2021高考数学一轮复习课时作业30等比数列及其前n项和理

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2021高考数学一轮复习课时作业30等比数列及其前n项和理

课时作业30 等比数列及其前n项和 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1.[2020·河北保定模拟]已知等比数列{an}中,有a‎3a11=‎4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9=(  )‎ A.4 B.5‎ C.8 D.15‎ 解析:∵a3a11=4a7,∴a=4a7,∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=4,∴b5+b9=2b7=8,故选C项.‎ 答案:C ‎2.[2019·贵州贵阳期中]设Sn为等比数列{an}的前n项和,‎8a2+a5=0,则=(  )‎ A.11 B.5‎ C.-11 D.-8‎ 解析:设等比数列{an}的公比为q,∵8a2+a5=0,∴q3=-8,∴q=-2,∴==-11,故选C项.‎ 答案:C ‎3.[2019·陕西西安远东中学期中]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S3=a2+‎10a1,a5=9,则a1=(  )‎ A. B.- C. D.- 解析:设数列{an}的公比为q,∵S3=a2+10a1,∴a3=9a1,∴q2=9,又a5=9,∴a1q4=9,∴a1=,故选C项.‎ 答案:C ‎4.[2020·内蒙古呼和浩特一中摸底]已知数列{an}是递减的等比数列,a1+a4=9,a2·a3=8,则数列{an}的前n项和Sn=(  )‎ A.8- B.16- C.2n-3-8 D.16-2n-3‎ 解析:设等比数列{an}的公比为q,∵a2·a3=8,∴a1·a4=8,又a1+a4=9且数列{an 5‎ ‎}是递减数列,∴a1=8,a4=1,∴q3=,∴q=,∴Sn==16-,故选B项.‎ 答案:B ‎5.[2020·安徽合肥联考]已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,则S12等于(  )‎ A.45 B.60‎ C.35 D.50‎ 解析:通解 ∵a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,∴S3=3,S6-S3=6,易知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等比数列,∴S9-S6=12,S12-S9=24,又S6=9,∴S9=21,∴S12=45,故选A项.‎ 优解 ∵a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,∴S3=3,S6-S3=6,易知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等比数列,∵S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=S12,∴S12==45,故选A项.‎ 答案:A 二、填空题 ‎6.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=________.‎ 解析:因为①-②得3a3=a4-a3,即4a3=a4,则q==4.‎ 答案:4‎ ‎7.[2020·长春调研]在正项等比数列{an}中,已知a‎1a2a3=4,a‎4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=________.‎ 解析:设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=aq3与a4a5a6=12=aq12,可得q9=3,an-1anan+1=aq3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以3n-6=36,即n=14.‎ 答案:14‎ ‎8.[2019·河北师大附中期中]已知等比数列{an}的各项均为正数,且a3-a2=1,则a4+‎3a2的最小值为________.‎ 解析:通解 ∵a2·a4=a,∴a4=,∵a3-a2=1,∴a3=a2+1,∴a4+3a2=+3a2=+4a2+2,∵a2>0,∴+4a2+2≥6,即a4+3a2≥6,当且仅当a2=时取等号,所以a4+3a2的最小值为6.‎ 优解 设数列{an}的公比为q,∵a3-a2=1,∴q>1且a1q2-a1q=1,即a1=‎ 5‎ ,∴a4+3a2=a1q3+3a1q===q-1++2≥6,当且仅当q=3时取等号,所以a4+3a2的最小值为6.‎ 答案:6‎ 三、解答题 ‎9.[2020·兰州诊断性测试]在公差不为零的等差数列{an}中,a1=1,a2,a4,a8成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=2,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.‎ 解析:(1)设等差数列{an}的公差为d,‎ 则依题意有 解得d=1或d=0(舍去),‎ ‎∴an=1+(n-1)=n.‎ ‎(2)由(1)得an=n,‎ ‎∴bn=2n,∴=2,‎ ‎∴{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,‎ ‎∴Tn==2n+1-2.‎ ‎10.[2019·全国卷Ⅱ]已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=‎2a2+16.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.‎ 解析:(1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,‎ 即q2-2q-8=0.‎ 解得q=-2(舍去)或q=4.‎ 因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.‎ ‎(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,‎ 因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11.[2020·湖南湘潭模拟]已知等比数列{an}的前n项积为Tn,若a1=-24,a4=-,则当Tn取最大值时,n的值为(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.6‎ 5‎ 解析:设等比数列{an}的公比为q,由a1=-24,a4=-,可得q3==,解得q=,∴Tn=a1a2a3…an=(-24)n·q1+2+…+(n-1)=(-24)n·,当Tn取最大值时,可得n为偶数,当n=2时,T2=242·=192;当n=4时,T4=244·6=;当n=6时,T6=246·15=,则T66,且n为偶数时,Tn0,所以q=;②若删去a3,则由2a2=a1+a4,得2a1q=a1+a1q3,因为a1≠0,所以2q=1+q3,整理得q(q+1)(q-1)=q-1,又q≠1,所以q(q+1)=1,又q>0,所以q=.综上,q=,故选B项.‎ 答案:B ‎13.[2020·黑龙江鹤岗一中月考]已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列,且lg a1+lg a2 019=0,f(x)=,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 019)=(  )‎ A.2 018 B.4 036‎ C.2 019 D.4 038‎ 解析:∵f(x)=,∴f()=,∴f(x)+f()=2,∵lg a1+lg a2 019=0,∴lg a1a2 019=0,∴a1·a2 019=1,∴f(a1)+f(a2 019)=f(a2)+f(a2 018)=…=f(a1 009)+f(a1 011)=2f(a1 010)=2,∴f(a1)+f(a2)+…+f(a2 019)=2 019,故选C项.‎ 答案:C 5‎ 5‎
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