专题1-4 立体几何-2017年高考数学走出题海之黄金100题系列（江苏版）

专题1-4 立体几何-2017年高考数学走出题海之黄金100题系列（江苏版）

‎1．已知、、是直线， 是平面，给出下列命题：‎ ‎①若， ，则； ②若， ，则；‎ ‎③若， ，则； ④若， ，则；⑤若与异面，则至多有一条直线与、都垂直．‎ ‎⑥若， ， ， ，则。‎ 其中真命题是__________．（把符合条件的序号都填上）‎ ‎【答案】①④‎ 点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查直线与平面间的位置关系，考查线面平行的性质定理，采用逐一判定，①②⑤⑥空间三条直线关系的判定，③④线面平行、垂直关系的判定．‎ ‎2．用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】设正三棱柱的底边长为，高为y,则，由基本不等式可得故三棱柱的侧面积最大值为6。‎ 点睛：对于小题的最值问题首先要想到基本不等式，然后写出表达式求解即可 ‎3．已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为____________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】正四棱锥的底面边长是2，侧棱长为，底面对角线长为，所以棱锥的高为 ‎，所以棱锥的体积为，故答案为.‎ ‎4．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列五个命题：‎ ‎①如果，那么；‎ ‎②如果，那么；‎ ‎③如果，那么；‎ ‎④如果，那么；‎ ‎⑤如果，那么.‎ 其中正确的命题有______________．（填写所有正确命题的编号）‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎5．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm,圆心角为的扇形,则此圆锥的高为 cm.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意圆锥的母线长为，设底面半径为，则，，则．‎ 考点：圆锥的侧面展开图．‎ ‎6．若四面体的三组对棱分别相等，即，，，给出下列结论：‎ ‎①四面体每组对棱相互垂直；‎ ‎②四面体每个面的面积相等；‎ ‎③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 而小于 ；‎ ‎④连结四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分；‎ ‎⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长；‎ 其中正确结论的序号是__________．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎【答案】 ②④⑤‎ ‎【解析】‎ 把四面体补形为平行六面体,由三组对棱分别相等可知此平行六面体为长方体,如图所示,只有长方体为正方体时①才正确,故①不正确.‎ 在长方体中,有△BAC≌△DCA.‎ ‎△ABC≌△DCB,△CBD≌△ADB.‎ ‎∴四面体ABCD每个面的面积都相等,故②正确.‎ 对于③,以∠BAC,∠CAD,∠BAD为例说明.‎ 对于④,连接四面体ABCD对棱中点的线段即是连接长方体对面中心的线段,显然相互垂直平分,故④正确.‎ 对于⑤,以AB、AC、AD为例进行说明.‎ ‎∵AD=BC,AB、AC、BC三边长可构成△ABC,‎ ‎∴AB、AC、AD可以作为一个三角形的三边长.同理可得从其他顶点出发的三条棱的长也可以作为一个三角形的三边长.故⑤正确.‎ ‎7．将斜边长为的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：形成的几何体为两个相同的锥体，体积是 考点：三棱锥体积 ‎【方法点睛】‎ 求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．‎ ‎8．已知长方体的长、宽、高分别为，则该长方体的外接球的半径是 cm ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意长方体的对角线就是球的直径，所以长方体的对角线长为：，‎ 所以球的直径为：3；半径为：‎ 考点：球内接多面体 ‎9．如图，梯形中， ，四边形为正方形，且平面平面.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若与相交于点，那么在棱上是否存在点，使得平面平面？并说明理由.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意首先证得平面，由线面垂直的定义可得.‎ ‎(2) 在棱上存在点，使得平面平面，且，利用面面平行的判断定理结合题意证得该结论即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明：连接.因为在梯形中， ，‎ ‎，又因为平面平面，平面平面平面平面，又因为 正方形中， 且平面平面，又平面.‎ 点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.‎ ‎10．如图，已知三棱锥中， 为的中点， 为的中点，且为正三角形.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）本问考查线面平行判定定理，根据题中条件，易得，在分别强调面外、面内这两个条件，即可以证明线面平行；（2）本问主要考查证明面面平行，根据面面平行判定定理，应先证明线面垂直，根据题中条件，应设法证明，根据题中条件分析可证出 平面，所以得到，于是根据线面垂直判定定理可得平面，于是平面平面.‎ 试题解析：（1）∵分别为的中点，∴，又平面平面，∴平面.‎ ‎（2）∵为的中点， 为正三角形，∴.‎ 由（1）知，∴.‎ 又，且，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，∴.