数学理卷·2018届陕西省黄陵中学高三（普通班）下学期开学考试（2018

数学理卷·2018届陕西省黄陵中学高三（普通班）下学期开学考试（2018

高三普通班开学考试数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷 选择题（满分60分）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.等差数列的前项和为，若为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知点是圆的内部任意一点，则点满足的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.若实数，满足，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在约束条件下，若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围（ ）‎ A B C D ‎ ‎10.设，记 试比较a,b,c的大小关系为（ ）‎ A B C D ‎ ‎11.设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为 （ ）‎ ‎ A．2002 B．‎2004 ‎ C．2006 D．2008‎ ‎12．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点,若线段、‎ 的长分别为、,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.抛物线在处的切线与抛物线以及轴所围成的曲线图形的面积为 ．‎ ‎14.设中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则 ．‎ ‎15.在三棱锥中，底面为边长为2的正三角形，顶点在底面上的射影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为 ．‎ ‎16.在面积为2的平行四边形中，点为直线上的动点，则的最小值是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知数列的前项和为，若，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎18.如图，矩形中，，，点是上的动点.现将矩形沿着对角线折成二面角，使得.‎ ‎（1）求证：当时，；‎ ‎（2）试求的长，使得二面角的大小为.‎ ‎19. “双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券.为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照，分组，得到如下频率分布直方图：‎ 根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：‎ ‎（1）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；‎ ‎（2）从购物者中随机抽取10人，这10人中获得电子优惠券的人数为，求的数学期望.‎ ‎20. 已知椭圆的焦距为2，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围.‎ ‎21.已知函数，，．‎ ‎（Ⅰ)若的图像在处的切线过点，求的值并讨论在上的单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）定义：若直线与曲线、都相切，则我们称直线为曲线、的公切线．若曲线与存在公切线，试求实数的取值范围．‎ 选考题：共10分.请考生在22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若为曲线的左焦点，求的值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数，，.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1-5: DCBDC 6-10: CBADC 11-12.DA ‎13. 14.2或4 15. 16.‎ ‎17.解法一：（1） ，． ‎ 当时，，得．‎ 当时，，‎ ‎， ‎ ‎，即，‎ ‎． ‎ 数列是等差数列，且首项为，公差为2， ‎ ‎．‎ ‎ （2）由（1）可知，，‎ ‎，——①‎ ‎，——② ‎ ‎①–②得 ‎，‎ 化简得． ‎ 解法二：（1）同解法一.‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ 设，‎ 解得 ‎， ‎ ‎.‎ ‎18.解: （1）连结，．‎ 在矩形中，,‎ ‎, ． ‎ 在中，∵,‎ ‎， ‎ ‎∵，‎ ‎，即．‎ 又在中，‎ ‎，‎ ‎∴在中，,‎ ‎,‎ 又,‎ ‎∴平面．‎ ‎∴．‎ A B C D F ‎（2）解：在矩形中，过作于，并延长交于. 沿着对角线翻折后，‎ 由（1）可知，两两垂直，‎ 以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ‎, ‎ 平面,‎ 为平面的一个法向量． ‎ 设平面的法向量为 ‎，,‎ 由得 取则，．‎ ‎ 即,‎ ‎．‎ 当时，二面角的大小是． ‎ A C O E B F ‎19.【答案】（1）64；（2）8.7‎ ‎【解析】试题分析：⑴通过频率分布直方图可以算出购物者在每个购物金额区间的概率，进而得到购物者获得电子优惠券金额的平均数；‎ ‎⑵计算出购物者中任取一人获得电子优惠券的概率，进而得到的数学期望 解析：（1）购物者获得50元优惠券的概率为：；‎ 购物者获得100元优惠券的概率为：‎ 购物者获得200元优惠券的概率为：‎ ‎∴获得优惠券金额的平均数为：（元）‎ ‎（2）从购物者中任取一人获得电子优惠券的概率为：‎ 依题意：，所以 ‎20.【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：⑴依题意，有，代入椭圆方程即可 ‎⑵该直线存在斜率，设其方程为，联立直线与椭圆的方程，可得 ‎，令，解得的范围，设，，，又根据，利用根与系数的关系可得点坐标，代入椭圆方程进而得出。‎ 解析：（1）依题意，有，∴椭圆方程 ‎（2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为，由得 ‎，∴，得 设，，，则 由得，代入椭圆方程得 由得，‎ ‎∴ ‎ 令，则，∴‎ ‎21.解：（Ⅰ）由，得．又，‎ 故在的切线方程为．带入，得…………2分 ‎．从而，，． …………3分 ‎①当时，，．故的单调增区间为；‎ ‎②当，即时，，．故的单调增区间为；‎ ‎③当，即时，由得，故的单调增区间为．‎ 综上，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为． …………6分 ‎（Ⅱ）设的切点横坐标为，，‎ 切线方程为……①‎ 设的切点横坐标为，，‎ 切线方程为……② …………7分 联立①②，得，消去得．‎ 考虑函数，． …………9分 令，得或．‎ 当或时，，函数在区间，上单调递减，当且时，，函数在区间，上单调递增．‎ ‎，．故当时，方程有解，‎ 从而，函数与存在公切线． …………12分 ‎22.解：（1）由（为参数），消去参数得：.‎ 由消去参数得：.‎ 将代入中得：.‎ 设，，则.‎ ‎.‎ 值为.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎23.解：（1）在时，.‎ ‎.‎ ‎①在时，恒成立..‎ ‎②在时，，即，即或.‎ 综合可知：.‎ ‎③在时，，则或，综合可知：.‎ 由①②③可知：.‎ ‎（2）在时， ，取大值为.‎ 要使，故只需.则..‎ 在时，，最大值为.‎ 要使，故只需..从而.‎ 综合以上讨论可知：.‎