2019-2020学年四川省南充高级中学高二下学期3月线上月考数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年四川省南充高级中学高二下学期3月线上月考数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省南充高级中学高二下学期3月线上月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设函数 的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则 A．（1,2） B．（1,2] C．（-2,1） D．[-2,1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，由得，‎ 故，选D.‎ ‎【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.‎ ‎2．设为虚数单位，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】计算出，进而计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法运算及模的求法，考查计算能力．‎ ‎3．命题“，使”的否定为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．， ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“ ，使 ‎ ‎”的否定为“，使”，故选A.‎ ‎4． 设，则“”是“” 的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.‎ 详解：求解不等式可得，‎ 求解绝对值不等式可得或，‎ 据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】试题分析：∵椭圆和双曲线有公共焦点，∴，整理得，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=，故选D．‎ ‎【考点】本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程及几何性质．‎ 点评：基础题，先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令二者相等即可求得m和n的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．‎ ‎6．设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选B 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. ‎ ‎7．若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由抛物线的方程，知其准线为，，设，则由抛物线的定义，有，所以，所以，所以，故选B．‎ ‎【考点】抛物线的定义及几何性质．‎ ‎8．已知点在抛物线：上，为坐标原点，点是抛物线准线上一动点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据点在抛物线：上,可求得，可得准线方程，取，则即可得到.‎ ‎【详解】‎ 因为点在抛物线：上，‎ 所以，所以，所以，准线为：‎ 取，则，‎ 当且仅当三点共线时取得等号.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线方程，抛物线的准线方程的应用，考查了抛物线线中的最值，属于中档题.‎ ‎9．方程(x+y-1)=0所表示的曲线是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意得方程，得或，且 ‎，所以方程所表示的曲线为选项D，故选D．‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎10．平面内的一条直线将平面分成部分,两条相交直线将平面分成部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成部分,三条直线最多可以把平面分成部分,四条直线最多可以把平面分成部分,可以发现,两条直线时多了部分,三条直线比原来多了部分,四条直线时比原来多了部分,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 设画 条直线,最多可将面分成个部分,‎ ‎;‎ ‎; ‎ ‎;,‎ ‎; ,‎ ‎;‎ ‎. ‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.‎ ‎11．已知是椭圆上两个不同点，且满足，则的最大值为（ ）‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设,设,O为坐标原点，可得，,可得两点均在圆的圆上，且，为等边三角形，且,可得根据点到直线的距离公式可得的最大值，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：已知是椭圆上两个不同点,‎ 可得，设，‎ 设,O为坐标原点，可得，,‎ 可得，且，‎ 可得两点均在圆的圆上，且，‎ 可得为等边三角形，且,‎ 根据点到直线的距离公式可知：为点两点到直线的距离之和，‎ 设的中点为,到直线的距离，‎ 则,‎ 可得的最大值为；‎ 可得，可得的最大值为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离，综合性大，属于难题.‎ ‎12．己知椭圆的左、右焦点分别为，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，计算，得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设，由知，‎ 由在椭圆上，可知四边形为矩形，；‎ 由，可得，‎ 由椭圆的定义可得，平方相减可得，‎ 所以，而，‎ 即，由可得，‎ 由，可得，所以，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力.‎ 二、填空题 ‎13．若复数为纯虚数（为虚数单位），其中，则____________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由是纯虚数，求出复数，然后再求的模.‎ ‎【详解】‎ 由为纯虚数，‎ 则且 所以，则.‎ 所以 故答案为：3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查纯虚数，复数的模，属于基础题.‎ ‎14．圆在点处的切线方程为，类似地，可以求得椭圆在点处的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】类比得到在点处的切线方程为，代入数据计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 在点处的切线方程为，‎ 类比得到在点处的切线方程为，‎ 故椭圆在点处的切线方程为，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力和计算能力.‎ ‎15．设、为双曲线左、右焦点，过的直线交双曲线左、右两支于点、，连接、，若，且，则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出图形，设，可知是等腰直角三角形，利用双曲线的定义得出与的等量关系，并取线段的中点，可得出，利用勾股定理可求出该双曲线离心率的值.‎ ‎【详解】‎ 设双曲线的焦距为，如下图所示：‎ 取的中点，设，由于，，‎ 所以，为等腰直角三角形，且，‎ 为的中点，所以，，‎ 由双曲线的定义得，，‎ 又，，可得，‎ ‎，，，‎ 在中，由勾股定理得，则有，可得，因此，该双曲线的离心率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线离心率的计算，同时在问题中涉及了双曲线的焦点，一般利用双曲线的定义来求解，并充分分析几何图形的形状，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎16．