山东省威海市文登区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

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文档介绍

山东省威海市文登区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

高一数学试题 一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列集合与集合相等的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的含义,对选项进行逐一分析即可.‎ ‎【详解】对:集合中的元素代表点,与集合不同;‎ 对:集合中的元素代表点,与集合不同;‎ 对:,解得或,与集合元素相同;‎ 对:表示两个代数式的集合,与集合不同.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查集合相等的判断,属基础题.‎ ‎2.已知,则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由,‎ 而推不出,‎ ‎“”是“充分不必要条件 ‎3.已知集合,,则( )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合,再判断两个集合之间的关系.‎ ‎【详解】对集合,‎ 故存在集合A中的元素-1或2,使得其不属于集合.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查集合之间的关系,属基础题.‎ ‎4.下表为国家统计局对2012-2018年的农产品生产价格指数进行的统计数据,则下列四个类别的产品生产价格一直在增长的是,生产价格指数最不稳定的是( )‎ 农产品生产价格指数(上年100)‎ 指标 ‎2012年 ‎2013年 ‎2014年 ‎2015年 ‎2016年 ‎2017年 ‎2018年 种植业产品 ‎104.8‎ ‎104.3‎ ‎1018‎ ‎99.2‎ ‎97.0‎ ‎99.5‎ ‎101.2‎ 林业产品 ‎101.2‎ ‎99.1‎ ‎99.4‎ ‎97.9‎ ‎96.1‎ ‎104.9‎ ‎989‎ 畜牧产品 ‎99.7‎ ‎102.4‎ ‎97.1‎ ‎104.2‎ ‎110.4‎ ‎90.8‎ ‎95.6‎ 渔业产品 ‎106.2‎ ‎104.3‎ ‎103.1‎ ‎102.5‎ ‎103.4‎ ‎104.9‎ ‎102.6‎ A. 畜牧产品,种植业产品 B. 渔业产品,畜牧产品 C. 渔业产品,林业产品 D. 畜牧产品,渔业产品 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图表中价格指数的增长情况以及波动情况,即可容易选择.‎ ‎【详解】根据图表可知:‎ 渔业产品每一年的价格指数均超过,故都在增长;‎ 又畜牧产品的价格指数增长波动最大.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查数据分析,属基础题.‎ ‎5.某班有男生28人,女生16人,用分层抽样的方式从中抽取容量为的样本,若男生抽取了7人,则的值为( )‎ A. 10 B. ‎11 ‎C. 12 D. 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样等比例抽取的性质,即可容易判断.‎ ‎【详解】根据题意可得,解得.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样等比例抽取的性质,属基础题.‎ ‎6.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.则某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算至多1次遇到红灯的概率,再用1减去所求概率,即可求得结果.‎ ‎【详解】若从甲地到乙地,遇到1次红灯,则概率为,‎ 没有遇到红灯的概率为,‎ 故某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查独立事件的概率计算,属基础题.‎ ‎7.下列大小关系正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的单调性,即可判断大小.‎ ‎【详解】因为,‎ 故.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较大小,属基础题.‎ ‎8.已知关于的不等式(且)的解集为,则( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行分类讨论,结合临界情况的取值,即可容易求得.‎ ‎【详解】当时,显然恒成立,不符合题意;‎ 当时,是单调减函数,是单调增函数,‎ 根据不等式的解集可知:,解得.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性,属基础题.‎ 二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球,则下列结论正确的是( )‎ A. “至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件 B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件 C. “至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件 D. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,写出所有的基本事件,根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】不妨记两个黑球为,两个红球为,从中取出2个球,则所有基本事件如下:‎ ‎,‎ 恰有一个黑球包括基本事件:,都是黑球包括基本事件,‎ 两个事件没有共同的基本事件,故互斥;‎ 至少一个黑球包括基本事件:,都是红球包括基本事件,‎ 两个事件没有共同的基本事件,且两者包括的基本事件的并集为全部基本事件,故对立.