高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：3-2-2 直线的两点式方程

高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：3-2-2 直线的两点式方程

一、选择题 ‎1．过(x1，y1)和(x2，y2)两点的直线方程是(　　)‎ A.＝ B.＝ C．(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0‎ D．(x2－x1)(x－x1)－(y2－y1)(y－y1)＝0‎ ‎[答案]　C ‎2．直线＋＝1在y轴上的截距是(　　)‎ A．|b| B．－b2‎ C．b2 D．±b ‎[答案]　C ‎3．直线＋＝1过一、二、三象限，则(　　)‎ A．a>0，b>0 B．a>0，b<0‎ C．a<0，b>0 D．a<0，b<0‎ ‎[答案]　C ‎4．(2012－2013·邯郸高一检测)下列说法正确的是(　　)‎ A.＝k是过点(x1，y1)且斜率为k的直线 B．在x轴和y轴上的截距分别是a、b的直线方程为＋＝1‎ C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离是b D．不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式 ‎[答案]　D ‎5．已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　)‎ A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0‎ C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3,2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0.‎ ‎6．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为(　　)‎ A．－ B．－ C. D．2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　直线方程为＝，‎ 化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－.‎ ‎7．已知2x1－3y1＝4,2x2－3y2＝4，则过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是(　　)‎ A．2x－3y＝4 B．2x－3y＝0‎ C．3x－2y＝4 D．3x－2y＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵(x1，y1)满足方程2x1－3y1＝4，则(x1，y1)在直线2x－3y＝4上．同理(x2，y2)也在直线2x－3y ‎＝4上．由两点决定一条直线，故过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是2x－3y＝4.‎ ‎[点评]　利用直线的截距式求直线的方程时，需要考虑截距是否为零．‎ ‎8．过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎[答案]　B ‎[解析]　解法一：设直线方程为y＋3＝k(x－4)(k≠0)．‎ 令y＝0得x＝，令x＝0得y＝－4k－3.‎ 由题意，＝－4k－3，解得k＝－或k＝－1.‎ 因而所求直线有两条，∴应选B.‎ 解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a)，a≠0，则直线方程为＋＝1，把点P(4，－3)的坐标代入方程得a＝1.‎ ‎∴所求直线有两条，∴应选B.‎ 二、填空题 ‎9．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为________．‎ ‎[答案]　－1‎ ‎[解析]　直线－＝1在x轴上截距为4，在y轴上截距为－5，因此在两坐标轴上截距之和为－1.‎ ‎10．过点(0,1)和(－2,4)的直线的两点式方程是________．‎ ‎[答案]　＝(或＝)‎ ‎11．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．‎ ‎[答案]　3x＋2y－6＝0‎ ‎[解析]　设直线方程为＋＝1，则 解得a＝2，b＝3，则直线方程为＋＝1，‎ 即3x＋2y－6＝0.‎ ‎12．直线l过点P(－1,2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为________．‎ ‎[答案]　2x－y＋4＝0‎ ‎[解析]　设A(x,0)，B(0，y)．‎ 由P(－1,2)为AB的中点，‎ ‎∴　∴ 由截距式得l的方程为 ＋＝1，即2x－y＋4＝0.‎ 三、解答题 ‎13．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．‎ ‎[解析]　设直线方程的截距式为＋＝1.‎ 则＋＝1，解得a＝2或a＝1，‎ 则直线方程是＋＝1或＋＝1，‎ 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.‎ ‎14．已知三角形的顶点是A(8,5)、B(4，－2)、C(－6,3)，求经过每两边中点的三条直线的方程．‎ ‎[解析]　设AB、BC、CA的中点分别为D、E、F，根据中点坐标公式得D(6，)、E(－1，)、F(1,4)．由两点式得DE的直线方程为＝.整理得2x－14y＋9＝0，这就是直线DE的方程．‎ 由两点式得＝，‎ 整理得7x－4y＋9＝0，这就是直线EF的方程．‎ 由两点式得＝ 整理得x＋2y－9＝0‎ 这就是直线DF的方程．‎ ‎15．△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．‎ ‎(1)分别求边AC和AB所在直线的方程；‎ ‎(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；‎ ‎(3)求AC边的中垂线所在直线的方程；‎ ‎(4)求AC边上的高所在直线的方程；‎ ‎(5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程．‎ ‎[解析]　(1)由A(0,4)，C(－8,0)可得直线AC的截距式方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0.‎ 由A(0,4)，B(－2,6)可得直线AB的两点式方程为＝，即x＋y－4＝0.‎ ‎(2)设AC边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x＝－4，y＝2，所以直线BD的两点式方程为＝，即2x－y＋10＝0.‎ ‎(3)由直线AC的斜率为kAC＝＝，故AC边的中垂线的斜率为k＝－2.又AC的中点D(－4,2)，‎ 所以AC边的中垂线方程为y－2＝－2(x＋4)，‎ 即2x＋y＋6＝0.‎ ‎(4)AC边上的高线的斜率为－2，且过点B(－2,6)，所以其点斜式方程为y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0.‎ ‎(5)AB的中点M(－1,5)，AC的中点D(－4,2)，‎ ‎∴直线DM方程为＝，‎ 即x－y＋6＝0.‎ ‎16．求分别满足下列条件的直线l的方程：‎ ‎(1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；‎ ‎(2)经过两点A(1,0)，B(m,1)；‎ ‎(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．‎ ‎[分析]欲求直线的方程，关键是根据已知条件选择一种最合适的形式．‎ ‎[解析](1)设直线l的方程为y＝x＋b.‎ 令y＝0，得x＝－b，‎ ‎∴|b·(－b)|＝6，b＝±3.‎ ‎∴直线l的方程为y＝x±3‎ ‎(2)当m≠1时，直线l的方程是 ＝，即y＝(x－1)‎ 当m＝1时，直线l的方程是x＝1.‎ ‎(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.‎ 当a≠0，b≠0时，l的方程为＋＝1；‎ ‎∵直线过P(4，－3)，∴－＝1.‎ 又∵|a|＝|b|，‎ ‎∴解得或 当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，‎ ‎∴l的方程为y＝－x.‎ 综上所述，直线l的方程为x＋y＝1或＋＝1或y＝x.‎ ‎[点评]明确直线方程的几种特殊形式的应用条件，如(2)中m的分类，再如(3)中，直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况．‎