2017-2018学年河北省保定市高二上学期期末调研考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年河北省保定市高二上学期期末调研考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省保定市高二上学期期末调研考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知复数满足，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，则由已知有，所以，解得 ，所以，故，选A.‎ ‎2．命题“， ”的否定是（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ， ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据命题的否定易得：命题“， ”的否定是， ‎ ‎3．下列命题中，不是真命题的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆命题.‎ B. “”是“且”的必要条件.‎ C. 命题“若，则”的否命题.‎ D. “”是“”的充分不必要条件.‎ ‎【答案】A ‎【解析】命题“若，则”的逆命题为：若，则,显然是错误的，当m=0时则不成立，故A是假命题.‎ ‎4．某工厂的三个车间在12月份共生产了双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为、、，且，则第二车间生产的产品数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由分层抽样可得第二车间应抽取的产品数为： ‎ ‎5．在一次数学测验中，统计7名学生的成绩分布茎叶图如下图所示，若这7名学生的平均成绩为77分，则的值为（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：7名学生的平均成绩为77分，因此，解得；‎ ‎【考点】茎叶图；‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而 ‎，∴，故选B.‎ ‎【考点】1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序 框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多 时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.‎ ‎7．下面的程序运行后第3个输出的数是（ ）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】第一次： ，第二次： ，故选A ‎8．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为，选C.‎ ‎【考点】古典概型 ‎【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.‎ ‎9．若， 为互斥事件，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为A,B互斥，但A,B不一定对立，所以 ‎10．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：‎ ‎①-2是函数的极值点；‎ ‎②1是函数的极值点；‎ ‎③的图象在处切线的斜率小于零；‎ ‎④函数在区间上单调递增.‎ 则正确命题的序号是（ ）‎ A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D 点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号 ‎11．已知点为双曲线的右支上一点， ， 为双曲线的左、右焦点，若（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由有 ，又 ，所以为直角三角形，且，由勾股定理求出，根据双曲线的定义有，即，所以双曲线的离心率，选B.‎ 点睛：本题主要考查双曲线的几何性质，有双曲线的定义，离心率的求法等，属于基础题。向量数量积的应用是解答本题的关键。‎ ‎12．设奇函数在上存在导函数，且在上，若 ，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由 得： ，构造函数， 故g（x）在单调递减，由函数为奇函数可得g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减，故选D 点睛：本题解题关键为函数的构造，由要想到此条件给我们的作用，通常情况下是提示我们需要构造函数得到新函数的单调性，从而得不等式求解 二、填空题 ‎13．对四个样本点， ， ， 分析后，得到回归直线方程为，则样本点中的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由回归直线一定过样本中心点可得： ‎ ‎14．在上是减函数，则的取值范围是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：转化为在上恒成立，即在上恒成立，令，所以，则的取值范围是.‎ ‎【考点】1.导数判断函数的单调性；2.不等式恒成立.‎ ‎15．在区间内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】此题为几何概型，如图：在区间内任取两个实数x,y则，如图阴影部分，所以这两个实数的和大于的概率为 ‎16．对于三次函数 ，给出定义：设是的导数， 是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得： ，所以对称中心为（， ） ，设g(x)上任意一点，因为关于（， ）对称，所以P关于其对称的对称点为在g(x)上，且所以，故 2017‎ 三、解答题 ‎17．设：实数满足，其中； ：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意先求出命题p和q的不等式解集，然后根据为真，则命题都为真，求交集即可；（2）若是的充分不必要条件则 解析：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，又a>0，所以a 当a＝1时，1‎ 由q为真时，实数x的范围是 x3， ‎ 若p∧q为真，则p真且q真，‎ 所以实数x的取值范围是(1,3)．‎ ‎(2) ：x≤a或x≥3a， ：x<-2或x>3，‎ 由是的充分不必要条件，有 ‎ 得0 ，即a的取值范围为(0,1]．‎ ‎18．某学校为了解该校教师对教工食堂的满意度情况，随机访问了名教师.根据这名教师对该食堂的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为： ， ，…， ， .