南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题02：函数的图像与性质
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专题二：函数的图像与性质
目录
问题归类篇 ............................................................................................................................................................... 2
类型一：函数的值域和最值 ........................................................................................................................... 2
类型二：函数的单调性 ................................................................................................................................... 5
类型三：函数的奇偶性和周期性 ................................................................................................................... 7
类型四：函数图像 ........................................................................................................................................... 9
综合应用篇 ............................................................................................................................................................. 12
一、例题分析 ................................................................................................................................................. 12
二、反馈巩固 ................................................................................................................................................. 14
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问题归类篇
类型一：函数的值域和最值
一、前测回顾
1．求下列函数的值域：
（1）y＝sin(2x＋π
3)，x∈[0，π
6]的值域是____________；
（2）y＝1－x2
1＋x2的值域是____________；
（3）y＝x＋
1－x的值域是____________；
（4）f(x)＝(1
2)x－x，x∈[－1，2] 的值域是____________；
（5）f(x)＝x2＋ 2
x2＋1的值域是____________．
答案：（1）[ 3
2 ，1]；（ 2）(－1，1]；（ 3）(－∞，5
4]；（ 4）[－7
4，3]；（ 5）[2 2－1，＋∞)．
2．函数 f(x)＝xlnx 的值域是____________．
答案：[－1
e，＋∞)．
二、方法联想
值域求法：
1．初等方法：（1）图象法；（2）复合函数法；（3）分离常数或反解法；（4）换元法；（5）单调性法；
（6）基本不等式法；（7）配方法．
2．高等方法（终极方法）：导数法．
三、方法应用
例 1 函数 y＝x－2 x＋2的值域是________．
[解析] 设 x＋2＝t，则 x＝t2－2，t∈[0，＋ ∞)，此时 y＝t2－2t－2＝(t－1)2－3≥－3，故所求值域是[－3，
＋∞)．
例 2 若函数 f(x)＝
－x＋6，x≤2，
3＋logax，x＞2(a＞0，且 a≠1)的值域是[4，＋ ∞)，则实数 a 的取值范围是________．
解析函数 f(x)的大致图像如图所示．
∵当 x≤2 时，f(x)∈[4，＋∞)，
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∴要使 f(x)在 R 上的值域是[4，＋∞)，
只需当 x>2 时，f(x)∈[4，＋∞)，
∴
a>1，
3＋loga2≥4，
解得 1
0.
(1)求 f(x)的单调区间和极值；
(2)当 x∈[1， e]时，求 f(x)的最小值．
解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)．
由 f(x)＝x2
2－kln x(k>0)得 f′(x)＝x－k
x＝x2－k
x .
由 f′(x)＝0 解得 x＝ k(负值舍去)．
f(x)与 f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：
x (0， k) k ( k，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) k(1－ln k)
2
所以，f(x)的单调递减区间是(0， k)，单调递增区间是( k，＋∞)．
f(x)在 x＝ k处取得极小值 f( k)＝k(1－ln k)
2 .
(2)由(1)知，当 k> e即 k>e 时，
f(x)min＝f( e)＝e
2－k
2.
当 1≤ k≤ e即 1≤k≤e 时，
f(x)min＝f( k)＝k(1－ln k)
2 .
当 k<1 即 0e.
