数学理·重庆一中2017届高三上学期开学数学试卷（理科） Word版含解析

数学理·重庆一中2017届高三上学期开学数学试卷（理科） Word版含解析

‎2016-2017学年重庆一中高三（上）开学数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1． cosxdx=（　　）‎ A．1 B．0 C．﹣1 D．2‎ ‎2．已知集合M={x|x2﹣3＞0}，N={n|1≤2n≤13且n∈Z}，则N∩M=（　　）‎ A．{2，3} B．{3} C．[0，） D．[2，+∞）‎ ‎3．已知函数f（x）=e|x﹣1|在区间[a，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）‎ A．a≥1 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≥﹣1‎ ‎4．已知f（x）=x3+x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（　　）内．‎ A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）‎ ‎5．若f（x）=1﹣2x，g[f（x）]=2x+x，则g（﹣1）的值为（　　）‎ A．1 B．3 C．﹣ D．6‎ ‎6．△ABC的内角A、B、C所对的边是a、b、c．若b=a•cosC+c•sinA，则内角A=（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎7．下列说法中错误的是（　　）‎ A．“|x|＞1”是“x＞1”的必要不充分条件．‎ B．若命题p：∀x∈R，2x＜3．则￢p：∃x∈R，2x≥3．‎ C．若p∧q为假命题，则p∨q也为假命题．‎ D．命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是真命题 ‎8．某正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的正视图和俯视图如图所示．若它的体积为2，则它的侧视图面积为（　　）‎ A．2 B．3 C．2 D．4‎ ‎9．sin（﹣10°）cos160°﹣sin80°sin=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎10．在区间（0，1）内随机抽取两个数x和y，恰好满足y≥2x的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以线段AB为直径的圆C与直线x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（　　）‎ A．4π B．2π C．π D．π ‎12．已知函数，若对任意三个实数a、b、c，均存在一个以f（a）、f（b）、f（c）为三边之长的三角形，则k的取值范围是（　　）‎ A．﹣2＜k＜4 B． C．﹣2＜k≤1 D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知2a=5b=，则+=　　．‎ ‎14．已知角α的终边落在直线y=﹣2x上，则sin2α=　　．‎ ‎15．△ABC的内角为A、B、C，其中A=，cosC=，BC=．点D是边AC的中点，则中线BD的长为　　．‎ ‎16．定义在R上的函数f（x）满足下列三个条件：‎ ‎（1）f（x﹣2）+f（﹣x）=0； ‎ ‎（2）f（2﹣x）=f（x）； ‎ ‎（3）在（﹣1，1]上的表达式为f（x）=．‎ 已知函数g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，3]内共有　　个解．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知f（x）=（x﹣a）2+4ln（x+1）的图象在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．‎ ‎（1）求实数a的值； ‎ ‎（2）求出f（x）的所有极值．‎ ‎18．我国政府对PM 2.5采用如表标准：‎ PM 2.5日均值m（微克/立方米）‎ 空气质量等级 m＜35‎ 一级 ‎35≤m≤75‎ 二级 m＞75‎ 超标 某市环保局从一年365天的市区PM 2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．‎ ‎（1）用样本数据来估计全年大概有多少天空气质量超标？‎ ‎（2）求样本数据的中位数；‎ ‎（3）从样本数据中任取2天的数据，记ξ为这2天里空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列和期望．‎ ‎19．如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′AA1中，点B、C在线段AA′上，点B1、C1在线段A1A1′上，且有CC1∥BB1∥AA1，AB=3，BC=4．连结对角线AA1′，分别交BB1和CC1于点P和点Q．现将该正方形沿BB1和CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1，连结AQ．‎ ‎（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求证：AP⊥BC；‎ ‎（2）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求直线A1Q与面APQ所成角的正弦值．‎ ‎20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点B恰好是抛物线x2=4y的焦点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）‎ ‎21．已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a∈R），函数g（x）=ln（ex﹣1）﹣lnx．‎ ‎（1）求出f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，⊙O的半径OC垂直于直径AB，M为BO上一点，CM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交AB的延长线于P．‎ ‎（1）求证：PM2=PB•PA；‎ ‎（2）若⊙O的半径为2，OB=OM，求MN的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t∈R）．以直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0．