四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（文）试题

四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（文）试题

‎2020年春四川省宜宾叙州区第一中学高二第四学月考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知是虚数单位，若，则的虚部为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.命题“”的否定为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3.双曲线的焦距为 A. B. C. D.‎ ‎4.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.方程的实根所在的区间为 A. B. C. D. ‎ ‎6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：度）与气温x（单位：‎∘‎C）之间的关系，随机选取了‎4‎天的用电量与当天气温，并制作了对照表：‎ 由表中数据得线性回归方程：y‎=−2x+‎a，则由此估计：当气温为‎2‎‎∘‎C时，用电量约为 A. ‎56‎度 B. ‎62‎度 C. ‎64‎度 D. ‎68‎度 ‎7.函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8.已知曲线在点处的切线方程为，则 A. B. C. D. ‎ ‎9.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则 的解集为 A. B. C. D. ‎ ‎10.设F1，F2分别是椭圆E： （a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=，则椭圆E的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎11.已知三棱锥P−ABC的外接球O，PC为球O的直径，且PC=2‎，PA=PB=‎‎3‎，AB=1‎，那么顶点P到平面ABC的距离为 A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数满足，与函数图象的交点为，则=‎ A. 0 B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.函数的极大值为，则实数__________．‎ ‎14.已知，方程表示双曲线，则是的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）‎ ‎15.有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔，今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将获得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜是1号，2号，4号中的一个；丁猜2号，3号，4号都不可能，若以上四位老师只有一位猜对，则猜对者是___________（填甲、乙、丙、丁）‎ ‎16.直线ax−ay−1=0‎与圆‎(x−2)‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎交于A,B两点，过A,B分别作y轴的垂线与y轴交于C,D两点，若‎|CD|=1‎，则整数a=‎__________．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.(12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：‎ 男 女 需要 ‎40‎ ‎30‎ 不需要 ‎160‎ ‎270‎ ‎（I）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例。‎ ‎（II）能否在犯错误的概率不超过百分之一的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？‎ 附：‎K‎2‎‎=‎n‎(ad−bc)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎ P(K‎2‎≥k‎0‎)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k‎0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎18.(12分)已知函数在处的切线为.‎ ‎（I）求实数的值；‎ ‎（II）求的单调区间.‎ ‎19.(12分)如图，在三棱柱ABC−DEF中，四边形ABED是菱形，四边形ADFC是正方形，AC⊥AB，AB=2‎，‎∠BAD=60°‎，点G为AB的中点.‎ ‎（I）求证：BF∥‎平面CDG；‎ ‎（II）求点F到平面CDG的距离.‎ ‎20.(12分)已知椭圆的焦距为2，左右焦点分别为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设不过原点的直线与椭圆C交于两点,若直线与的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；‎ ‎21.(12分)已知为实数，函数.‎ ‎（I）若是函数的一个极值点，求实数的取值；‎ ‎（II）设，若，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求的直角坐标方程与点的直角坐标；‎ ‎（II）求证：.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数，x∈R.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（II）若对x，y∈R，有，，求证：.‎ ‎2020年春四川省宜宾叙州区第一中学高二第四学月考试 文科数学答案 ‎1.B 2.C 3.D 4.A 5.B 6.A 7.D 8.D 9.B 10.D 11.C 12.B ‎13.3 14.充分不必要. 15.丁 16.1‎ ‎17.（1）调查的500名老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为‎70‎‎500‎‎×100‎%=14%‎ ‎（2）k=‎500×‎‎(40×270-30×160)‎‎2‎‎200×300×70×430‎≈9.967‎，由于9.967>6.635,所以可以在犯错误的概率不超过百分之一的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。‎ ‎18.（1）依题意可得：‎ 又函数在处的切线为，‎ 解得：‎ ‎（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，‎ 当时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；‎ 当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，‎ ‎∴的单调减区间为的单调增区间为.‎ ‎19.(1)连接AF，与CD交于点H，连接GH，则GH为△ABF的中位线，‎ 所以BF∥GH，又BF‎⊄‎平面CDG，GH⊂平面CDG，所以BF∥平面CDG.‎ ‎(2)由点H为AF的中点，且点平面CDG可知，‎ 点F到平面CDG的距离与点A到平面CDG的距离相等，‎ 由四边形ADFC是正方形，AC⊥AB，可得CA是三棱锥C-ADG的高，‎ 由题意得，CA=2,AG=1,DG=‎3‎,DG⊥AG，‎ 所以VC-ADG‎=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×1×‎3‎×2=‎‎3‎‎3‎，‎ 在△CDG中，DG=‎3‎,CG=‎5‎,DG⊥CG，‎ 设点A到平面CDG的距离为h，则VA-CDG‎=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×‎3‎×‎5‎×h=‎‎15‎h‎6‎，‎ 由VC-ADG‎=‎VA-CDG得，‎3‎‎3‎‎=‎15‎h‎6‎,h=‎2‎‎3‎‎15‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎，‎ 所以点F到平面CDG的距离为‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎20.(1)由题意可得，即，‎ 由直线与圆相切，可得，解得，‎ 即有椭圆的方程为；‎ ‎(2)证明：设，‎ 将直线代入椭圆，‎ 可得，即有，‎ ‎，‎ 由，‎ 即有，‎ 代入韦达定理，可得，‎ 化简可得，则直线的方程为，即，故直线恒过定点；‎ ‎21：（1）函数定义域为 ，.‎ ‎∵是函数的一个极值点，∴，解得.‎ 经检验时， 是函数的一个极小值点，符合题意，∴.‎ ‎ （2）由，得，‎ 记，∴，∴当 时， ， 单调递减；‎ ‎ 当时， ， 单调递増.∴，‎ ‎∴，记，‎ ‎∴ .‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴时， ， 单调递减；‎ 时， ， 单调递增，∴，‎ ‎∴.故实数的取值范围为.‎ ‎22.（1）曲线的极坐标方程可化为，即，‎ 将代入曲线的方程得，所以，曲线的直角坐标方程为.‎ 将直线的极坐标方程化为普通方程得，‎ 联立，得或，则点、，‎ 因此，线段的中点为；‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 易知的垂直平分线的参数方程为（为参数），‎ 代入的普通方程得，，因此，.‎ ‎23.(1)∵,∴|2x－1|<|x|＋1,即 或或 得或或无解．‎ 故不等式的解集为{x|0

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