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四、归类巩固
*1．函数 y＝ 16－4x的值域是__________．
答案：[0,4)．
*2．函数 y＝ x－x(x≥0)的最大值为__________．
解析：∵y＝ x－x＝－( x)2＋ x＝－ x－1
2
2＋1
4，
∴ymax＝1
4．
答案：1
4．
**3．设函数 f(x)＝1
2(x＋|x|)，则函数 f[f(x)]的值域为__________．
解析：先去绝对值，
当 x≥0 时，f(x)＝x，故 f[f(x)]＝f(x)＝x，
当 x＜0 时，f(x)＝0，故 f[f(x)]＝f(0)＝0，
即 f[f(x)]＝
x， x
0， x＜ 易知其值域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)．
**4．已知函数 f(x)满足 2f(x)－f 1
x ＝3
x2，则 f(x)的值域为________．
解析：由 2f(x)－f 1
x ＝3
x2①
令① 式中的 x 变为1
x可得 2f 1
x －f(x)＝3x2②
由①②可解得 f(x)＝2
x2＋x2，由于 x2＞0，
因此由基本不等式可得
f(x)＝2
x2＋x2≥2 2
x2·x2＝2 2，
当 x2＝ 2时取等号，因此其最小值为 2 2，值域为[2 2，＋∞)．
答案：[2 2，＋∞)．
**5．若函数 f(x)＝
23－2x， x≤9，
4logax－3， x＞9 (a＞0 且 a≠1)的值域是[5，＋∞)，则实数 a 的取值范围是 ．
答案：(1，3]．
***6．定义 min{a，b，c}为 a，b，c 中的最小值，设 f(x)＝min{2x＋3，x2＋1，5－3x }，则 f(x)的最大
值是__________
答案：2．
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类型二：函数的单调性
一、前测回顾
1．（1）函数 f(x)＝2x＋1
x＋1 的增区间为 ；
（2）f(x)＝log1
2(x2－2x)的增区间为 ；
答案：（1）(－∞，－1)和(－1，＋∞)；（2）(－∞，0)．
2．f(x)＝lnx－2x2 的减区间为 ．
答案：(1
2，＋∞)．
二、方法联想
方法 1：图象法； 方法 2：导数法； 方法 3：定义法； 方法 4：复合函数法．
判断函数的单调性优先考虑定义域，方法选择可先考虑图象法，再考虑复合函数法，关键时候用导
数法，别忘了定义法．
注意：单调性证明只能用导数法和定义法．
三、方法应用
例 1 (1)函数 f(x)＝|x－1|＋2|x|的单调递增区间是________．
(2)函数 f(x)＝log2(x2－2x)的单调递减区间是________．
(1)去掉绝对值，利用一次函数的单调性求解；(2)利用复合函数的单调性求解．
(1)(0，＋∞) (2)(－∞，0) [解析] (1)易知 f(x)＝
－3x＋1，x≤0，
x＋1，0－1，－4x2－5x
＋2
3＝－25
3 ，所以 f(x)在(－2，2)上单调递减，而 f(0)＝2
3，所以 01，
－x－1，－1≤x<1，
x＋1，x<－1，
作出函数的图像如图所示．要使函数 y＝|x2－1|
x－1 与 y＝kx－2 的
图像有两个不同的交点，则直线 y＝kx－2 在直线 l1 与 l2 之间或在 l2 与 l3 之间转动，综上实数 k 的取值范围
是 00 得 x>－1
2，由 g′(x)<0 得 x<－1
2，故函数 g(x)
在 －∞，－1
2 上单调递减，在 －1
2，＋∞ 上单调递增．又函数 g(x)在 x<1
2时，g(x)<0，在 x>1
2时，g(x)>0，
所以其大致图像如图所示．
直线 y＝ax－a 过点(1，0)．
若 a≤0，则 f(x)<0 的整数解有无穷多个，因此只能 a>0.
结合函数图像可知，存在唯一的整数 x0，使得 f(x0)<0，即存在唯一的整数 x0，使得点(x0，ax0－a)在点
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(x0，g(x0))的上方，则 x0 只能是 0，故实数 a 应满足
f（－1）≥0，
f（0）<0，
f（1）≥0，
即
－3e－1＋2a≥0，
－1＋a<0，
e≥0，
解得 3
2e≤a<1.