‎ ‎（1）求出直线l的普通方程以及曲线C1的直角坐标方程；‎ ‎（2）点P是曲线C1上到直线l距离最远的点，求出这个最远距离以及点P的直角坐标．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤log2a．‎ ‎（1）当a=8时，求不等式解集．‎ ‎（2）若不等式有解，求a的范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆一中高三（上）开学数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1． cosxdx=（　　）‎ A．1 B．0 C．﹣1 D．2‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】求得cosx的原函数，根据定积分的计算，即可求得cosxdx的值．‎ ‎【解答】解： cosxdx=sinx=sinπ﹣sin=﹣1，‎ 故答案选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合M={x|x2﹣3＞0}，N={n|1≤2n≤13且n∈Z}，则N∩M=（　　）‎ A．{2，3} B．{3} C．[0，） D．[2，+∞）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出N中满足不等式的整数n的值确定出N，找出M与N的交集即可．‎ ‎【解答】解：由M中不等式变形得：x2＞3，‎ 解得：x＜﹣3或x＞3，即M=（﹣∞，﹣）∪（，+∞），‎ 由N中1≤2n≤13，得到n=1，2，3，即N={1，2，3}，‎ 则M∩N={2，3}，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．已知函数f（x）=e|x﹣1|在区间[a，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）‎ A．a≥1 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≥﹣1‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】根据函数f（x）=e|x﹣1|的图象关于直线x=1对称，它的增区间为[1，+∞），再根据函数f（x）在区间[a，+∞）上是增函数，可得a的范围．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=e|x﹣1|的图象关于直线x=1对称，它在区间[1，+∞）上是增函数．‎ 又函数f（x）在区间[a，+∞）上是增函数，则a≥1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．已知f（x）=x3+x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（　　）内．‎ A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）‎ ‎【考点】二分法的定义．‎ ‎【分析】由函数的解析式求得f（1）＜0，f（2）＞0，再根据函数零点的判定定理求得函数零点所在区间 ‎【解答】解：由函数f（x）=x3+x﹣4，可得f（1）=1+1﹣4=﹣2＜0，‎ f（2）=8+2﹣4=6＞0，‎ 再根据函数零点的判定定理可得（1，2），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．若f（x）=1﹣2x，g[f（x）]=2x+x，则g（﹣1）的值为（　　）‎ A．1 B．3 C．﹣ D．6‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】令t=1﹣2x，求出x，代入g（f（x））求出g（t）的表达式，从而求出g（﹣1）的值即可．‎ ‎【解答】解：由题设令t=f（x）=1﹣2x，解得：x=，‎ ‎∴g（t）=+，‎ ‎∴g（﹣1）=2+1=3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．△ABC的内角A、B、C所对的边是a、b、c．若b=a•cosC+c•sinA，则内角A=（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用正弦定理，三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式，化简已知的式子，根据A和范围和特殊角的三角函数值求出A．‎ ‎【解答】解：由题意得，b=a•cosC+c•sinA，‎ 由正弦定理得，sinB=sinA•cosC+sinC•sinA，‎ ‎∵B=π﹣（A+C），‎ ‎∴sinB=sin（A+C），‎ 则sin（A+C）=sinAcosC+sinCsinA，‎ ‎∴sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA，‎ ‎∴cosAsinC=sinCsinA，‎ 又sinC≠0，则cosA=sinA，即tanA=1，‎ ‎∵A∈（0°，180°），‎ ‎∴A=45°，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．下列说法中错误的是（　　）‎ A．“|x|＞1”是“x＞1”的必要不充分条件．‎ B．若命题p：∀x∈R，2x＜3．则￢p：∃x∈R，2x≥3．‎ C．若p∧q为假命题，则p∨q也为假命题．‎ D．命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是真命题 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由|x|＞1，可得x＞1或x＜1，即可判断A；‎ 利用否命题的写法，即可判断B；‎ 若p∧q为假命题，则p，q至少有一假命题，即可判断C；‎ 利用等价命题，即可判断D．‎ ‎【解答】解：∵|x|＞1，∴x＞1或x＜1，故x＞1是x＞1或x＜1成立的充分不必要条件，即“|x|＞1”是“x＞1”的必要不充分条件．故A正确；‎ 若命题p：∀x∈R，2x＜3．则￢p：∃x∈R，2x≥3，正确；‎ 若p∧q为假命题，则p，q至少有一假命题，p∨q为假命题或真命题，不正确；‎ 命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”等价于x=2且y=3，则x+y=5，是真命题，正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．某正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的正视图和俯视图如图所示．