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文档介绍
高考文科数学复习备课课件:第二节 空间几何体的表面积和体积
文数 课标版 第二节 空间几何体的表面积和体积 教材研读 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S 圆柱侧 =① 2π rl S 圆锥侧 =② π rl S 圆台侧 = ③ π( r + r ') l 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S 表面积 = S 侧 +2 S 底 V =④ Sh 锥体 (棱锥和圆锥) S 表面积 = S 侧 + S 底 V =⑤ Sh 台体 (棱台和圆台) S 表面积 = S 侧 + S 上 + S 下 V = ( S 上 + S 下 + ) h 球 S =⑥ 4π R 2 V =⑦ π R 3 2.空间几何体的表面积与体积公式 (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和. (√) (2)锥体的体积等于底面积与高之积. ( × ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. (√) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.(√) (5)正方体既有外接球又有内切球. (√) (6)圆柱的一个底面积为 S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧 面积是2π S . ( × ) 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) 1.将一个相邻边长分别为4π,8π的矩形卷成一个圆柱,则这个圆柱的表面 积是 ( ) A.40π 2 B.64π 2 C.32π 2 或64π 2 D.32π 2 +8π或32π 2 +32π 答案 D 当底面周长为4π时,底面圆的半径为2,两个底面的面积之和 是8π;当底面周长为8π时,底面圆的半径为4,两个底面的面积之和为32π. 无论哪种方式,侧面积都是矩形的面积32π 2 .故所求的表面积是32π 2 +8π 或32π 2 +32π. 2.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为 ( ) A. π B. π C.16π D.24π 答案 B 设球的半径为 R , 则由4π R 2 =16π, 解得 R =2, 所以这个球的体积为 π R 3 = . 3.(2016四川,12,5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体 积是 . 答案 解析 在长方体(长为2 ,宽、高均为1)中作出此三棱锥,如图所示, 则 V P - ABC = × × 2 × 1 × 1= . 4.(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为2 ,其底面是边长为2的正六 边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 . 答案 12 解析 设六棱锥的高为 h ,斜高为 h 0 . 因为该六棱锥的底面是边长为2的正六边形, 所以底面面积为 × 2 × 2 × sin 60 °× 6=6 , 则 × 6 h =2 ,得 h =1, 所以 h 0 = =2, 所以该六棱锥的侧面积为 × 2 × 2 × 6=12. 考点一 空间几何体的表面积 典例1 (1)(2016课标全国Ⅲ,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ( ) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81 考点突破 (2)(2016安徽江南十校3月联考)某几何体的三视图如图所示,其中侧视 图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为 ( ) A.4π+16+4 B.5π+16+4 C.4π+16+2 D.5π+16+2 答案 (1)B (2)D 解析 (1)由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧 棱长为3 的斜四棱柱. 其表面积 S =2 × 3 2 +2 × 3 × 3 +2 × 3 × 6=54+18 .故选B. (2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三 棱柱的两个侧面面积之和为2 × 4 × 2=16,两个底面面积之和为2 × × 2 × =2 ;半圆柱的侧面积为π × 4=4π,两个底面面积之和为2 × × π × 1 2 =π,所 以几何体的表面积为5π+16+2 ,故选D. 方法技巧 空间几何体表面积的求法 (1)表面积是各个面的面积之和,求多面体的表面积,只需将它们沿着棱 剪开展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求 旋转体的表面积,可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展 开后求表面积,但要弄清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中 的边长关系. (2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、 锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作 差,求出不规则几何体的表面积. 1-1 (2016课标全国Ⅰ,7,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等 的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的 表面积是 ( ) A.17π B.18π C.20π D.28π 答案 A 由三视图可知该几何体是一个球被截去 后剩下的部分,设 球的半径为 R ,则 π= × π R 3 ,解得 R =2.故其表面积为 × 4π × 2 2 +3 × × π × 2 2 =17π.选A. 1-2 (2016课标全国Ⅱ,7,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体 的三视图,则该几何体的表面积为 ( ) A.20π B.24π C.28π D.32π 答案 C 由三视图可得圆锥的母线长为 =4,∴ S 圆锥侧 =π × 2 × 4 =8π.又 S 圆柱侧 =2π × 2 × 4=16π, S 圆柱底 =4π,∴该几何体的表面积为8π+16π+4π= 28π.故选C. 考点二 空间几何体的体积 典例2 (1)(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视 图如图所示.则该几何体的体积为 ( ) A. + π B. + π C. + π D.1+ π (2)(2016北京,11,5分)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为 . 