故实数 a 的取值范围是 3
2e，1
例 3 已知函数 f(x)＝|x＋a|(a∈R)在[－1，1]上的最大值为 M(a)，则方程 M(x)＝|x2－1|的实数根的个数为
__________．
[解析] 当 x∈(－∞，－a)时，函数 f(x)单调递减，当 x∈(－a，＋∞)时，函数 f(x)单调递增，x＝－a
为函数 f(x)的最小值点．所以，当 a≥0 时，M(a)＝f(1)＝|1＋a|＝1＋a，当 a<0 时，
M(a)＝f(－1)＝|－1＋a|＝－(－1＋a)＝1－a，所以 M(x)＝
1－x，x<0，
1＋x，x≥0.
在同一平面直角坐标系中画出 y
＝M(x)和 y＝|x2－1|的图像，如图所示，可知两个函数图像有 3 个不同的公共点，所以方程 M(x)＝|x2－1|
的实数根的个数为 3.
四、归类巩固
*1．方程|x|＝cosx 在(－∞，＋∞)内有_________个实数根．
答案：有且仅有两个根．
*2．若对任意 x∈R，不等式|x|≥ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是_______．
答案：|a|≤1．
**3．若方程 2a＝|ax－1|(a＞0，a≠1)有两个实数解，求实数 a 的取值范围是_______．
答案： 0，1
2 ．
**4．已知 y＝f(x)是 R 上的增函数，A(0，－1)、B(3,1)是其图像上两个点，则不等式|f(x＋1)|＜1 的解集
是__________．
解析：|f(x＋1)|＜1⇔－1＜f(x＋1)＜1⇔f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，又 y＝f(x)是 R 上的增函数，∴0＜x＋1＜3．
∴－1＜x＜2．
答案：{x|－1＜x＜2}．
***5．已知 f(x)是定义在 R 上的函数，满足 f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)，当 x∈(0，1)时，f(x)＝
－x2＋x，则函数 f(x)的最小值为 ．
答案：－1
2．
***6．f(x)的定义域为 R，且 f(x)＝
2－x－ x ，
f x－ x＞ ， 若方程 f(x)＝x＋a 有两个不同实根，则 a 的
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取值范围为_________．
答案：(－∞，1)．
综合应用篇
一、例题分析
例 1 设函数 f(x)＝ln|x|－ 1
x2，则使得 f(x)＞f(2x－1)成立的 x 的取值范围是_______．
答案：(1
3，1
2)∪(1
2，1)．
〖教学建议〗
（1）主要问题归类与方法：
1．解不等式问题
方法 1：直接求解；
方法 2：转化为常见代数不等式(组)求解，通常的方法有:换元法，利用函数的单调性等．
2．判断(证明)函数的奇偶性
方法 1：定义法；方法 2：图象法．
3．判断函数单调性
方法 1：图象法； 方法 2：导数法； 方法 3：定义法； 方法 4：复合函数法．
（2）方法选择与优化建议：
本题是解不等式问题，直接求解比较复杂，考虑将其转化后求解，而显然换元法也不行，所以考虑利
用函数的单调性转化，所以要判断函数的单调性，考虑到本题的函数解析式中含有绝对值，是分段函数，
研究单调性，需分段进行，对于函数性质的研究，通常需要整体把握，即从定义域，奇偶性，单调性和周
期性等方法综合考虑，有些函数的问题，必要时还要看一些特殊的点。本题中的函数是偶函数，当 x＞0
时，f(x)＝lnx－1
x2，可用导数法证明: f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由奇偶性知，f(x)在(－∞，0)上单调递减.
为了便于转化不等式，可将不等式转化为 f(|x|)＞f(|2x－1|)，从而得到|x|＞|2x－1|＞0．
例 2 已知函数 f(x)＝ln(2－x2)
|x＋2|－2．
（1）试判断 f(x)的奇偶性并给予证明；
（2）求证：f(x)在区间(0，1)上单调递减.
答案：（1）f(x)为奇函数.
（2）略.
