专题40 抛物线-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍
专题40 抛物线
2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍
【高频考点解读】
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。
2．理解数形结合的思想。
3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。
【热点题型】
热点题型一 抛物线的定义及标准方程
例1、【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。
【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．
【变式探究】(1)已知点M(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在该抛物线上移动，当|PM|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为________。
(2)已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．不确定
解析：(1)如下图，由定义知|PF|＝|PE|，
故|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PE|≥|ME|≥|MN|＝3。
显然，只有当点P在由点M向准线所作的垂线上时，距离之和最小，此时点P的坐标为(2,2)。
【提分秘籍】
与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关。实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化。
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解。
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决。
(3)引入变量，建立目标函数，利用不等式或者函数性质求解。
【举一反三】
已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：由题意知抛物线的准线为x＝－。因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A。
答案：A
热点题型二 抛物线的几何性质
例2、【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】设，直线的方程为，联
立方程，得，∴ ，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
【变式探究】(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( )
A．1 B. C．2 D．3
(2)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝( )
A. B. C．3 D．2
【提分秘籍】
1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性。
2．求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题。
【举一反三】
从抛物线x2＝4y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________。
解析：设P(x0，y0)。由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，|PM|＝|PF|＝5，
∴y0＝4，代入抛物线方程得|x0|＝4。
∴S△MPF＝|PM|·|x0|＝×5×4＝10。
答案：10
热点题型三 直线与抛物线的位置关系
例3.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）由抛物线C： 过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为， .
由，得.
则， .
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为
，
所以.
故A为线段BM的中点.
【变式探究】已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9。
(1)求该抛物线的方程。
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值。
解析：(1)由题意得直线AB的方程是y＝2，
与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝。
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线的方程是y2＝8x。
(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B (4,4)。
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1,4λ－2)，
又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2。
【提分秘籍】
解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系。
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式。
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法。
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解。
【举一反三】
设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．6 C．12 D．7
解析：抛物线C：y2＝3x的焦点为F，所以AB所在的直线方程为y＝，将y＝代入y2＝3x，消去y整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得
x1＋x2＝，由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，故选C。
答案：C
【高考风向标】
1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】设，直线的方程为，联立方程，得，∴ ，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
2.【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。
【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有
，故．
3.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）由抛物线C： 过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为， .
由，得.
则， .
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为
，
所以.
故A为线段BM的中点.
1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．
4.【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
5.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m
1 D．m0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径
长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，
，∴，
∴，故双曲线的方程为，故选D.
13.【2016高考山东理数】已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.
【答案】2
【解析】假设点A在第一象限，点B在第二象限，则，，所以，，由，得离心率或（舍去），所以E的离心率为2.
14.【2016年高考北京理数】双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_______________.
【答案】2
【解析】∵是正方形，∴，即直线方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意，∴，．故填：2．
27. 【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.
【答案】（1）．（2）.
（2）由已知，，．
设，，直线．显然．
由，得．
因为与双曲线交于两点，所以，且．
设的中点为．
由即，知，故．
而，，，
所以，得，故的斜率为．
1.【2015高考福建，理3】若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B
【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．
2.【2015高考四川，理5】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（ ）
(A) (B) (C)6 （D）
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为，过F与x轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入得：.选D.
3.【2015高考广东，理7】已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B. C. D.
【答案】B．
【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，所以所求双曲线方程为，故选B．
4.【2015高考新课标1，理5】已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )
（A）（-，） （B）（-，）
（C）（，） （D）（，）
【答案】A
【解析】由题知，，所以= =，解得，故选A.
5.【2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）
A．对任意的， B．当时，；当时，
C．对任意的， D．当时，；当时，
【答案】D
【解析】依题意，，，
因为，由于，，，
所以当时，，，，，所以；
当时，，，而，所以，所以.
所以当时，；当时，.
6.【2015高考重庆，理10】设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】由题意，由双曲线的对称性知在轴上，设，由得，解得，所以，所以，因此渐近线的斜率取值范围是，选A.
7.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C.
8.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
9.【2015高考北京，理10】已知双曲线的一条渐近线为，则 ．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，，,则
10【2015高考湖南，理13】设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .
【答案】.
【解析】根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，
∴.
11.【2015高考浙江，理9】双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．
【答案】，.
【解析】由题意得：，，，∴焦距为，
渐近线方程为.
12.【2015高考上海，理9】已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】由题意得：：，设，则，所以，即的渐近线方程为
13.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 .
【答案】
【解析】设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为。
1．（2014·湖北卷）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A. B. C．3 D．2
【答案】A
2．（2014·北京卷）设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．
【答案】－＝1 y＝±2x
【解析】设双曲线C的方程为－x2＝λ，将(2，2)代入得－22＝－3＝λ，∴双曲线C的方程为－＝1.令－x2＝0得渐近线方程为y＝±2x.
3．（2014·全国卷）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，|F1A|－|F2A|＝2a，因为|F1A|＝2|F2A|，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a.又因为双曲线的离心率e＝＝2，所以c＝2a，|F1F2|＝2c＝4a，所以在△AF1F2中，根据余弦定理可得cos∠AF2F1＝＝＝.
4．（2014·福建卷）已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率．
(2)如图16，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
图16
【解析】解：方法一：
(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，
所以＝2，
所以＝2，
故c＝a，
从而双曲线E的离心率
e＝＝.
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，
所以|OC|·|AB|＝8，
因此a·4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线E的方程为－＝1.
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y1＝，同理得y2＝.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得
·＝8，
即m2＝4＝4(k2－4)．
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．
又因为m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
方法二：(1)同方法一．
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
依题意得－2或k<－2.
