2017-2018学年河北省辛集市第一中学高二上学期第四次月考数学试题

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2017-2018学年河北省辛集市第一中学高二上学期第四次月考数学试题

‎2017-2018学年河北省辛集市第一中学高二上学期第四次月考 ‎ 数学 ‎ 一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分 ‎1.设,,则A∪B=(   )‎ A. {x|﹣1<x<0} B. {x|x≥1} C. {x|x>0} D. {x|x>﹣1}‎ ‎2.已知z∈C,若,则z所对应的点在( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.函数的最小正周期和振幅分别是( )‎ A. ,1 B. ,2 C. ,1 D. ,2‎ ‎4.函数的最小值为( )‎ A. 2 B. ‎3 ‎ C. 2 D. 2.5‎ ‎5.已知实数x,y满足条件,则z=x+y的最小值为( )‎ A.B.‎4 ‎C.2 D.3‎ ‎6.若是方程的根,则所在的区间为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知向量, ,则向量与的夹角为( )‎ A. 135° B. 60° C. 45° D. 30°‎ ‎8.已知m为一条直线,α,β为两个不同的平面,则下列说法正确的是 ( )A.若m∥α,α∥β,则m∥β B. 若m⊥α,α⊥β,则m⊥β C. 若m∥α,α⊥β,则m⊥β D. 若m⊥α,α∥β,则m⊥β ‎9.大衍数列,来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”‎ 的推论.主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两翼数量总和.是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,则此数列第项为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.设f(x)=则等于(  )‎ A. B. C. D. 不存在 ‎ ‎11.如图,在四棱锥C﹣ABOD中,CO⊥平面ABOD,AB∥OD,OB⊥OD,且AB=2OD=12,AD=6,异面直线CD与AB所成角为30°,点O,B,C,D都在同一个球面上,则该球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎12 .设P为直线上的动点,过点P作圆C:的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为( )‎ A.1 B. C. D.‎ 二.填空题(每题5分,共计20分)‎ ‎13.已知,则的值为__ ____.‎ ‎14.已知数列是递增的等比数列,,,则数列的前项和等于____.‎ ‎15. 若直线始终平分圆M:的周长,则的最小值为_________.‎ ‎16.已知, 分别是双曲线的左、右焦点,过与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点,若为锐角,则双曲线离心率的取值范围是_____________‎ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知数列满足且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若数列为等差数列,请求出实数;‎ ‎18.(满分10分)设.‎ ‎(1)求的单调递增区间;‎ ‎(2)锐角中,角的对边分别为,若,,,求 的值.‎ ‎19.(满分12分)如图和均为等腰直角三角形, , ,平面平面, 平面, , ‎ ‎ ‎ ‎(1)证明: ;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎(1)求函数在处的切线方程.‎ ‎(2)若是两个不相等的正数,且,试比较与2的大小,并说明理由.‎ ‎21. 已知椭圆:的左、右焦点分别为点,,其离心率为,短轴长为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)过点的直线与椭圆交于,两点,过点的直线与椭圆交于,两点,且,证明:四边形不可能是菱形.‎ ‎22.(满分12分)已知函数,().‎ ‎(1)若,恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(2)设函数,若在上有两个零点,求实数的取值范围.‎ 参考答案 DAADC CCDBC CD ‎13. 14. 15. 16 16. ‎ ‎17. 已知数列满足且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若数列为等差数列,请求出实数;‎ ‎(3)求数列的通项公式及前项和为.‎ ‎(1)∵,,,.‎ ‎(2)∵为等差数列,‎ ‎∴,[ ]‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎18. (1)由题意知 ‎ ,……………………………………………….3分 由 可得 所以函数 的单调递增区间是…………………6分 ‎(2)由得,又为锐角,所以 ……………8分 由余弦定理得: ,即,.………………….10分 即 ,而,所以………………….12分 ‎19. 解析:(1)证明:设的中点为,连结,‎ 因为为等腰直角三角形, ,‎ 所以,‎ 又 ,‎ 所以平面.………………….2分 因为平面⊥平面,平面平面,‎ 平面, ‎ 所以 ⊥平面 又平面,所以. ‎ 所以可确定唯一确定的平面. .………………….4分 又平面, . .…………………5分 ‎ ‎(2)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则 , , , , ,‎ ‎, . .………………….6分 设平面的法向量,‎ 则,即,令,得,.…………………8分 设平面的法向量,‎ 则,即,令,得,.…………………10分 设二面角平面角为,则,.………………11分 所以二面角的余弦值为. .………………….12分 ‎20.(1)‎ ‎(2)‎ ‎20. 解:(1)由已知,得,,‎ 又,‎ 故解得,‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)由(1),知,如图,‎ 易知直线不能平行于轴.‎ 所以令直线的方程为,‎ ‎,.‎ 联立方程,‎ 得,‎ 所以,.‎ 此时,‎ 同理,令直线的方程为,‎ ‎,,‎ 此时,,‎ 此时.‎ 故.‎ 所以四边形是平行四边形.‎ 若是菱形,则,即,‎ 于是有.‎ 又,‎ ‎,‎ 所以有,‎ 整理得到,‎ 即,上述关于的方程显然没有实数解,‎ 故四边形不可能是菱形.‎ ‎22. (1)由题意,得的定义域为,‎ ‎. ….………………….2分 ‎,∴、随的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 单调递减 极小值 单调递增 ‎ 所以. ….…………………4分 ‎ 在上恒成立,∴.….………………….5分 ‎(2)函数在上有两个零点,等价于方程在上有两个解.‎ 化简,得. ….………………….6分 设. 则, ‎ ‎, 、随的变化情况如下表:‎ ‎1‎ ‎3‎ 单调递增 单调递减 单调递增 ‎….………………….….…………………..………………….….…………………….….…………………8分 且, , ,‎ ‎. ….………………….10分 所以,当时, 在上有两个解.‎ 故实数的取值范围是.….………………….12分
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