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〖教学建议〗
（1）主要问题归类与方法：
1．判断(证明)函数的奇偶性
方法 1：定义法；方法 2：图象法．
证明函数的奇偶性，只能用定义法．
2．证明函数单调性
方法 1：图象法； 方法 2：导数法； 方法 3：定义法； 方法 4：复合函数法．
本题考查用定义判断函数的奇偶性、单调性.本题的易错点有两个，一是忽视先求出定义域，直接
判断 f(x)与 f(－x)的关系；二是在第二问中机械套用定义，对 f(x1)、f(x2)直接作差，反而无法证明函数
的单调性.
（2）方法选择与优化建议：
1.对于一个函数 f(x)，它由定义域和对应法则唯一确定，因此对函数一系列的性质的研究也都应该在定
义域的基础上展开，判断函数的奇偶性必须先检验函数的定义域是否对称，求函数的单调区间也必
须首先判断函数的定义域.
2.本题中的函数 f(x)的解析式是由多个基本初等函数复合而成，因此其单调性的证明转化为几个基本初等
函数单调性的判断，证明过程的最后一步利用了不等式的性质：若 a＞b＞0，c＞d＞0，则 ac＞bd.
例 3 （1）已知函数 y＝|x2－1|
x－1 的图象与函数 y＝kx－2 的图象恰有两个交点，
那么实数 k 的取值范围是 ．
（2）已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝1
2(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若对于任
意 x∈R，有 f(x－1)≤f(x)，则实数 a 的取值范围为 ．
答案: (1)(0，1)∪(1，4)；(2)[－ 6
6 ， 6
6 ].
〖教学建议〗
（1）主要问题归类与方法：
1．函数图象交点的个数问题
方法：借助基本函数的图象，及直线的几何意义观察，交点的个数．
2．不等式恒成立问题
方法 1：分离变量法，分离变量转化为求函数的最值问题；
方法 2：直线讨论函数的单调性，求函数的最值，再转化为解不等式；
方法 3：图象法，利用函数的图象，考查一个曲线在另一曲线的上下方的条件．
（2）方法选择与优化建议：
第(1)题，研究函数图象的交点情况，由于函数 y＝|x2－1|
x－1 图象是确定的且可画出，函数 y＝kx－2 的图
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象是一条过(0，－2)，斜率为 k 的动直线，本题就是考查动直线在变化过程中与定曲线有两个交点，
可借助于图象的直观来解决问题。
第(2)题，由于函数比较复杂且解析式中含有参数，无法进行变量分离，利用方法 2 也不易转化为解不
等式问题，所以本题采用方法 3，方法 3 的关键是画出函数的图象，由于 x≥0 时，图象是分段函数，
每段都是直线，x＜0 的图象可利用奇函数图象关于原点对称作出。
例 4 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0，2]时，f(x)＝2x
－x2．
（1）求证：f(x)是周期函数；
（2）当 x∈[2，4]时，求 f(x)的解析式；
（3）计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．
答案：（1）f(x)是周期为 4 的周期函数．
（2）f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．
（3）0.
〖教学建议〗
（1）主要问题归类与方法：
本题考查函数的周期性和奇偶性.第一问只需证明 f(x＋4)＝f(x)，即可说明 f(x)是周期函数；第二
问利用奇偶性求得函数 f(x)在[－2，0]上的解析式，进而利用周期性求得 f(x)在[2，4]上的解析式；第
三问则是利用函数值的周期性求和.
（2）方法选择与优化建议：
1.本题的易错点是在第二问的求解析式，应强调将所求区间上的 x 转化为符合已知区间上的变量特征，
进而利用已知的解析式求出结论.
2.函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．判断函数的周期只需证明
f(x＋T)＝f(x) (T≠0)，便可证明函数是周期函数，且周期为 T.
二、反馈巩固
*1．若函数 f(x)＝
x2－2x， x≥0
－x2＋ax，x＜0是奇函数，则满足 f(x)＞a 的 x 的取值范围是 ．
答案：(－1－ 3，＋∞)．
(考查函数的奇偶性，不等式的解法).