‎ 故选:BC ‎【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的判断,属基础题.‎ ‎10.年度国内生产总值为该年度第一、二、三产业增加值之和,观察下列两个图表,则( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A. 2014~2018年,国内生产总值增长率连续下滑 B. 2014~2018年,第三产业对国内生产总值增长起到拉动作用 C. 第三产业增长率与国内生产总值增长率的变化趋势保持一致 D. 2018年第三产业增加值在国内生产总值的占比超过50%‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据表格中数据,结合选项进行逐一分析即可.‎ ‎【详解】对:年国内生产总之增长率相对年上涨,故错误;‎ 对:从图表中可知,随着第三产业增加值的增长,国内生产总值的在不断增长,故正确;‎ 对:年第三产业的增长率相对年在增大,而国内生产总值的增长率在下降,故错误;‎ 对:年第三产业的增加值超过万亿元,而当年的国内生产总值有90万亿元,故占比超过,故正确;‎ 故选:BD.‎ ‎【点睛】本题考图表数据的分析,属基础题.‎ ‎11.已知函数有且只有一个零点,则( )‎ A. ‎ B. ‎ C. 若不等式的解集为,则 D. 若不等式的解集为,且,则 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数零点的分布,以及三个二次之间的关系,韦达定理的应用,即可容易求得.‎ ‎【详解】因为有且只有一个零点,‎ 故可得,即可.‎ 对:等价于,显然,故正确;‎ 对:,故正确;‎ 对:因为不等式的解集为,‎ 故可得,故错误;‎ 对:因为不等式的解集为,且,‎ 则方程的两根为,‎ 故可得,‎ 故可得,故正确.‎ 故选:ABD.‎ ‎【点睛】本题考查二次不等式和二次方程,以及二次函数之间的关系,属基础题.‎ ‎12.已知是定义在上的奇函数,且为偶函数,若,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数性质,赋值即可求得函数值以及函数的周期性.‎ ‎【详解】因为是定义在上的奇函数,且为偶函数,‎ 故可得,‎ 则,故选项正确;‎ 由上述推导可知,故错误;‎ 又因为,故选项正确.‎ 又因为,故错误.‎ 故选:AD.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数函数值的求解以及周期性的求解,属综合基础题.‎ 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.一组数据2,3,4,5,7,10,12,14,16的25%分位数为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求数据的中位数,再求前一组数据的中位数即可.‎ ‎【详解】因为有9个数据,故可得其中位数为,‎ 则中位数前有2,3,4,5合计4个数,其中位数为,‎ 故可得其25%分位数为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查四分位数的求解,属基础题.‎ ‎14.________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数和指数的运算即可容易求得.‎ ‎【详解】原式.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查对数和指数的运算,属基础题.‎ ‎15.三国时代数学家赵爽在注释《周髀算经》时,用几何的方法讨论一元二次方程的解:将四个长为,宽为的矩形围成如图所示正方形,于是中间小正方形的面积为________,且大正方形的面积为________,从而得到一元二次方程的根.(用,表示)‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,用整体代入的思想,即可容易求得结果.‎ ‎【详解】由题可知,小正方形边长为,则小正方形的面积为;‎ 又四个小长方形的面积为,‎ 故可得大正方形的面积为:,‎ 又因为,故可得代入上式 可得大正方形的面积为.‎ 故答案为:;‎ ‎【点睛】本题考查一元二次方程根的求解,属基础题.‎ ‎16.若,使不等式成立,则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题,即可求得参数范围.‎ ‎【详解】令,由可得,‎ 则问题等价于存在,,‎ 分离参数可得 若满足题意,则只需,‎ 令,令,‎ 则,容易知,‎ 则只需,整理得,‎ 解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查由存在性问题求参数值,属中档题.‎ 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设集合,,若,,写出符合条件的所有集合.‎ ‎【答案】,,,,,,,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得二次函数值域和二次不等式,再写出集合的子集即可.‎ ‎【详解】由题意知,,.‎ 若,,所以, ‎ 所以,,,,,,,.‎ ‎【点睛】本题考查集合子集的求解,属基础题.‎ ‎18.空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AOI大小分为六级.某地区一监测站记录自2019年9月起连续天空气质量状况,得如下频数统计表及频率分布直方图.‎ 空气质量指数(AOI)‎ 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 频数(天)‎ ‎25‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎(Ⅰ)求,的值,并完成频率分布直方图;‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图,求该组数据的平均数与中位数;‎ ‎(Ⅲ)在空气质量指数分别为和的监测数据中,用分层抽样的方法抽取6天,再从中任意选取2天,求事件“两天空气质量等级不同”发生的概率.