由得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0，
因为4－k2<0，Δ>0，所以x1x2＝，
又因为△OAB的面积为8，
所以 |OA|·|OB|· sin∠AOB＝8，又易知sin∠AOB＝，
所以·＝8，化简得x1x2＝4.
所以＝4，即m2＝4(k2－4)．
由(1)得双曲线E的方程为－＝1，
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0.
因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，
即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，
所以双曲线E的方程为－＝1.
当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一个公共点．
综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
5．（2014·广东卷）若实数k满足00，且x2＝，y2＝，从而|PQ|＝2＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.
又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.
故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.
而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2.
综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.
7．（2014·江西卷）如图17所示，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．
图17
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
【解析】解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝.
由题意，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，所以B.
又直线OA的方程为y＝x，
则A，所以kAB＝＝.
又因为AB⊥OB，所以·＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．
因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝的交点为N，，
则＝＝＝
·.
又P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，
代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．
8．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B．3
C.m D．3m
【答案】A
【解析】双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0.根据双曲线方程得a2＝3m，b2＝3，所以c＝，双曲线的右焦点坐标为(，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为＝.
9．（2014·山东卷）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A. x±y＝0 B. x±y＝0
C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0
【答案】A
10．（2014·天津卷）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】A
【解析】由题意知，双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝2.∵双曲线的左焦点(－c，0)在直线l上，∴0＝－2c＋10，∴c＝5.又∵a2＋b2＝c2，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为－＝1.
【高考冲刺】
1．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝6x
C．y2＝8x D．y2＝10x
解析：由题意可知p>0，因为抛物线y2＝2px，所以其准线方程为x＝－，因为点P(2，y0)到其准线的距离为4，所以|－－2|＝4，所以p＝4，故抛物线方程为y2＝8x。故选C。
答案：C
2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5。所以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析：由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M，则＝，＝。由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M。
由|MF|＝5得，＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故选C。
答案：C
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是( )
A．2± B．2＋
C.±1 D.－1
解析：F，设P，Q(y1≠y2)。由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得＋＝＋，所以y＝y，又y1≠y2，所以y1＝－y2，所以|PQ|＝2|y1|＝2，|y1|＝1，所以|PF|＝＋
＝2，解得p＝2±。
答案：A
4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为( )
A. B.
C. D.
解析：
设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k＞0)恒过定点P(－2,0)，如图过A，B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点，连接OB，则|OB|＝|FA|，所以|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2)，把B点坐标代入直线方程得k的值为。
答案：C
5．直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则线段AB的长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
6．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为( )
A. B．2
C.＋1 D.－1
解析：由题意，因为两条曲线交点的连线过点F，
所以两条曲线的一个交点为，
代入双曲线方程得－＝1，
又＝c，
所以－4×＝1，化简得c4－6a2c2＋a4＝0，
所以e4－6e2＋1＝0，
所以e2＝3＋2＝(1＋)2，
所以e＝＋1，
故选C。
答案：C
7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(a，－2)到焦点的距离为3，则抛物线的方程是________。
解析：由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，抛物线上的点P(a，－2)到焦点的距离即为点P到准线y＝的距离，所以＋2＝3，解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y。
答案：x2＝－4y
8．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点。若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________。
解析：设直线y＝a与y轴交于M点，若抛物线y＝x2上存在C点使得∠ACB＝90°，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y＝x2有除A，B外的交点即可，即使|AM|≤|MO|，所以≤a，所以a≥1或a≤0，因为由题意知a＞0，所以a≥1。
答案：[1，＋∞)
9．已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是________。
10．已知曲线C上的动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l：y＝－2的距离小1。
(1)求曲线C的方程；
(2)动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A，B。直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由。
解析：(1)因为动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l：y＝－2的距离小1，所以动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离与直线l′：y＝－1的距离相等。
所以曲线C是以F(0,1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线，所以曲线C的方程是：x2＝4y。
(2)设E(a，－2)，切点为，
由x2＝4y得y＝，
所以y′＝，所以＝，
解得：x0＝a±，
所以A，
B，
化简直线AB方程得：
y－2＝x，所以直线AB恒过定点(0,2)。
11．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1)。
(1)求抛物线的标准方程。
(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程。
(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A，B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程。
解析：(1)设抛物线的标准方程为x2＝2py，把点P(2,1)代入可得4＝2p，所以p＝2，故所求的抛物线的标准方程为x2＝4y。
(2)①当斜率不存在时，直线方程为x＝2，符合题意；
②当斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋1，
联立方程可得整理可得x2－4kx＋8k－4＝0。
因为直线与抛物线只有一个公共点，
所以Δ＝16k2－32k＋16＝0，
所以k＝1。
综上可得，直线l的方程为x－y－1＝0或x＝2。
(3)由题意可知，AB的斜率存在，设AB的方程为y－1＝k′(x－1)，代入抛物线的标准方程x2＝4y可得x2－4k′x＋4k′－4＝0，所以x1＋x2＝4k′＝2，
所以k′＝，所以AB的方程为y－1＝(x－1)，
即x－2y＋1＝0。
12．已知抛物线C：y2＝2px的焦点坐标为F(1,0)，过F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点。
(1)求抛物线C的方程。
(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值。
解析：(1)由焦点坐标为(1,0)，可知＝1，
所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x。
(2)当直线AB垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，所以＝2＝，
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y＝k(x－1)，
设M(－2，yM)，N(－2，yN)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由整理得k2x2－(4＋2k2)x＋k2＝0，所以x1·x2＝1，
所以＝＝·
＝·＝·＝，
综上＝。