已知椭圆的方程为：，，‎ 是椭圆上的任意三点(异于椭圆顶点)，若存在锐角，使，(为坐标原点)则直线，的斜率乘积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,结合平面向量坐标运算,可得的坐标表达式,代入椭圆化简即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可设椭圆方程为，‎ 又设，,‎ 所以 因为M点在该椭圆上，则，‎ 即 ,‎ 又因为A､B点在也该椭圆上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即直线OA､OB的斜率乘积为，‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的坐标运算,点与椭圆的位置关系应用,直线斜率公式,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知．‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）分别求；‎ ‎（3）试根据(1)(2)的结果归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.‎ ‎【解析】（1）将代入函数解析式，求得的值.（2）将代入函数解析式，求得的值.（3）猜想，利用函数解析式，求得的值，由此证得猜想成立.‎ ‎【详解】‎ 解：(1) ∵‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎(2).‎ ‎.‎ ‎(3)由(1)(2)猜想一般结论是： .‎ 证明如下： .‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知函数解析式求函数值，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18．在公差为的等差数列中，，，，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，，成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）或. （2）‎ ‎【解析】（1）是自然数集，求出的值，写出通项公式；‎ ‎（2）由，，成等比数列，确定通项公式，代入到中，是用裂项相消的方法求前项和．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，，，且，‎ ‎∴或 当时，；‎ 当时，. ‎ ‎（2）∵，，成等比数列，∴， ‎ ‎∴， ‎ 则，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 等差数列的通项公式为；‎ 当通项公式为时，适合用裂项相消法求前项和．‎ ‎19．在新冠肺炎疫情的影响下，南充高中响应“停课不停教，停课不停学”的号召进行线上教学，高二年级的甲､乙两个班中，需根据某次数学测试成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．‎ ‎（1）求出x，y的值，且分别求甲､乙两个班中5名学生成绩的方差，并根据结 果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？‎ ‎（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．‎ ‎【答案】（1）答案见解析 ．（2）‎ ‎【解析】（1）根据甲平均成绩可计算得x的值，根据乙中位数可得y的值;由方差公式即可求得两个班的方差,并根据平均数和方差的意义,作出选择.‎ ‎（2）根据古典概型概率求法,列举出所有可能,即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）甲班的平均分为，‎ 解得 易知．；‎ 又乙班的平均分为，‎ ‎∴； ‎ ‎∵，，‎ 说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加． ‎ ‎（2）85分及以上甲班有2人，设为 ；乙班有3人，设为， ‎ 从这5人中抽取2人的选法有：，共10种，‎ 其中甲班至少有1名学生的选法有7种，‎ 则甲班至少有1名学生被抽到的概率为 ‎【点睛】‎ 本题考查了茎叶图求的简单应用,方差公式求方差值,古典概型概率的求法应用,属于基础题.‎ ‎20．如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面，且、分别为和的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；(2) 见解析；（3）.‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）证明：如图，连结．‎ ‎∵四边形为矩形且F是的中点．‎ ‎∴也是的中点． ‎ 又E是的中点， ‎ ‎∵EF由面面． ‎ ‎（2）证明：∵面面，面面，‎ ‎．‎ 又面 又是相交直线，面 又面面面．‎ ‎（3）解：取中点为．连结 ‎∵面面及为等腰直角三角形，面，‎ 即为四棱锥的高． ‎ ‎．又．‎ ‎∴四棱锥的体积 ‎21．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，其准线过点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为，求直线l的方程.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】（1）由题意得，抛物线的焦点在轴上，设抛物线C的方程为，由准线过点，可得，从而求解.‎ ‎（2）求出抛物线C的焦点为，分类讨论直线l的斜率不存在时，验证不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，过点P的直线平行直线且与抛物线C相切，设该切线方程为，代入抛物线方程，使判别式等于零，再利用两平行线间的距离公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意得，抛物线的焦点在轴正半轴上，设抛物线C的方程为， ‎ 因为准线过点，所以，即. ‎ 所以抛物线C的方程为.‎ ‎(2)由题意可知，抛物线C的焦点为.‎ 当直线l的斜率不存在时，C上仅有两个点到l的距离为，不合题意；‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，‎ 要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，‎ 过点P的直线平行直线且与抛物线C相切. ‎ 设该切线方程为，‎ 代入，可得.‎ 由，得.‎ 由，整理得，‎ 又，解得，即.‎ 因此，直线l方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，同时考查了两条平行线间的距离，考查了学生的计算能力以及分类讨论的思想，属于中档题.‎ ‎22．已知椭圆（）的离心率为，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可得，，又， ‎ 解得，.‎ 所以，椭圆的方程为 ‎ (2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.‎ 设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.‎ 设，，定点.(依题意 则由韦达定理可得，，. ‎ 直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数. ‎ 所以，，即得. ‎ 又，，‎ 所以，，整理得，.‎ 从而可得，， ‎ 即，‎ 所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.‎