2019-2020学年河南省天一大联考高二上学期阶段性测试（二）数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年河南省天一大联考高二上学期阶段性测试（二）数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省天一大联考高二上学期阶段性测试（二）数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】化简集合A，求A，B交集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法以及集合的运算,属于容易题.‎ ‎2．如果，那么下列不等式错误的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据不等式的性质，结合条件分析，即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 由不等式性质知，当时，‎ 有，，，成立，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的基本性质及对数函数、指数函数的单调性，属于容易题.‎ ‎3．命题“，”的否定为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据含量词的命题的否定，即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 命题“，”的否定为：‎ ‎，，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含量词命题的否定，属于容易题.‎ ‎4．“函数是增函数”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据指数函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【详解】‎ 是增函数，需满足，‎ ‎“函数是增函数”是“”的必要不充分条件，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件，考查指数函数的性质，是一道基础题．‎ ‎5．已知是等差数列，且，是函数的两个零点，则（ ）‎ A．8 B． C．2020 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由根与系数的关系及等差中项即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，是函数的两个零点，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了根与系数的关系，等差数列的基本性质，等差中项，属于容易题.‎ ‎6．已知双曲线的离心率为，一个焦点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的实轴长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设双曲线的方程为，半焦距为，求出双曲线的渐近线方程，根据题意求出的值，利用离心率可得出的值，进而可得出该双曲线的实轴长.‎ ‎【详解】‎ 设双曲线的方程为，半焦距为，‎ 双曲线的离心率为，则，‎ 即双曲线的渐近线方程为，焦点到一条渐近线的距离为，‎ 所以，，故双曲线的实轴长为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线斜率与离心率之间的关系，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎7．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知条件及余弦定理可求出，由可求出A，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由，可得，‎ 根据余弦定理得，又，‎ 所以.‎ 因为，，‎ 所以或.‎ 当时，；‎ 当时，，不合题意.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解三角形，余弦定理的应用，分类讨论，属于中档题.‎ ‎8．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在抛物线C上，与直线l相切于点E，且，则的半径为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】过点M作轴，垂足为H，由知，利用抛物线定义即可知，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，‎ 依题意，过点M作轴，垂足为H，‎ 在中，，‎ 由抛物线定义可得，则，解得，‎ 故的半径为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的性质，直线与圆相切的性质，属于中档题.‎ ‎9．函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的单调性与导数符号的关系判断即可.‎ ‎【详解】‎ 根据导函数为正，则原函数递增，导函数为负，则原函数递减，导函数从左到右的符号依次为负、正、负、正，则原函数的单调性从左到右依次为减、增、减、增，且在附近单调递增，通过对比可知，D中的图象正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数的图象判断原函数的图象，一般利用导数符号与原函数单调性之间的关系来判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎10．已知函数的导函数为，在上满足，则下列一定成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】构造函数，利用导数判断函数在上的单调性，可得出和的大小关系，由此可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 令，则.‎ 由已知得，当时，.‎ 故函数在上是增函数，所以，‎ 即，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点.若四边形面积的最大值为8，则a的最小值为（ ）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】当直线与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，由面积公式及基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆E的半焦距为c.直线过原点，‎ 当其与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，此时，‎ 所以，‎ 所以，当且仅当时等号成立.‎ 故 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程和几何性质，利用基本不等式求最值，属于中档题.‎ ‎12．对于函数，将满足的实数称为的不动点.若函数（且）有且仅有一个不动点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，可得，利用换底公式得出，进而得出，由题意得出函数与函数的图象有且只有一个公共点，利用导数研究函数的单调性与极值，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数有且仅有一个不动点，则方程仅有一个根.‎ 由可得，即，设，其中.‎ 则，令，得，列表如下：‎ 极大值 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，‎ 所以，函数的极大值为，且当时，.‎ 函数的图象如图所示，所以或，即或.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数新定义“不动点”问题的求解，将问题转化为函数的零点个数，并利用参变量分离法求解是解答的关键，在作函数的图象时，可利用导数分析函数的单调性与极值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13．函数的图象在点处的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程，化为一般式即可.‎ ‎【详解】‎ 由题知，，‎ 又，所以函数的图象在点处的切线方程为,即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的切线方程，考查导数几何意义的应用，属于基础题.‎ ‎14．