若它的体积为2，则它的侧视图面积为（　　）‎ A．2 B．3 C．2 D．4‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】判断左视图的形状，通过三视图数据求解左视图面积．‎ ‎【解答】解：由题意可知体积为2，所以=2，所以a=2‎ 正视图是矩形，底面正三角形的高为左视图的一边，正视图的高也就是棱柱的高为左视图的另一边．‎ 底面正三角形的高为：、正视图的高为：2，所以左视图的面积为： =2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．sin（﹣10°）cos160°﹣sin80°sin=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】应用诱导公式、两角和的正弦公式，求得要求式子的值．‎ ‎【解答】解：sin（﹣10°）cos160°﹣sin80°sin=sin10°cos20°+cos10°sin20°=sin（10°+20°）=sin30°=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．在区间（0，1）内随机抽取两个数x和y，恰好满足y≥2x的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．‎ ‎【解答】解：在区间（0，1）上随机取两个数x，y，满足，对应区域OABC的面积为1，‎ 满足y≥2x，对应区域为△OAD如图，‎ 其中D（，1），则对应的面积的面积S=，‎ ‎∴所求的概率为P=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．在直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以线段AB为直径的圆C与直线x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（　　）‎ A．4π B．2π C．π D．π ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由O向直线x+y﹣4=0做垂线，垂足为D，当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，此时圆的直径为O（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离，由此能求出圆C面积最小值．‎ ‎【解答】解：∵AB为直径，∠AOB=90°，‎ ‎∴O点必在圆C上，‎ 由O向直线x+y﹣4=0做垂线，垂足为D，‎ 则当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，‎ 此时圆的直径为O（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离d==2，‎ ‎∴此时圆的半径r=，‎ ‎∴圆C面积最小值Smin=πr2=2π．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数，若对任意三个实数a、b、c，均存在一个以f（a）、f（b）、f（c）为三边之长的三角形，则k的取值范围是（　　）‎ A．﹣2＜k＜4 B． C．﹣2＜k≤1 D．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】化简f（x）=1+，从而讨论以确定f（x）的取值范围，从而解得．‎ ‎【解答】解：f（x）==1+，‎ 当k=1时，f（x）=1，成立；‎ 当k＜1时，‎ ‎=，‎ ‎∵x2+≥2（当且仅当x=±1时，等号成立）；‎ 故1+≤f（x）≤1，‎ 故只需使2（1+）＞1，‎ 解得，k＞﹣；‎ 当k＞1时，‎ ‎=，‎ ‎∵x2+≥2（当且仅当x=±1时，等号成立）；‎ 故1≤f（x）≤1+，‎ 故只需使2＞+1，‎ 解得，k＜4；‎ 综上所述，﹣＜k＜4，‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知2a=5b=，则+=　2　．‎ ‎【考点】对数的运算性质．‎ ‎【分析】先由指对互化得到，再利用logab•logba=1，得出题目所求．‎ ‎【解答】解：由题意可知，‎ 所以，‎ 所以=，‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎14．已知角α的终边落在直线y=﹣2x上，则sin2α=　﹣　．‎ ‎【考点】二倍角的正弦．‎ ‎【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得sin2α的值．‎ ‎【解答】解：∵角α的终边上一点P落在直线y=﹣2x上，∴tanα=﹣2，‎ ‎∴sin2α==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．△ABC的内角为A、B、C，其中A=，cosC=，BC=．点D是边AC的中点，则中线BD的长为　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用同角三角函数的关系可求sinC，进而利用两角和的正弦公式算出sinB，再正弦定理，即可解DC的长，利用余弦定理即可解得BD的值．‎ ‎【解答】解：设三角形三个内角A，B，C所对的边为a，b，c．‎ ‎∵A=，cosC=，BC=，‎ ‎∴sinC==，‎ 可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，‎ 由正弦定理，得b═==4；‎ 故DC=2．‎ ‎∵在△BDC中，由余弦定理，得BD2=CD2+CB2﹣2CD•BC•cosC=4+10﹣2×2××=2，‎ ‎∴解得：AC边的中线BD的长等于．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．定义在R上的函数f（x）满足下列三个条件：‎ ‎（1）f（x﹣2）+f（﹣x）=0； ‎ ‎（2）f（2﹣x）=f（x）； ‎ ‎（3）在（﹣1，1]上的表达式为f（x）=．‎ 已知函数g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，3]内共有　3　个解．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】由f（x﹣2）+f（﹣x）=0，可得函数关于（1，0）对称； f（2﹣x）=f（x），可得函数的周期为4； 在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由f（x﹣2）+f（﹣x）=0，可得函数关于（1，0）对称；‎ ‎ f（2﹣x）=f（x），可得函数关于直线x=1对称； ‎ 又f（x﹣2）=﹣f（﹣x）=﹣f（x+2），∴f（x+4）=f（x），‎ ‎∴函数f（x）的周期为4．