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文档介绍
数学理卷·2017届江西省百所重点高中高三模拟考试(2017
2017届百所重点高中高三模拟考试 数学试卷(理科) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.设复数(),且,则的虚部为( ) A. B. C. D. 3.若,则的值为( ) A. B. C. D. 4.在中,分别为的中点,为的中点,若,,则的值为( ) A. B. C. D. 5.下图是函数求值的程序框图,若输出函数的值域为,则输入函数的定义域不可能为( ) A. B. C. D. 6.函数的部分图象如图,且,则图中的值为( ) A. 1 B. C. 2 D.或2 7.在公差大于0的等差数列中,,且成等比数列,则数列的前21项和为( ) A.21 B. -21 C. 441 D.-441 8.中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目,其中一个题目如下:今有城下广四丈,上广二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺,问积几何?其译文可用三视图来解释:某几何体的三视图如图所示(其中侧视图为等腰梯形,长度单位为尺),则该几何体的体积为( ) A.3795000立方尺 B.2024000立方尺 C. 632500立方尺 D.1897500立方尺 9.已知,实数满足约束条件,且的最小值为,则的值为( ) A. B. C. D. 10.设分别是双曲线的左、右焦点,双曲线上存在一点使得,(为坐标原点),则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 11.体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上,球心 在此三棱锥内部,且,点为线段上一点,且,过点作球的截面,则所得截面圆面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 12.定义在上的函数的导函数满足,则下列不等式中,一定成立的是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(共90分) 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.若公比为2的等比数列满足,则的前7项和为 . 14. 的展开式中的系数为 . 15.已知圆过抛物线的焦点,且圆心在此抛物线的准线上,若圆的圆心不在轴上,且与直线相切,则圆的半径为 . 16.已知函数,若函数有4个零点,则实数的取值范围为 . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 在中,内角所对的边分别为,已知. (1)求; (2)若,,求的面积. 18. 某地区建立一个艺术博物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司,经过层层筛选,甲、乙两家建筑公司进入最后的招标,现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题,已知这6个招标问题中,甲公司可正确回答其中的4道题目,而乙公司能正确回答每道题目的概率均为,甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立,互不影响的. (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率; (2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 19. 如图,在三棱锥中,侧面底面,为等边三角形,. (1)求证:; (2)若,求与平面所成角的正弦值. 20. 已知椭圆:的短轴长为2,且函数的图象与椭圆仅有两个公共点,过原点的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程; (2)点为线段的中垂线与椭圆的一个公共点,求面积的最小值,并求此时直线的方程. 21. 已知函数,. (1)讨论函数的单调区间; (2)若,恒成立,求的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的方程为,以为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系, (1)求曲线和直线的极坐标方程; (2)若直线与曲线交于两点,求. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数. (1)求不等式的解集; (2)若且直线与函数的图象可以围成一个三角形,求的取值范围. 试卷答案 一、选择题 1-5: CCABC 6-10: BADCD 11、12:BA 二、填空题 13. 1 14. -6 15. 14 16. 三、解答题 17.(1)由,得,由于,,故有, 因为,所以. (2)因为,,所以, 又, 由正弦定理得:,解得:, 所以. 18.(1)由题意可知,所求概率. (2)设甲公司正确完成面试的题数为,则的取值分别为1,2,3, ,,, 则的分布列为 ∴, 设乙公司正确完成面试的题数为,则取值分别为0,1,2,3 ,, ,, 则的分布列为: ∴(或,∴) (或) 由,可得,甲公司竞标成功的可能性更大. 19.(1)证明:取的中点,连接, ∵点为等边中边的中点, ∴,∵,, ∴平面,又平面, ∴,∵点为的中点,∴. (2)由(1)知,,又,故是以为斜边的等腰直角三角形, ∵,侧面底面上,底面 以线段所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设,则,,,, ∴,,, 设平面的一个法向量, 则有,即,令, 则,,∴ 设与平面所成角为, 则. 20.(1)由题意可知,,则, 联立与,得: 根据椭圆与抛物线的对称性,可得 ∴,又, ∴,∴椭圆的标准方程为. (2)①当直线的斜率不存在时,;当直线的斜率为0时,, ②当直线的斜率存在且不为0时,设直线的方程为,由,得, ∴, 由题意可知线段的中垂线方程为,由,得, ∴, ∴ 即,当且仅当,即时等号成立,此时的面积取得最小值, ∵,∴的面积的最小值为,此时直线的方程为. 21.(1), (ⅰ)当时,,函数在上单调递增; (ⅱ)当时,令,则, 当,即时,函数单调递增; 当,即时,函数单调递减. 综上,当时,函数在上单调递增;当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是. (2)令,由(1)可知,函数的最小值为,所以,即. 恒成立与恒成立等价, 令,即,则, ①当时,(或令,则在上递增,∴,∴在上递增,∴,∴) ∴在区间上单调递增, ∴, ∴恒成立, ②当时,令,则, 当时,,函数单调递增. 又,, ∴存在,使得,故当时,,即,故函数在上单调递减;当时,,即,故函数在上单调递增. ∴, 即,不恒成立, 综上所述,的取值范围是. 22.(1)曲线的普通方程为, 则的极坐标方程为, 由于直线过原点,且倾斜角为,故其极坐标为(或) (2)由得:,故,, ∴. 23.(1)由,即, 得:或或, 解得:,∴不等式的解集为. (2)作出函数的图象,如图所示, ∵直线经过定点, ∴当直线经过点时,, ∴当直线经过点时,, ∴当时,直线与函数的图象可以围成一个三角形. 24.查看更多