*2．函数 y＝2x＋1
x－1 的图象向下平移 2 个单位，再向右平移 5 个单位后所得的图象的函数解析式为
__________
答案：y＝ 3
x－6．
（考察函数的平移变化）
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**3．已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0．若 f(x－1)＞0，则 x 的取值范围是 ；
答案 (－1，3)．
(考查函数的奇偶性和单调性).
**4．若函数 y＝f(x)的值域是[1
2，3]，则函数 F(x)＝f(x)＋ 1
f(x)的值域是 ．
答案：[2，10
3 ]．
（本题考查函数的值域）
**5．已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于 x≥0，都有 f(x＋2)＝－f(x)，且当 x∈[0,2)时，f(x)
＝log2(x＋1)，则 f(2012)＋f(－2013)的值为________．
答案：1．
（本题考查函数的奇偶性、周期性）
解析：x≥0，都有 f(x＋2)＝－f(x)，则 x≥0 时，f(x)周期是 4，则 f(2012)＝f(0)＝0；f(－2013)＝f(2013)
＝f(1)＝1．
**6．已知 t 为常数，函数 y＝|x2－2x－t|在区间[0，3]上的最大值为 2，则 t＝________．
答案：1．
(考查函数的最值问题)
**7．函数 f(x)对一切实数 都满足 f(1
2＋x)＝f(1
2－x)，并且方程 f(x)＝0 有三个实根，则这三个实根的和
为 ．
答案 3
2．
(考查函数图像的对称性,函数零点).
**8．已知函数 f(x)＝
(a－3)x＋5，x≤1，
2a
x ，x＞1． 是(－∞，＋∞)的减函数，那么 a 的取值范围是 ；
答案 (0，2]．
(考查分段函数的单调性).
**9．已知函数 f(x)＝e|x|，m＞1，对任意的 x∈[1，m]，都有 f(x－2)≤ex，则最大的正整数 m 为________．
答案：4．
(考查函数的单调性，不等式恒成立问题，数形结合的思想方法).
***10．设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝
ax＋1，－1≤x＜0
bx＋2
x＋1 ，0≤x≤1
，其中 a，
b∈R，若 f 1
2 ＝f 3
2 ，则 a＋3b 的值为______________．
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解析：由题意得，f(1
2)＝f(3
2)＝f(－1
2)，
所以
b
2＋2
3
2
＝－1
2a＋1，∴3
2a＋b＝－1.①
又 f(－1)＝f(1)，∴b＝－2a.②
解①②得 a＝2，b＝－4，∴a＋3b＝－10.
答案：－10．
（本题考查函数周期性）
**11．已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是
_______．
答案：(1
2，1)．
（本题考查函数与方程、函数的图象）
解析: g(x)＝kx 过（0，0）旋转，和 f(x)＝|x－2|＋1 有两个交点
***12．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程 f(x)
＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1＋x2＋x3＋x4＝_________.
答案：－8．
（本题考查函数周期性，奇偶性，单调性，数型结合）
*13．设函数 f(x)＝log2(ax－bx)且 f(1)＝1，f(2)＝log212.
（1）求 a、b 的值；
（2）当 x∈[1，2]时，求 f(x)的最大值．
答案：（1）a＝4，b＝2；（ 2）2＋log23.
(考查待定系数法，二次函数与对数函数的值域).
