山东省济南市章丘区第四中学2019-2020学年高二第四次质量检测数学试题

山东省济南市章丘区第四中学2019-2020学年高二第四次质量检测数学试题

章丘四中·第四次网上教学质量评估 数学 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.‎ ‎4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知是实数，是纯虚数，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，令其实部为零，虚部不为零 ‎【详解】解：‎ 所以，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查纯虚数的定义，基础题 ‎2.两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，‎ 即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，‎ 则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×= ‎ 故选B.‎ ‎3.已知随机变量服从正态分布，则（ ）‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 8 D. 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件求得，再由，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，随机变量服从正态分布，可得，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，其中解答中熟记方差的求法是解答的关键，着重考查了计算能力.‎ ‎4.设随机变量，满足：，，若，则（ ）‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. 6 D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得：，‎ 解得：，则：．‎ 本题选择A选项.‎ ‎5.若，则（ ）‎ A. 20 B. ‎19 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：,可得.故选C.‎ 考点：二项式系数的性质.‎ ‎【方法点晴】本题从等式右边入手,右边是的展开式,所以把等式左边的两项凑成都含有,而是指的系数,的展开式通项为,令,得展开式中的系数为,展开式通项为,令,得展开式中系数为,所以.‎ ‎6. 3位数学家，4位物理学家，站成两排照像.其中前排3人后排4人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有（ ）‎ A. 5040种 B. 840种 C. 720种 D. 432种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：第一类：3位数学家相邻在前排有；第二类：三位数学家相邻在后排，先从4位物理学家中选3为排在前排有，将3位数学家合一，与剩下的一名物理学家在后排排列有，3位数学家再排有，此类共有，综上共有种，故选择D.‎ 考点：排列中的相邻问题.‎ ‎7.如图所示，在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，作出在平面上的射影，求出和，然后直接求正弦值即可 ‎【详解】如图所示，在平面内过点作的垂线，垂足为，连接.平面，的正弦值即为所求.，，.‎ ‎【点睛】本题考查线面角的计算问题，属于基础题，解题核心在于找到平面外直线在平面的射影 ‎8.已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，根据函数在上有两个极值点，转化为在上有不等于的解，令，利用奥数求得函数的单调性，得到且，又由在上单调递增，得到在上恒成立，进而得到在上恒成立，借助函数在为单调递增函数，求得，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数，‎ 可得，‎ 又由函数在上有两个极值点，‎ 则，即在上有两解，‎ 即在在上有不等于2的解，‎ 令，则，‎ 所以函数在为单调递增函数，‎ 所以且，‎ 又由在上单调递增，则在上恒成立，‎ 即在上恒成立，即在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 又由函数在为单调递增函数，所以，‎ 综上所述，可得实数的取值范围是，即，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.‎ 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.下列说法正确的是（ ）‎ A. 离散型随机变量的方差反映了随机变量取值的波动情况；‎ B. 随机变量，其中越小，曲线越“矮胖”；‎ C. 若与是相互独立事件，则与也是相互独立事件；‎ D. 从10个红球和20个白球除颜色外完全相同中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A. 按离散型随机变量的方差的性质判断，正确；‎ B. 随机变量，其中越小，曲线越“高瘦”，故错误；‎ C. 若与是相互独立事件，则与也是相互独立事件，正确；‎ D. 从10个红球和20个白球除颜色外完全相同中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布，符合超几何分布的定义，正确；‎ ‎【详解】解：A，离散型随机变量的方差反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度，故A正确 B，随机变量，其中一定时，越小，曲线越“高瘦”；‎ 越大，曲线越“矮胖”，故B错误 C，若与是相互独立事件，则，因为与不相交，所以 ‎，故和独立，故C正确 ‎ D，超几何分布是统计学上一种离散型概率分布，它描述了从有限个物件（其中包含个指定类物件）中抽出个物件，这件中所含指定种类的物件数是一个离散型随机变量，故D正确.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】考查离散型随机变量方差的性质、正态分布概率密度函数的特征、相互独立事件的性质以及超几何分布的定义，是基础题.‎ ‎10.满足方程的的值可能为（ ）‎ A. 1 B. ‎3 ‎C. 5 D. ‎ ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用组合数的性质求解 ‎【详解】解：因为 所以或 ‎，或，或，或 时，，故舍去；‎ 时，，故舍去；‎ 时，；‎ 时，；‎ 故选: AB ‎【点睛】本题考查组合数性质，基础题.