‎ 又，且，‎ ‎∴平面.‎ 而平面，‎ ‎∴平面平面.‎ 考点：1.线面平行；2.面面垂直.‎ ‎11．如图，在四棱锥中，底面是正方形， 平面． 是的中点.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）过点作，垂足为，求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 试题解析：（1）设交与，连接，‎ 在中，∵是中点， 是中点．‎ ‎∴.‎ 又平面， 平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）由平面，又平面.‎ ‎∴.‎ 又， 平面， 平面，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，∴.‎ 又， 平面， 平面，‎ ‎∴平面，∴平面平面.‎ ‎12．在四棱锥中， 平面， ， ，且， 为线段上一点．　‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求证： 平面．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;　（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证平面平面，只需证明平面，而，所以只需证明，因为平面，所以成立，（2）在上取一点，使得，易得四边形为平行四边形，即有，再根据线面平行判定定理可得平面．‎ ‎13．如图，在三棱柱中， 底面，且为正三角形， ， 为的中点．‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ 试题解析:‎ ‎（1）证明：连接交于点，连接，则点为的中点 ‎∵为中点，得为中位线，∴．∵平面， 平面，∴直线平面．‎ ‎（2）‎ ‎∵底面，∴‎ ‎∵底面为正三角形， 是的中点，∴‎ ‎∵，∴平面．‎ ‎∵平面，∴平面 平面 ‎（3）由（2）知， 中， ， ，‎ ‎∴．又是底面上的高，‎ ‎∴．‎ ‎14．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形， 平面分别为的中点.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）为线段上一点，若平面，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用几何关系首先证得 平面 ，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；‎ ‎(2) 取中点，连接，然后利用几何关系结合平面几何的结合即可求得 的值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅱ） ‎ 取中点，连接.‎ 中， 分别为的中点 则为的中位线 ‎，又， ，‎ ‎， ，又 ‎，又， ， ，‎ 又， ，又 为中点，‎ 为中点，又为中点， ，即 ‎15．如图， 是边长为2的正方形的边的中点，将与分别沿、折起，使得点与点重合，记为点，得到三棱锥．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析: （Ⅰ）由， ,可得平面，又在平面内，即可证得面面垂直;（Ⅱ）解：设点到平面的距离为，根据三棱锥等体积可得 ‎，根据体积公式代入即可求得．‎ 试题解析:（Ⅰ）证明：∵，∴， ．‎ ‎∵交于点， ， 在平面内，∴平面，‎ ‎∵在平面内，∴平面平面．‎ ‎16．如图，矩形中， ， ， 在边上，且，将沿折到的位置，使得平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证： ；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ 试题解析：（Ⅰ）连接交于点，依题意得，所以 ，‎ 所以，所以，所以，‎ 即， ，又， ,平面.‎ 所以平面.又 所以；‎ ‎ 17．如图，三棱柱中， 是正三角形，四边形是矩形，且.‎ ‎（1）求证:平面平面；‎ ‎（2）若点在线段上，且，当三棱锥的体积为时，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据计算，利用勾股定理得，再根据矩形性质得，利用线面垂直判定定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得平面 平面.（2）由等体积法得，因此 ，从而问题转化为求，而由平面 平面 ‎，结合面面垂直性质定理可得上高为平面的垂线，最后在三角形求出高及底面面积可得锥的体积，进而可得实数的值. ‎ ‎（2）依题意可得,取中点,所以，且，又由（1)知平面 平面，则平面.‎ 如图，过点作交于点，则平面,‎ 的面积为，‎ ‎.‎ 由得 .‎ ‎18．如图,在四棱锥中，底面是正方形， 底面， ， 分别是的中点.‎ ‎（1）在图中画出过点的平面，使得平面（须说明画法，并给予证明）；‎ ‎（2）若过点的平面平面且截四棱锥所得截面的面积为，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎（2）设，则， ，由（1）知截面面积为梯形的面积，‎ ‎∵面， 是在平面的射影，且，∴，‎ 同理可证： ，所以梯形为直角梯形. ‎ 在中， ，∴，∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎19．在四棱锥中， 平面， ， ， ， ， 为的中点， 为棱上一点．‎ ‎（Ⅰ）当为何值时，有平面；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）∵为的中点，‎ ‎∴点到平面的距离等于点到平面的距离，设点到平面的距离为，‎ 由已知可得， ， ，‎ ‎∴， ，‎ 由，得，‎ ‎∴，‎ 所以点到平面的距离为.‎ ‎20．如图，在所有棱长均为2的三棱柱中， 、分别是BC和的中点.‎ ‎（1）求证： ∥平面；‎ ‎（2）若平面ABC⊥平面， ，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）1 ‎