‎ 在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象，如图所示 ‎∴方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，3]内共有3个解．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知f（x）=（x﹣a）2+4ln（x+1）的图象在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．‎ ‎（1）求实数a的值； ‎ ‎（2）求出f（x）的所有极值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求导数，利用f（x）=（x﹣a）2+4ln（x+1）的图象在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，可得f′（1）=2（1﹣a）+2=0，即可求实数a的值； ‎ ‎（2）确定函数的单调性，即可求出f（x）的所有极值．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=（x﹣a）2+4ln（x+1），‎ ‎∴f′（x）=2（x﹣a）+，‎ ‎∵f（x）=（x﹣a）2+4ln（x+1）的图象在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，‎ ‎∴f′（1）=2（1﹣a）+2=0，‎ ‎∴a=2；‎ ‎（2）f′（x）=（x＞﹣1），‎ 令f′（x）＞0，可得函数f（x）在（﹣1，0），（1，+∞）上单调递增，‎ 令f′（x）＜0，可得函数f（x）在（0，1）上单调递减，‎ ‎∴x=0时，函数取得极大值4，x=1时，函数取得极小值f（1）=1+4ln2．‎ ‎　‎ ‎18．我国政府对PM 2.5采用如表标准：‎ PM 2.5日均值m（微克/立方米）‎ 空气质量等级 m＜35‎ 一级 ‎35≤m≤75‎ 二级 m＞75‎ 超标 某市环保局从一年365天的市区PM 2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．‎ ‎（1）用样本数据来估计全年大概有多少天空气质量超标？‎ ‎（2）求样本数据的中位数；‎ ‎（3）从样本数据中任取2天的数据，记ξ为这2天里空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列和期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）由表中数据及茎叶图，全年空气质量超标的大概有：365×0.2=73天，‎ ‎（2）由茎叶图即可求得样本数据的中位数；‎ ‎（3）确定随机变量ξ服从ξ～H（10，4，2），利用P（ξ=k）=，求解概率得出分布列及数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）全年空气质量超标的大概有：365×0.2=73天，‎ ‎（2）10天的中位数为×（38+44）=41（微克/立方米），‎ ‎（3）由ξ服从ξ～H（10，4，2），‎ ‎∴P（ξ=k）=，‎ ξ的分布列为：‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎ P ‎∴数学期望E（ξ）==‎ ‎　‎ ‎19．如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′AA1中，点B、C在线段AA′上，点B1、C1在线段A1A1′上，且有CC1∥BB1∥AA1，AB=3，BC=4．连结对角线AA1′，分别交BB1和CC1于点P和点Q．现将该正方形沿BB1和CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1，连结AQ．‎ ‎（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求证：AP⊥BC；‎ ‎（2）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求直线A1Q与面APQ所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）推导出AB⊥BC，BC⊥BB1，从而BC⊥平面ABB1A1，由此能证明AP⊥BC．‎ ‎（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1Q与面APQ所成角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AB=3，BC=4，∴图（2）中AC=5，‎ 从而有AC2=AB2+BC2，∴AB⊥BC，‎ 又∵BC⊥BB1，∴BC⊥平面ABB1A1，‎ ‎∴AP⊥BC．‎ 解：（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（3，0，0），A1（3，0，12），P（0，0，3），Q（0，4，7），‎ ‎=（﹣3，4，﹣5），=（﹣3，0，3），=（﹣3，4，7），‎ 设平面APQ的法向量为=（x，y，z），‎ 则，‎ 取x=1，得=（1，﹣1，1），‎ 设直线A1Q与面APQ所成角为θ，‎ 则sinθ=|cos＜＞|===．‎ ‎∴直线A1Q与面APQ所成角的正弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点B恰好是抛物线x2=4y的焦点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）抛物线x2=4y的焦点为（0，1），可得c=1．再利用，即可得出．‎ ‎（2）利用三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系可得直线l的斜率为1．设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x2+4bx+2（b2﹣1）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），利用根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆方程为，‎ 抛物线x2=4y的焦点为（0，1），‎ 由，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2）假设存在直线l，使得点F是△BMN的垂心．