‎ ‎11.如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（ ）‎ A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成角为 C. 平面 D. 直线与平面所成的角为 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A. 利用，三棱锥的体积为定值，正确 B. 利用平移法找异面直线所成的角，，和所成的角为，所以异面直线与所成的角为，故B错误 C. 若平面，则线与所成的角为，而异面直线与所成的角为，故C错误 D，建立坐标系，用向量坐标法求解，先求出平面的一个法向量，再求平面的一个法向量和的方向向量的夹角，正确 ‎【详解】解：对于A， ‎ ‎ ‎ 故三棱锥的体积为定值，故A正确 对于B， ，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误 对于C， 若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误 对于D，以为坐标原点，分布以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，‎ 设平面的法向量为则 ‎，即 令，则 所以直线与平面所成的角为，正确 故选：AD ‎【点睛】以正方体为载体，考查：判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值，求线线角、线面角，判断线面是否垂直.判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值可通过变换三棱锥顶点和底面解决，求线线角一般是用平移法，求线面角可转化为求平面的法向量与直线的方向向量的夹角，判断线面垂直也可用反证法.基础题.‎ ‎12.如图是函数的导函数的图象，则（ ）‎ A. 在时，函数取得极值 B. 在时，函数取得极值 C. 的图象在处切线的斜率小于零 D. 函数区间上单调递增 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数极值点的定义可判断A、B；根据导数的几何意义以及导数与函数单调性的关系可判断C、D.‎ ‎【详解】由图可知，是导函数一个变号零点，‎ 故当时，函数取得极值，选项A正确；‎ 不是导函数的一个变号零点，‎ 故当时，函数不能取得极值，选项B错误；‎ 的图象在处的切线斜率为，选项C错误；‎ 当时，，此时函数单调递增，选项D正确．‎ 故选：AD．‎ ‎【点睛】本题考查了导数函数极值点的定义、导数与函数单调性的关系，属于基础题.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.设，已知的实部是1，则的虚部为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据复数相等即可 ‎【详解】解：设 因为 所以 则的虚部为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎14.某2017年夏令营组织5名营业员参观北京大学、清华大学等五所大学，要求每人任选一所大学参观，则有且只有两个人选择北京大学的不同方案共有__________个.（用数字作答）‎ ‎【答案】640‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先安排其中两人有10种方案，再安排剩余3人，分成3种情况 ‎【详解】解：有且只有两个人选择北京大学有种方案 剩余3人参观的方案有以下三种：‎ 作为一组参观有4种方案，‎ ‎3人分成两组，一组1人，另一组2人，参观4个学校有，‎ ‎3人分成3组，每组1人，参观4个学校有，‎ 所以共有 ‎【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意优先满足受到限制的元素．‎ ‎15.的展开式中的系数为__________.‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，分别计算的展开式中的系数，再计算求解.‎ ‎【详解】由,‎ 则展开式的通项公式为：.‎ 所以的展开式中的系数为：‎ 的展开式中含的项: ‎ 展开式中的系数为：‎ 的展开式中的系数为: ‎ 故答案为：11‎ ‎【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式的应用，属于中档题.‎ ‎16.已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，，，，则__________；__________.‎ ‎【答案】 (1). 1; (2). .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把代入化简整理即可（2）代入计算 ‎【详解】解：‎ 取的中点，‎ 又，空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为 故答案为： ；‎ ‎【点睛】考查空间向量的基本运算，基础题.‎ 四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图，四棱锥中侧面为等边三角形且垂直于底面，，，，是的中点.‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明四边形是平行四边形，可得，进而得证.‎ ‎（2）首先取的中点，连接，根据题意易证底面， 再建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得余弦值.‎ ‎【详解】（1）取的中点，连接，，‎ ‎∵是的中点，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ 又不在平面内，在平面内，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）取的中点，连接.‎ 因为，所以 又因为平面底面，所以底面.‎ 分别以、所在的直线为轴和轴，以底面内的中垂线为轴 建立空间直角坐标系，‎ 令，则，‎ 因为是等边三角形，则，为的中点，，‎ 则，，，‎ ‎∴，，，‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ 则，令，，‎ ‎，令，故可取，‎ ‎∴，‎ 经检验，二面角的余弦值的大小为.‎ ‎【点睛】本题第一问考查线面平行的证明，第二问考查向量法求二面角的余弦值，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎18.