‎ ‎（1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）从评分在的受访教师中，随机抽取2人，求此2人的评分都在的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图的性质可知各频率之和为1即可得a=0.022;（2）先计算出受访教师中评分在[50，60)的人数：50×0.006×10＝3(人)，然后列出所有组合可能即可 解析：(1)因为(0.004＋0.006＋0.018＋a×2＋0.028)×10＝1，‎ 所以a＝0.022 ‎ ‎(2)受访教师中评分在[50，60)的有：‎ ‎50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；‎ 受访教师中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2…8分 从这5名受访教师中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}． ‎ 又因为所抽取2人的评分都在[50，60)的结果有3种，即{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，故所求的概率为 .‎ ‎19．已知椭圆： 的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为.‎ ‎（1）求该椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与椭圆相交于， 两点，且点恰为弦的中点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知条件求出的值，得出椭圆的方程；（2）由“点差法”求出直线的斜率，由直线的点斜式求出直线方程。‎ 试题解析：（1）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1， ‎ ‎∴a2﹣b2=1 ①，‎ 又椭圆截抛物线的准线x=﹣1所得弦长为3， ‎ ‎∴可得上面的交点为（﹣1， ），∴ ②‎ 由①代入②得4b4﹣9b2﹣9=0，解得b2=3或b2= （舍去），‎ 从而a2=b2+1=4，∴该椭圆的方程为 ‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得， ‎ ‎3x12+4y12=12，3x22+4y22=12， ‎ 相减可得3（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）=0， ‎ 由x1+x2=2，y1+y2=1，可得直线AB的斜率为，‎ 即直线AB的方程为 ，即为3x+2y﹣4=0．‎ ‎20．如图，四面体中， 、分别、的中点， ， .‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值的大小；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知条件得出，由计算得出，得出，再由线面垂直的判定定理得出平面 ‎；（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出的坐标，求出的值为，得出结果；（3）求出平面ABC的一个法向量，由点到平面的距离公式算出结果。‎ 试题解析：（1）连接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD， ‎ ‎∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD， ‎ 在△AOC中，由题设知 AO=， ,AC= ，‎ ‎∴AO2+CO2=AC2， ∴∠AOC=90°，即AO⊥OC， ‎ ‎∵AO⊥BD，BD∩OC=O， ‎ ‎∴AO⊥平面BCD； ‎ ‎（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，0， ），B（，0，0），C（0， ，0），D（﹣，0，0），, ， ，∴异面直线AD与BC所成角的余弦值大小为 .‎ ‎（3）解：由（2）知： , .‎ 设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则 ‎ ，‎ 令y=1，得=（，1，）‎ 又， ‎ ‎∴点D到平面ABC的距离.‎ ‎21．已知点到点的距离比到轴的距离大1.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设直线： ，交轨迹于、两点， 为坐标原点，试在轨迹的部分上求一点，使得的面积最大，并求其最大值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求轨迹方程可直接根据题意设点列等式化简即可或者根据我们所学的椭圆、双曲线、抛物线的定义取对比也行本题因为点M到点F(1,0) 的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x＝－1的距离由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴；（2）根据题意先分析如何使的面积最大，可知当直线l的平行线与抛物线相切时△ABP的面积最大,然后根据点到线的距离公式求出高，弦长公式求出底，即得出面积 解析：（1）因为点M到点F(1,0) 的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x＝－1的距离 由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴 设轨迹C的方程为： ， , ‎ ‎ 轨迹C方程为： ， 或 .‎ ‎（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）, P（x0,y0）,‎ 直线l化成斜截式为 ,当直线l的平行线与抛物线相切时△ABP的面积最大,‎ 由图知P点在第四象限.抛物线在x轴下方的图象解析式： ，所以, ‎ ‎，解得， ,所以P点坐标,P点到l的距离, A，B两点满足方程组 化简得. ‎ x1,x2 为该方程的根. 所以 ,‎ ‎ ,‎ ‎ . ‎ 点睛：本题解题关键在于要熟悉抛物线定义，然后第二问先要分析出什么时候可以使三角形面积达到最大，此题显然是与直线平行且与抛物线相切时，最后按照三角形面积公式一一求出所需条件即可 ‎22．已知函数， .‎ ‎（1）令，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）时， 在递增， 递减； 时， 在递增；‎ 时， 在和递增， 递减； 时， 在和递增， 递减；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出函数的解析式和定义域，求导，对实数分情况讨论得出单调性；（2）若任意 ,都有恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),‎ 只需 即可，由（1）中的单调性，求出的最小值，再求出的范围。‎ 试题解析：(1)解：h(x)=f(x)-g(x)= ,定义域为 ‎ ‎ ,（x>0）‎ a0时， >0得x>1; <0得00得01; <0得a1时， >0得0a； <0得11时，h(x)在（0,1）和(a, )递增，(1,a)递减 ‎ (2) 若任意 ,都有恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),‎ 只需 即可 由（1）知， 时，h(x)在递增， =h(1)=4-a 0,解得a 4.又，所以 ，‎ ae时，h(x)在递减， =h(e)= 解得,又ae，所以 ,1

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