**14．已知函数 g(x)＝ x＋1 与 h(x)＝ 1
x＋3，x∈(－3，a]，其中 a 为常数且 a＞0，令函数 f(x)＝g(x)·h(x)．
（1）求函数 f(x)的表达式，并求其定义域；
（2）当 a＝1
4时，求函数 f(x)的值域．
答案：（1）f(x)＝ x＋1
x＋3 ，x∈[0，a]；
（2）[1
3， 6
13]．
说明：（1）考查函数的解析式、定义域；
（2）考查函数的值域．
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解析：令 t＝ x＋1，则 t∈[1，3
2]且 x＝（t－1）2
∴y＝f(x)＝ t
(t－1)2+3∴y＝ 1
t－2＋4
t
∵t－2＋4
t在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，
∴ t
(t－1)2+3在[1，3
2]上递增，即此时 f（x）的值域为[1
3， 6
13]．
**15．设函数 f(x)＝
2x－a，x＜1，
4(x－a)(x－2a)，x≥1.
(1)若 a＝1，求 f(x)的最小值；
(2)若 f(x)恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．
答案：(1)－1；(2) [1
2，1)∪[2，＋∞)．
(考查函数的图象，函数最值与零点问题).
**16．已知函数 f(x)＝x2＋2x＋a
x ，x∈[1，＋∞)．
(1)当 a＝1
2时，求函数 f(x)的最小值；
(2)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)＞0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．
解(1)当 a＝1
2时，f(x)＝x＋ 1
2x＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝7
2.
(2)f(x)＝x＋a
x＋2，x∈[1，＋∞)．
①当 a≤0 时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．最小值为 f(1)＝a＋3.
要使 f(x)>0 在 x∈[1，＋∞)上恒成立，只需 a＋3>0，即 a>－3，∴－30，a>－3.∴01 时，f(x)在[1， a]上为减函数，在( a，＋∞)上为增函数，所以 f(x)在[1，＋∞)上的最小
值是 f( a)＝2 a＋2，2 a＋2>0，显然成立．
综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3，＋∞)．
(考查函数的单调性,不等式恒成立).
***17．设函数 f(x)＝kax－a－x (a＞0 且 a≠1)是奇函数．
(1)求 k 的值；
(2)若 f(1)＞0，解关于 x 的不等式 f(x2＋2x)＋f(x－4)＞0；
(3)若 f(1)＝3
2，且 g(x)＝a2x＋a－2x －2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求 m 的值．
解 (1)因为 f(x)是奇函数，且 f(0)有意义，所以 f(0)＝0，所以 k－1＝0，k＝1.
南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料
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(2)因为 f(1)＞0，所以 a－1
a＞0，∴a＞1，∴f(x)＝ax－a－x 是 R 上的单调增函数．
于是由 f(x2＋2x)＞－f(x－4)＝f(4－x)，得 x2＋2x＞4－x，即 x2＋3x－4＞0，解得 x＜－4 或 x＞1.
(3)因为 f(1)＝3
2，所以 a－1
a＝3
2，解得 a＝2(a＞0)，所以 g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2
－2m(2x－2－x)＋2.设 t＝f(x)＝2x－2－x，则由 x≥1，
得 t≥f(1)＝3
2，g(x)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2.
若 m≥3
2，则当 t＝m 时，ymin＝2－m2＝－2，解得 m＝2.
若 m＜3
2，则当 t＝3
2时，ymin＝17
4 －3m＝－2，
解得 m＝25
12(舍去)．综上得 m＝2.
(考查函数的奇偶性和单调性).
***18．定义在 D 上的函数 f(x)，如果满足：x∈D，常数 M＞0，都有| f(x)|≤M 成立，则称 f(x)是 D
上的有界函数，其中 M 称为函数 f(x)的上界.已知函数 f(x)＝1＋x＋ax2.
（1）当 a＝－1 时，求函数 f(x)在(－∞，0)上的值域，判断函数 f(x)在(–∞，0)上是否为有界函数，并
说明理由；
（2）若函数 f(x)在[1，4]上是以 3 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围.
答案：（1）函数 f(x)在(－∞，0)上不是有界函数.
（2）实数 a 的取值范围为[－1
2，－1
8]．
(考查转化的思想方法，不等式的恒成立与二次函数的最值问题，分离变量讨论参数范围).
