浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题6数列+第44练高考大题突破练_数列
第44练 高考大题突破练—数列
[基础保分练]
1.已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2·a3＝15，S4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝.
求数列{bn}的通项公式.
2.(2019·浙江学军中学模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝Tn为{bn}的前n项和，求T2n.
3.(2018·杭州高级中学模拟)已知等差数列{an}的公差d＝2，其前n项和为Sn，数列{bn}的首项b1＝2，其前n项和为Tn，满足＝Tn＋2，n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{|anbn－14|}的前n项和Wn.
[能力提升练]
4.若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}满足cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλ
0，∴q＝2.
∵S2＝2a2－2，∴a1＋a2＝2a2－2，
∴a1＋a1q＝2a1q－2，∴a1＝2，∴an＝2n.
(2)由(1)知bn＝
即bn＝
∴T2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n
＝
＋[2×2－2＋4×2－4＋6×2－6＋…＋(2n)·2－2n]
＝＋[2×2－2＋4×2－4＋6×2－6＋…＋(2n)·2－2n].
设A＝2×2－2＋4×2－4＋6×2－6＋…＋(2n)·2－2n，
则A＝2×2－4＋4×2－6＋6×2－8＋…＋(2n－2)·2－2n＋(2n)·2－2n－2，
两式相减得A＝＋2(2－4＋2－6＋2－8＋…＋2－2n)－(2n)·2－2n－2，
整理得A＝－，
∴T2n＝－＋.
3.解 (1)因为2(＋1)＝Tn＋2，
所以2(＋1)＝T1＋2，
即2(＋1)＝b1＋2＝4，解得a1＝1，
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
所以Sn＝＝n2，
所以2n＋1＝Tn＋2，Tn＝2n＋1－2.
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n，
因为b1＝2符合上式，所以bn＝2n.
(2)令cn＝anbn－14＝(2n－1)2n－14，
显然c1＝－12，c2＝－2，所以当n≥3时，cn>0，
n≥3，Wn＝－c1－c2＋c3＋…＋cn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn－2c1－2c2，
Wn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－1)2n－14n＋28，
令Qn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－1)2n，
则2Qn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1，
两式作差得
－Qn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1，
＝2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－2－(2n－1)2n＋1
＝2(2＋22＋23＋…＋2n)－2－(2n－1)·2n＋1
＝2n＋2－4－2－(2n－1)2n＋1，
所以Qn＝(2n－3)2n＋1＋6，
所以Wn＝
能力提升练
4.解 (1)∵数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.
∴当n＝1时，a1＋1＝2，解得a1＝1.
又数列{an}是公差为2的等差数列，
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
∴2nbn＝nbn＋1，化为2bn＝bn＋1，
∴数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.∴bn＝2n－1.
(2)由数列{cn}满足cn＝＝＝，数列{cn}的前n项和为
Tn＝1＋＋＋…＋，
∴Tn＝＋＋…＋＋，
两式作差，得Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－，
∴Tn＝4－.
不等式(－1)nλ－2..
综上，实数λ的取值范围是(－2,3).
