数学理卷·2019届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学理卷·2019届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试（2017-11）

哈师大附中2017—2018年度上学期 高二学年期中考试数学试卷 （理科）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）‎ ‎1. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知双曲线的离心率为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知是椭圆上一点，是其左、右焦点，若，则的面积为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知抛物线：，过点的直线交抛物线于,若为坐标原点，则直线的斜率之积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 如果满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9． 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）‎ A. B. C. 3 D. 2‎ ‎12．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）‎ 二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．双曲线的实轴长为 ．‎ ‎14．已知双曲线：，若直线交该双曲线于两点，且线段的中点为点,则直线的斜率为 ．‎ ‎15.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ‎，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则 ．‎ ‎16. 已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的两焦点的对称点分别为 ‎，，线段的中点在上，则 ．‎ 三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知圆经过点 且圆心在直线上．‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线截圆所得弦长为 ，求直线的方程．‎ C B A D C1‎ A1‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，‎ ‎，，是棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围.‎ P D B C A E F ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，‎ 底面，分别为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，试问在线段上是否存在点，使得二面角 的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为 短轴两个端点为且四边形是边长为的正方形．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足 ‎，连接，交椭圆于点．证明：为定值．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线交于、 两点，射线、分别交于、‎ 两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ 数学答案 （理科）‎ 一．选择题 ‎1-6 DCBBCD 7-12 ACBDAB 二．填空题 ‎13.4 14. 15.4 16.16‎ 三．解答题 ‎17. （Ⅰ） 设圆心 ．‎ 所以 ，圆 的方程为 ． ……………4分 ‎ （Ⅱ） 若直线的斜率不存在，方程为 ，此时直线截圆所得弦长为 ，符合题意；‎ 若直线的斜率存在，设方程为 ，即 ．‎ 由条件知，圆心到直线的距离 ‎ ‎ 直线的方程为 ．‎ 综上，所求方程为 或 ． ……………10分 ‎18. 不妨设，则，‎ ‎（Ⅰ ）因为是中点，所以,从而，故，‎ 又因为侧棱垂直于底面， ，所以，‎ ‎，‎ ‎ ; ……………6分 ‎ （Ⅱ）以如图，以为原点，为轴正向建立空间直角坐标系，‎ 则 所以直线与所成角的余弦值是 ……………12分 ‎19. 解：（Ⅰ）由题意知，‎ ‎.又双曲线的焦点坐标为，，‎ 椭圆的方程为. ……………4分 ‎（Ⅱ）若直线的倾斜角为，则，‎ 当直线的倾斜角不为时，直线可设为，‎ ‎，由 ‎ ‎ ‎ 设，，……………6分 ‎ ……………8分 ‎ ……………10分 ‎，综上所述：范围为 ……………12分 ‎20. 证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF，MA在ΔCPD中，F为PC的中点，‎ ‎,且MF=，正方形ABCD中E为AB中点， 且AE=，‎ 且，故：EFMA为平行四边形， ……2分 又EF平面PAD，AM平面PAD EF//平面PAD ……4分 ‎（Ⅱ）如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系：‎ ‎，，，，‎ 由题易知平面PAD的法向量为， ……6分 假设存在Q满足条件：设，，‎ ‎，，，‎ 设平面PAQ的法向量为，‎ ‎ ……10分 ‎，由已知：‎ 解得：，所以：满足条件的Q存在，是EF中点。 ……12分 ‎21.（Ⅰ）由题意得 ，所以 ，，‎ 所以所求的椭圆方程为 ． ……………4分 ‎（Ⅱ） 由（1）知，，．由题意可设 ，‎ 因为 ，所以 ． ……………6分 由 整理得 ，因为 ，‎ 所以 ， ……………8分 所以 ，， ……………10分 所以 ．‎ 即 为定值 ． ……………12分 ‎22. 解: (Ⅰ)因为的面积为,所以， ……………2分 代入椭圆方程得， 抛物线的方程是： ……………4分 ‎（Ⅱ）显然直线不垂直于轴，故直线的方程可设为，‎ 与联立得.‎ 设,则 ‎.……………6分 由直线OC的斜率为 ‎,故直线的方程为，与联立得 ‎，同理，‎ 所以 ………8分 可得 要使，只需 ………10分 即 解得，‎ 所以存在直线: 符合条件 ………… 12分 ‎ ‎