内作直线m⊥a,n⊥b.‎ ‎∵⊥r,⊥r,‎ ‎∴m⊥a,n⊥(面面垂直的性质).‎ 又∩= l,‎ ‎∴l⊥m,l⊥n.又m∩n = P,m,nr ‎∴l⊥r.‎ 法二:如图,设∩r = a,∩r = b,在内作m⊥a,在内作n⊥b.‎ ‎∵⊥r,⊥r,‎ ‎∴m⊥r,n⊥r.‎ ‎∴m∥n,又n,m,‎ ‎∴m∥,又∩= l,m,‎ ‎∴m∥l,‎ 又m⊥r,∴l⊥r.‎ ‎【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键.证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化;证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化.此题是线线、面面垂直转化的典型题,通过一题多解,对沟通知识和方法,开拓解题思路是有益的.‎
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