北京市第二十五中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

北京市第二十五中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

‎2019北京二十五中高一（上）期中 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（请把答案填在机读卡相应位置.每小题3分，合计42分）‎ ‎1.已知，，，( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 本题考查的是集合运算．由条件可知,所以，应选C．‎ ‎2.已知集合那么集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解对应方程组，即得结果 ‎【详解】由得所以，选D.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3.命题：，的否定是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题的否定分析解答.‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题：，的否定是：，.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎4.下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相等函数的定义对每一个选项的两个函数分析判断得解.‎ ‎【详解】当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，两个函数才是同一函数.‎ A. 的定义域是R，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；‎ B. ，，两个函数的定义域显然不同，所以两个函数不是同一函数；‎ C. ，，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数；‎ D. 的定义域是R，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查同一函数的定义和判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎5.下列函数中为偶函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇偶函数的定义判断每一个选项得解.‎ ‎【详解】A. 的定义域是，定义域不关于原点对称，该函数是一个非奇非偶函数；‎ B. 函数为奇函数；‎ C. 二次图象的对称轴为轴，该函数为偶函数；‎ D. 对于函数，该函数在有定义，在没定义，即函数的定义域不关于原点对称，该函数是一个非奇非偶函数.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎6.下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断每一个选项的函数的单调性得解.‎ ‎【详解】A. ，是R上的增函数，所以该选项不符合题意；‎ B. ，是R上的增函数，所以该选项不符合题意；‎ C. ，在上单调递增，所以该选项不符合题意；‎ D. ，在上单调递减，所以该选项符合题意.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎7.已知某幂函数的图象过点，则此函数解析式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数为，根据已知求出的值得解.‎ ‎【详解】设幂函数为，因为幂函数的图象过点，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8.已知命题，，p是q的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简两个命题，再利用充分不必要条件的定义判断得解.‎ ‎【详解】由题得命题 由题得命题或.‎ 因为命题成立时，命题或一定成立，所以p是q的充分条件；‎ 因为命题或成立时，命题不成立，所以p是q的非必要条件.‎ 所以p是q的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9.若a，b是任意实数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊值法和函数单调性判断各选项中不等式是否成立，由此可得出结论.‎ ‎【详解】A.取，，则，所以该选项错误；‎ B.取，，则，所以该选项错误；‎ C.取，，则，所以该选项错误；‎ D.由于指数函数为上的减函数，，，所以该选项正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查比较大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.下列不等式中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据不等式性质和均值不等式依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】A. ，取不成立，排除；‎ B. ，取不成立，排除；‎ C. ，等号成立的条件为，无解，排除；‎ D. ，等号成立的条件为，即时等号成立，正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式性质，均值不等式，意在考查学生的计算能力和推断能力.‎ ‎11.某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了，休息了一段时间，又沿原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象，匀速行驶一段后，休息一段时间路程无变化，应排除A，又原路返回一段，排除D，继续前进，因为匀速所以选C.‎ ‎【详解】因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A；又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D；C选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除B故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识图，辨析及实际问题的意义，属于中档题.‎ ‎12.已知定义在R上的偶函数在上是减函数，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，再利用函数的单调性判断得解.‎ ‎【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以.‎ 因为函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，‎ 所以函数在上是增函数，‎ 因为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎13.已知且，则（ ）‎ A. 13 B. C. 15 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再代入得解.‎ ‎【详解】,‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性求函数值，意在考查学生对这些知识理解掌握水平.‎ ‎14.设是R上的奇函数，且，当时，，则=（ ）‎ A. 1.5 B. -1.5 C. 0.5 D. -0.5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与是R上的奇函数,可将中转换到 中进行求解即可.‎ ‎【详解】由有,‎ 又是R上的奇函数则.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了函数性质求解函数值的方法,属于基础题型.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（请把答案写在答题纸相应位置，每题3分，合计15分）‎ ‎15.函数的定义域是________.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式即得解.‎ ‎【详解】由题得或.‎ 所以函数的定义域为或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.在①、②、③④中，最大的数是________；最小的数值________（填序号）.‎ ‎【答案】 (1). ③. (2). ①.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简每一个数即得大小.‎ ‎【详解】①；②；③；④.‎ 所以最大的是③，最小的是①.‎ 故答案为：(1). ③. (2). ①.‎ ‎【点睛】本题主要考查分数指数幂的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎17.已知函数，则________；________.‎ ‎【答案】 (1). . (2). .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接代入分段函数的解析式求值得解.‎ ‎【详解】；‎ ‎.‎ 故答案为：(1). . (2). .‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎18.已知，则的最小值为________，此时x的值为________.‎ ‎【答案】 (1). . (2). .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先变形，再利用基本不等式求最值，利用等号成立的条件求出对应的值.‎ ‎【详解】，‎ 当且仅当，即当时取到最小值.‎ 故答案为：(1). . (2). .‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19.如果函数在区间上有最小值3，那么实数的值为_________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得抛物线的对称轴为，再对分三种情况讨论，结合二次函数的单调性分析得解.‎ ‎【详解】由题得抛物线的对称轴为，‎ 当即时，或，‎ 因，所以舍去；‎ 当即时，；‎ 当即时，或，‎ 因为，所以.‎ 综上所述，或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三.解答题（请把详细过程写在答题纸上，合计43分）‎ ‎20.计算: ‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用指数幂的运算法则化简即得解.‎ ‎【详解】原式 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎21.已知集合，‎ ‎（Ⅰ），求；‎ ‎（Ⅱ）若，求实数的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先化简集合和，再求出，再求；‎ ‎（Ⅱ）分析得到4是方程的一个根，即得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）集合，‎ 时，，所以或，‎ ‎；‎ ‎（Ⅱ），‎ 是方程的一个根，，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎22.已知函数是R上的偶函数，且当时，‎ ‎（1）当时，求函数的解析式；‎ ‎（2）求方程的解集.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，所以，再利用代入法求函数的解析式；‎ ‎（2）分类讨论求的值得解.‎ ‎【详解】（1）设，所以，所以，‎ 由于函数为偶函数，所以，‎ 所以函数的解析式为.‎ ‎（2）当时，；‎ 当时，.‎ 所以方程的解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法和奇偶性的应用，考查分段函数的求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎23.已知函数，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判定的奇偶性并证明；‎ ‎（3）判断在上的单调性，并用定义给予证明.‎ ‎【答案】（1）；（2）为奇函数，证明见解析；（3）在上单调递增，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），解方程即得解；‎ ‎（2）利用函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性；‎ ‎（3）在上单调递增,再利用函数的单调性定义证明.‎ ‎【详解】（1），，；‎ ‎（2）为奇函数，‎ ‎，所以函数的定义域为，‎ ‎，为奇函数；‎ ‎（3）在上单调递增.‎ 证明：对任意的，，且，‎ ‎，‎ ‎，，且，，，‎ ‎，即，在上单调递增.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎24.已知二次函数满足且.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，带入和，即可求出，，的值.‎ ‎（2）首先将题意转化为时，恒成立，再求出，即可.‎ ‎【详解】（1）设，‎ 则，‎ 所以，‎ 解得：，.又，‎ 所以.‎ ‎（2）当时，恒成立，‎ 即当时，恒成立.‎ 设，.‎ 则，.‎ ‎【点睛】本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题.‎