‎ ‎【答案】(Ⅰ),,直方图见解析;(Ⅱ)90,81.25;(Ⅲ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由频率的计算公式,即可求得参数,根据表格中数据,即可补全直方图;‎ ‎(Ⅱ)根据频率分布直方图中平均数和中位数的求解方法,即可容易求得;‎ ‎(Ⅲ)先用分层抽样求得天中在区间和的天数,列举出所有任取天的可能性,找出满足题意的可能性,根据古典概型的概率求解公式即可求得结果.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题知,解得,所以. ‎ 频率分布直方图如图:‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)平均数为 ‎; ‎ 中位数为 ;‎ ‎(Ⅲ)按分层抽样在和中抽取分别抽取4天和2天,‎ 在所抽取的6天中,将空气质量指数为的4天分别记为,,,,‎ 空气质量指数为的2天分别记为,,‎ 从中任取2天的基本事件为 ‎ 共15个,‎ 其中事件“两天空气质量等级不同”发生基本事件包括8个,‎ 所以概率.‎ ‎【点睛】本题考查频率的计算,频率分布直方图的绘制,以及由频率分布直方图计算中位数和平均数,古典概型的概率计算,涉及分层抽样,属综合中档题.‎ ‎19.已知命题,,,.试判断“为真命题”与“为真命题”的充分必要关系.‎ ‎【答案】“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由恒成立问题求得“为真命题”与“为真命题”对应的参数范围,结合集合之间的关系,判断充分性和必要性.‎ ‎【详解】若为真命题,则, ‎ 令,在单调递减,‎ 所以,∴,. ‎ ‎,, ‎ 若为真命题,则 由.,可得,‎ 所以 ‎ 因为,‎ 所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.‎ ‎【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断,涉及由恒成立问题求参数的范围,属综合中档题.‎ ‎20.已知偶函数,且.‎ ‎(Ⅰ)求,的值;‎ ‎(Ⅱ)设函数,若的值域为,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ), ;(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由函数定义域关于原点对称,以及函数值,待定系数即可求得结果;‎ ‎(Ⅱ)根据对数型复合函数的值域以及的值域,即可求得参数的范围.‎ ‎【详解】(Ⅰ)函数的定义域为,‎ 对于,因为,所以 因为为偶函数,所以其定义域关于原点对称 所以对于,一定有,则 且有,可得 ‎ 所以 解得, ‎ 因为,‎ 所以,从而. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,, ‎ 当时,可得,所以,即; ‎ 当时,,所以, ‎ 因为的值域为,所以,‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查由对数型复合函数的奇偶性求参数值,以及对数型符合函数值域的求解,属中档题.‎ ‎21.2019年是我国脱贫攻坚关键年.在扶贫工作中,为帮助尚有90‎ 万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫,市政府继续为其提供30万元无息贷款,用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费,已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元,且,企业在经营过程中每月还要支付给职工3万元最低工资保障.‎ ‎(Ⅰ)写出该企业的年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式;‎ ‎(Ⅱ)当年产量为多少万件时,企业获得的年利润最大?并求出最大利润;‎ ‎(Ⅲ)企业只依靠生产并销售该产品,最早在几年后能偿还所有贷款?‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)年产量为9万件时,企业获得的年利润最大为24万元;(Ⅲ)5年.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据,分段求得利润,将其写成分段函数即可;‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)中所求,求分段函数的最值;‎ ‎(Ⅲ)根据(Ⅱ)中所求,解简单不等式即可求得.‎ ‎【详解】(Ⅰ)当时,‎ 年利润;‎ 时,.‎ 所以; ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知当时,,‎ 所以当万件时,企业获得的利润最大为14万元; ‎ 时,,‎ 当且仅当万件时,乙获得的利润最大为24万元. ‎ 综上可知,年产量为9万件时,企业获得的年利润最大为24万元. ‎ ‎(Ⅲ)由题意,设最早年后还清所有贷款,‎ 则有,解得,‎ 所以企业最早5年后还清所有贷款.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用,属综合基础题.‎ ‎22.已知函数(且).‎ ‎(Ⅰ)若,求的值;‎ ‎(Ⅱ)用定义证明在单调递增;‎ ‎(Ⅲ)若,成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)先求得,再根据对数的运算性质,即可求得结果;‎ ‎(Ⅱ)对进行分类讨论,根据单调性定义,作差比较大小即可证明;‎ ‎(Ⅲ)利用(Ⅱ)中所证,根据函数单调性求解不等式即可.‎ ‎【详解】(Ⅰ),因为,‎ 所以. ‎ ‎(Ⅱ)设且,那么 ‎ ‎ 当时,,则,‎ 又,,则,‎ 所以,从而; ‎ 当时,,则,‎ 又,,则,‎ 所以,从而,‎ 综上可知在单调递增. ‎ ‎(Ⅲ)由题意可知的定义域为,且,‎ 所以偶函数. ‎ 所以等价于,‎ 又因为在单调递增,‎ 所以,即,‎ 所以有:,, ‎ 令,‎ 则,,‎ ‎,且,或或,‎ 所以或.‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算性质,以及利用函数单调性的定义求证指数型函数的单调性,涉及利用函数单调性求解不等式,属综合中档题.‎
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