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎01‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，表示经销一件该商品的利润.‎ ‎（1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用期付款”的概率；‎ ‎（2）求的分布列、期望和方差.‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析；；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，利用对立事件的概率之和为1，先求购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款的概率. （2）的可能取值为200元，300元，400元，根据顾客采用的付款期数的分布列依次求概率，列出分布列，再求期望和方差.‎ ‎【详解】解：（1）购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，‎ 设表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.‎ 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”‎ ‎∴‎ ‎（2）根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能取值为200元，300元，400元.得到变量对应的事件的概率 的分布为 ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎0.2‎ ‎0.6‎ ‎0.2‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】考查用对立事件的概率之和为1‎ 求概率、离散型随机变量的分布列、期望和方差，中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数单调性；‎ ‎（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）讨论函数的单调性,先研究的导数，根据导数分类讨论 ‎（2）不等式恒成立，等价于，令，求的最大值即可 ‎【详解】解：（1）函数的定义域为，，‎ 当时，，所以函数在上单调递增，‎ 当时，由，得，函数在上单调递增.‎ 由，得，函数在上单调递减，‎ 故有：当时，所以函数在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减. ‎ ‎（2）不等式恒成立，‎ 即，等价于，‎ 由题意知，不等式，恒成立.‎ 令，则，‎ 又时，，，∴∴，‎ ‎∴在上是减函数，‎ ‎∴，‎ 即实数的取值范围是 故答案为：.‎ ‎【点睛】考查用导数研究含参数的函数的单调性以及不等式恒成立求参数的范围，难题.‎ ‎20.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.‎ ‎（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；‎ ‎（2）已知每检测一件产品需要费用50元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）事件总数是，第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品有 （2）当检验的2件都是次品，则检验2次即结束检验，检验费用为100元；当检验到的3件都是正品时，检验费用是150元，前两次检验到的是一件次品一件正品时，还需进行第三次检验，这时费用也是150元；最多检验4次，费用200元，用即可.‎ ‎【详解】解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，‎ 则；‎ ‎（2）的可能取值为100，150，200，‎ 所以的分布为：‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望，中档题.‎ ‎21.如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）过作，易证，再证明即可； （2）以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，用向量坐标法求解即可.‎ ‎【详解】（1）证明：如图，过作，则 且，‎ 又，，‎ ‎∴四边形为平行四边形，则，‎ 由，为中点，得为中点，而为中点，‎ ‎∴，，则四边形为平行四边形，则，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面 ‎（2）解：以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ ‎，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，取，得，‎ 又平面的一个法向量为，‎ ‎∴‎ 因为 ‎.‎ ‎∴二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明以及用向量法求二面角的平面角的正弦值，中档题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）当时，函数的递增区间为；‎ 当时，函数的递增区间为，递减区间为；‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），，，方程易求；‎ ‎（2），根据的正负分类讨论的单调性即可；‎ ‎（3）对任意的，使成立，只需任意的，，以下分、、三种情况讨论 ‎【详解】解：（1）时，，‎ ‎，‎ ‎∴在点处的切线方程为 故答案为：;‎ ‎（2）‎ ‎①当时，恒成立，函数的递增区间为 ‎②当时，令，解得或 ‎-‎ ‎+‎ 减 增 所以函数的递增区间为，递减区间为 当时，恒成立，函数的递增区间为;‎ 当时，函数的递增区间为，递减区间为.‎ ‎（3）对任意的，使成立，只需任意的，‎ ‎①当时，在上是增函数，‎ 所以只需 而 所以满足题意；‎ ‎②当时，，在上是增函数，‎ 所以只需 而，‎ 所以满足题意；‎ ‎③当时，，在上是减函数，上是增函数，‎ 所以只需即可 而 从而不满足题意；‎ 综合①②③实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】考查在曲线上的点的切线方程的求法、研究函数的单调性以及不等式恒成立求参数的范围，难题.‎