已知正项等比数列中，，，则的值为________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】根据等比数列的性质可推出为等比数列，求其前4项之积即可，‎ ‎【详解】‎ 正项等比数列中，，‎ 故是等比数列，首项为，第二项为，‎ 所以，，‎ 因此数列的前12项之积为，.‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质，证明数列为等比数列，对数和的运算，属于中档题.‎ ‎15．已知实数、满足，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出不等式组所表示的可行域，利用的几何意义以及数形结合思想求出的最小值和最大值，即可得出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，‎ 其中，，表示可行域内的点与点连线的斜率，‎ 因为直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划中非线性目标函数取值范围问题的求解，解题时要明确非线性目标函数的几何意义，利用数形结合思想求解，属于中等题.‎ ‎16．已知双曲线的左、右顶点分别为、，虚轴的端点分别为、，渐近线方程为，若四边形的内切圆的面积为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可计算出四边形内切圆的半径，设双曲线的半焦距为，由双曲线的渐近线方程可得，，利用等面积法可得出关于的等式，解出即可.‎ ‎【详解】‎ 由题可知，四边形内切圆的半径，可知四边形为菱形，‎ 设双曲线的半焦距为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，，‎ 菱形的边长为，‎ 由等面积法可知，菱形的面积为，‎ 所以，所以，得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，涉及渐近线方程的应用，解题的关键就是确定、、，通过题意建立方程求解，考查计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）若，恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（2）若的解集为，解不等式.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】（1）分和两种情况分类讨论求解（2）由根与系数的关系求出参数后解一元二次不等式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，显然成立；‎ 当时，需满足，得.‎ 综上可得，a的取值范围是.‎ ‎（2）即.‎ 根据题意，和是方程的两个实根，‎ 所以，解得，经检验，符合题意.‎ ‎，解得，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，一元二次不等式求解，属于容易题.‎ ‎18．已知方程表示经过第二、三象限的抛物线；方程表示焦点在x轴上的椭圆.其中，.‎ ‎（1）若，且为真命题，求m的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）m的取值范围是.（2）.‎ ‎【解析】（1）分别求出p，q为真时的m的范围，根据“p且q”是真命题，得到关于m的不等式组，解出即可；（2）先求出q为真时的m的范围，结合p是q的必要不充分条件，得到关于m的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若为真：‎ 解得，‎ 若为真：则 解得 ‎ 若“且”是真命题，‎ 则，‎ 解得；‎ ‎（2）若为真，则，‎ 即，‎ 由是的必要不充分条件，‎ 则可得 Ü 即，‎ 解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，考查集合的包含关系，是一道中档题．‎ ‎19．如图所示，在中，已知点D在边BC上，且，，.‎ ‎（1）若，求线段BC的长；‎ ‎（2）若点E是BC的中点，，求线段AC的长.‎ ‎【答案】（1）.（2）AC的长为8.‎ ‎【解析】（1）求出，利用正弦定理求解即可（2）求出，利用，解关于的一元二次方程即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由条件可得.‎ 在中，，‎ 所以，‎ 得.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为为钝角，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 整理得，‎ 解得（负值舍去），‎ 所以线段AC的长为8.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形、正弦定理、诱导公式以及平面向量数量积的应用.‎ ‎20．在正项等比数列中，已知.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前100项的和.‎ ‎【答案】（1）；（2）5050.‎ ‎【解析】（1）根据题意，求得首项和公比，即可得到数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）求得，写出数列的前100项的和，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设公比为，则由题意可知 又，解得，所以.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 则数列的前100项的和 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的分组求和的应用，其中解答中熟记等比数列的基本量的运算，以及合理分组求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21．已知函数，向量，，函数.‎ ‎（Ⅰ）求的极值；‎ ‎（Ⅱ）判断在区间内的零点个数.‎ ‎【答案】（Ⅰ）极小值为，没有极大值；（Ⅱ）在区间内有一个零点.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用导数研究函数的单调性，由此可求出函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）求出函数的解析式，利用导数判断函数在区间上的单调性，结合零点存在定理即可判断出函数在区间上的零点个数.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）函数的定义域为，‎ ‎，‎ 令，则，令，得，‎ 由，得，由，得，‎ 所以，函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以，‎ 于是，由得，由得，‎ 所以，函数在上递减，在上递增. ‎ 所以，函数的极小值为，没有极大值；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎，‎ 当时，，，所以，，‎ 所以，所以，函数在上单调递增 ‎ 又因为，，‎ 因此，函数在区间内有一个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了利用导数判断函数的零点个数，一般利用导数研究函数的单调性与极值，结合零存在定理求解，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎22．已知椭圆的右焦点为F，过点的直线l与E交于A，B两点.当l过点F时，直线l的斜率为，当l的斜率不存在时，.‎ ‎（1）求椭圆E的方程.‎ ‎（2）以AB为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2）以AB为直径的圆恒过定点.‎ ‎【解析】（1）根据直线的斜率公式求得的值，由，即可求得的值，求得椭圆方程；‎ ‎（2）当直线的斜率存在，设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以直径的圆的方程，令，即可求得，即可判断以为直径的圆过定点．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆半焦距为c，由题意，所以.‎ l的斜率不存在时，，所以，.‎ 所以椭圆E的方程为.‎ ‎（2）以AB为直径的圆过定点.‎ 理由如下：‎ 当直线的斜率存在时，设的方程，，，，，‎ 联立方程组，消去，‎ 整理得，‎ 所以，，‎ 所以，，‎ 以为直径的圆的方程：，‎ 即，‎ 令，则，‎ 解得或，‎ 所以为直径的圆过定点．‎ 当直线l的斜率不存在时，，，‎ 此时以AB为直径的圆的方程为.‎ 显然过点．‎ 综上可知，以为直径的圆过定点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及圆的标准方程，考查转化思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．‎