‎ 易知直线BF的斜率为﹣1，从而直线l的斜率为1．‎ 设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x2+4mx+2（m2﹣1）=0．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则，．‎ 于是=（1﹣x2）x1﹣y2（y1﹣1）‎ ‎=x1+y2﹣x1x2﹣y1y2‎ ‎=x1+x2+m﹣x1x2﹣（x1+m）（x2+m）‎ ‎=﹣2x1x2+（1﹣m）（x1+x2）+m﹣m2‎ ‎=++m﹣m2=0，‎ 解之得m=1或m=﹣．‎ 当m=1时，点B即为直线l与椭圆的交点，不合题意； ‎ ‎ 当m=﹣时，经检验符合题意．‎ ‎∴当且仅当直线l的方程为y=x﹣时，点F是△BMN的垂心．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a∈R），函数g（x）=ln（ex﹣1）﹣lnx．‎ ‎（1）求出f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求导f′（x）=ex﹣a；由导数的正负确定函数的单调性；‎ ‎（2）当x＞0时，ex﹣1＞x，故对∀x＞0，g（x）＞0；构造函数H（x）=xex﹣ex+1（x＞0），则H′（x）=xex＞0；从而由导数确定恒成立问题．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣a，‎ a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，‎ a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞lna，‎ 令f′（x）＜0，解得：x＜lna，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增；‎ ‎（2）令u（x）=ex﹣x﹣1，则u′（x）=ex﹣1＞0在（0，+∞）恒成立，‎ ‎∴u（x）在（0，+∞）递增，u（x）＞u（0）=0，‎ 故当x＞0时，ex﹣1＞x，故对∀x＞0，g（x）＞0；‎ 构造函数H（x）=xex﹣ex+1（x＞0），则H′（x）=xex＞0；‎ 故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 则H（x）＞H（0），‎ 则∀x＞0，xex﹣ex+1＞0成立，‎ 当a≤1时，由（1）知，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（0，lna）上单调递减，‎ 帮当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna，‎ 所以f（g（x））＞f（x），则不满足题意，‎ 所以满足题意的a的取值范围是（﹣∞，1]．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，⊙O的半径OC垂直于直径AB，M为BO上一点，CM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交AB的延长线于P．‎ ‎（1）求证：PM2=PB•PA；‎ ‎（2）若⊙O的半径为2，OB=OM，求MN的长．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】（1）连结ON，运用等腰三角形的性质和圆的切割线定理，即可得到PM2=PB•PA；‎ ‎（2）在Rt△COM中，由勾股定理可得CM，求得BM，AM，根据相交弦定理可得：MN•CM=BM•AM，代入计算即可得到MN的长．‎ ‎【解答】解：（1）证明：连结ON，则ON⊥PN，‎ 且△OCN为等腰三角形，则∠OCN=∠ONC，‎ ‎∵∠PMN=∠OMC=90°﹣∠OCN，∠PNM=90°﹣∠ONC，‎ ‎∴∠PMN=∠PNM，‎ ‎∴PM=PN，‎ 由条件，根据切割线定理，有PN2=PB•PA，‎ 所以PM2=PB•PA，‎ ‎（2）OM=2，半径为2，‎ 在Rt△COM中，．‎ ‎，‎ ‎，‎ 根据相交弦定理可得：MN•CM=BM•AM，‎ 可得MN===2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t∈R）．以直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0．‎ ‎（1）求出直线l的普通方程以及曲线C1的直角坐标方程；‎ ‎（2）点P是曲线C1上到直线l距离最远的点，求出这个最远距离以及点P的直角坐标．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）两式相减消去参数t得出直线的普通方程，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出曲线C1的直角坐标方程；‎ ‎（2）设P（cosθ，sinθ），求出P到直线l的距离d关于θ的函数，利用三角函数的性质得出d的最大值和P点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）直线l的普通方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．‎ 曲线C1的方程为x2+3y2﹣3=0，即+y2=1．‎ ‎（2）设P点坐标为（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π）．‎ 则P到直线l的距离d==，‎ ‎∴当=，即θ=时，d取得最大值=．‎ 此时， cosθ=，sinθ=﹣，∴P点坐标为（，﹣）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤log2a．‎ ‎（1）当a=8时，求不等式解集．‎ ‎（2）若不等式有解，求a的范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）当a=8时，化简不等式通过去绝对值符号，求解不等式得到解集．‎ ‎（2）若不等式有解，转化为函数的最值问题，然后求a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤3…‎ 当时，﹣2x+1+x﹣1≤3，x≥﹣3，即…‎ 当时，2x﹣1+x﹣1≤3，即…‎ 当x≥1时，2x﹣1﹣x+1≤3，即x≤3…‎ ‎∴该不等式解集为{x|﹣3≤x≤3}．…‎ ‎（2）令f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|，有题意可知：…‎ 又∵…‎ ‎∴…‎ 即=，…‎ ‎　‎ ‎2016年12月10日