答案 (1)C (2) 解析 (1)由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱 锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的 直径2 R = ,则 R = ,所以半球的体积为 π R 3 = π,又正四棱锥的体积 为 × 1 2 × 1= ,所以该几何体的体积为 + π.故选C. (2)由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体,将该几何体还 原到长方体中,如图所示,该几何体为四棱柱 ABCD - A ' B ' C ' D '. 故该四棱柱的体积 V = Sh = × (1+2) × 1 × 1= . 方法技巧 空间几何体体积的求法 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利 用公式进行求解.其中,等体积转换法多用来求三棱锥的体积. (2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割 或补形转化为规则几何体,再利用公式求解. (3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直 观图,然后根据条件求解. 2-1 如图所示,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为1的正方形,且 △ ADE ,△ BCF 均为正三角形, EF ∥ AB , EF =2,则该多面体的体积为 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解法一:如图所示,分别过 A , B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G , H ,连 接 DG , CH ,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱, 易知三棱锥的高为 ,直三棱柱的高为1, AG = = , 取 AD 的中点 M ,连接 MG ,则 MG = , ∴ S △ AGD = × 1 × = , ∴ V = × 1+2 × × × = . 解法二:如图所示,取 EF 的中点 P ,则原几何体分割为两个三棱锥和一个 四棱锥,易知三棱锥 P - AED 和三棱锥 P - BCF 都是棱长为1的正四面体,四 棱锥 P - ABCD 是棱长为1的正四棱锥. ∴ V = × 1 2 × +2 × × × = . 2-2 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. +2π B. C. D. 答案 B 由三视图可知,该几何体是由一个圆柱和半个圆锥组合而成 的几何体,其体积为π × 1 2 × 2+ × π × 1 2 × 1= . 考点三 与球有关的切、接问题 命题角度一 正方体的外接球 典例3 (2016课标全国Ⅱ,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面 上,则该球的表面积为 ( ) A.12π B. π C.8π D.4π 答案 A 解析 设正方体的棱长为 a , 则 a 3 =8,解得 a =2. 设球的半径为 R ,则2 R = a , 即 R = , 所以球的表面积 S =4π R 2 =12π.故选A. 典例4 (1)(2016辽宁抚顺模拟)已知直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 的6个顶点都 在球 O 的球面上,若 AB =3, AC =4, AB ⊥ AC , AA 1 =12,则球 O 的半径为 ( ) A. B.2 C. D.3 (2)在封闭的直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 内有一个体积为 V 的球.若 AB ⊥ BC , AB =6, BC =8, AA 1 =3,则 V 的最大值是 ( ) A.4π B. C.6π D. 答案 (1)C (2)B 解析 (1)如图所示,由球心作平面 ABC 的垂线,垂足为 BC 的中点 M .连接 OA , AM , 命题角度二 直棱柱的外接与内切球 又 AM = BC = , OM = AA 1 =6, 所以球 O 的半径 R = OA = = . (2)易知 AC =10.设底面△ ABC 的内切圆的半径为 r ,则 × 6 × 8= × (6+8+1 0)· r ,所以 r =2,因为2 r =4>3,所以最大球的直径2 R =3,即 R = .此时球的体积 V = π R 3 = .故选B. 典例5 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边 长为2,则该球的表面积为 ( ) A. B.16π C.9π D. (2)若一个正四面体的表面积为 S 1 ,其内切球的表面积为 S 2 ,则 = . 答案 (1)A (2) 解析 (1)如图所示,设球的半径为 R ,底面中心为 O ',球心为 O , 由题意得 AO '= . 命题角度三 正棱锥的外接与内切球 ∵ PO '=4,∴ OO '=4- R , 在Rt△ AOO '中,∵ AO 2 = AO ' 2 + OO ' 2 , ∴ R 2 =( ) 2 +(4- R ) 2 , 解得 R = , ∴该球的表面积为4π R 2 =4π × = . (2)设正四面体内切球的半径为 r ,正四面体的棱长为 a ,则正四面体的表 面积 S 1 =4 × · a 2 = a 2 ,其内切球的半径为正四面体高的 ,即 r = × a = a ,因此内切球的表面积 S 2 =4π r 2 = ,则 = = . 方法指导 “切”“接”问题处理的注意事项 (1)“切”的处理 解决与球的内切问题时要找准切点. (2)“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在同一球面上即为球的外接问题.解决这类 问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的 半径. 3-1 如图所示,在半径为 R 的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积 的最大值是 . 答案 π R 3 解析 设圆柱的高为 h ,则圆柱的底面半径为 ,圆柱的体积 V =π( R 2 - h 2 ) h =-π h 3 +π R 2 h (0< h < R ), V ' =-3π h 2 +π R 2 ,令 V ' >0,得0< h < R ,令 V ' <0,得 R < h < R ,故当 h = R 时, V 取得最大值,最大值为 π R 3 . 3-2 三棱锥 P - ABC 中, PA ⊥ AB , PA ⊥ AC ,∠ BAC =120 ° , PA = AB = AC =2,则 此三棱锥外接球的体积为 . 答案 π 解析 设△ ABC 外接圆的半径为 r ,三棱锥外接球的半径为 R , ∵ AB = AC =2,∠ BAC =120 ° , ∴ BC = = =2 , ∴2 r = =4,∴ r =2, 由题意知 PA ⊥平面 ABC ,则将三棱锥补成三棱柱可得 R = = , ∴此三棱锥外接球的体积为 π·( ) 3 = π.查看更多