2017-2018学年江苏省东台市创新学校高二上学期12月月考数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年江苏省东台市创新学校高二上学期12月月考数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018学年江苏省东台市创新学校高二上学期12月月考数学(理科）试卷 ‎（考试时间：120分钟 满分：160分）‎ 命题人：石磊岩 命题时间：2017.11.23‎ 一、 填空题题5分共70分 ‎1．在区间（0，2）中随机抽取一个数，则这个数小于1的概率是　 　．‎ ‎2．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为　 　．‎ ‎3．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞l”的　 　条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”）‎ ‎4． 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为________．‎ ‎5．过椭圆+=1的一个焦点作垂直于长轴的弦，则此弦长为　 　．‎ ‎6．双曲线﹣=1的渐近线方程是　 　．‎ ‎7．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，若抛物线C上点P的横坐标为2，则|PF|=　 　．‎ ‎8．函数f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于　 　．‎ ‎9．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=　 　．‎ ‎10．已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，‎ 则不等式xf′（x）≥0的解集为　 　． ‎ ‎11．在数列{an}中，a1=1，an+1=（n+1）an，通过计算a2，a3，a4，然后猜想an=　 　．‎ ‎12．设数列{an}是等差数列，其中，用类比的思想方法，在等比数列{bn}中，若bm=a，bn=b，写出bm+n=　 　．‎ ‎13．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为　 　．‎ ‎14.已知函数，若对于任意的a∈[﹣1，]，任意的x∈[1，2]都有 f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是　 　．‎ 二、解答题 ‎ 15．(14分)已知数列{an}中，，．计算a2，a3，a4的值，根据计算结果，猜想an的通项公式，并用数学归纳法进行证明 ‎16．(14分)已知函数处都取得极值．‎ ‎（1）求a，b的值； ‎ ‎（2）求f（x）的单调区间．‎ 17． ‎(14分)已知函数f（x）=2x3﹣3x2﹣12x+5．‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程；（2）求函数y=f（x）在[0，3]的最值．‎ ‎18．(16分)如图，已知在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（侧棱垂直底面的棱柱）中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD1=2AD=2AB=2．（1）求证：DB⊥平面B1BCC1；（2）求BC1与平面A1BD所成的角的正弦值．‎ ‎ ‎ A N B O x y M 第19题 ‎19．(16分)已知圆与椭圆相交于点,，且椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求值和椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线另交圆和椭圆分别于两点．‎ ① 若，求直线的方程；‎ ② 设直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 问:是否为定值,如果是,求出定值; 如果不是，请说明理由．‎ 20． ‎(16分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量P（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式为：P=x+a（0＜x≤120）．当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，每小时耗油升．（1）求实数a的值； ‎ ‎（2）已知甲、乙两地相距100千米，汽油的价格是8元/升，司机每小时的工资是16元，当汽车以多大速度行驶时，从甲地到乙地的总费用最少？最少是多少元？．‎ 参考答案 一：填空题 ‎ 2. 95 3. 充分不必要 4. 0.032 5. 3 6. 7. 8. 9.﹣4 ‎ ‎ 10. 11. n!． 12. b•． 13.（﹣∞，﹣2）∪（0，2）． ‎ ‎ 14. （4，+∞）．‎ 二：解答题 ‎15：解：根据已知，，…（4分）‎ 猜测．…（6分）‎ 证明：①当n=1时，由已知，左边=，右边=，猜想成立．…（8分）‎ ‎②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即，…（10分）‎ 那么，，…（12分）‎ 所以，当n=k+1时，猜想也成立．‎ 根据①和②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．…（14分）‎ ‎16：解：（1）由已知可得f'（x）=3x2+2ax+b，…（1分）‎ 由…（4分）‎ 可得；…（7分）‎ ‎（2）由（1）知f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），‎ 由．…（10分）列表如下：‎ x ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 增 极大 减 极小 增 所以函数f（x）的递增区间为与（1，+∞），递减区间为 ‎；…（14分）‎ ‎17：解：（Ⅰ）将x=1代入函数解析式得y=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）‎ 函数f（x）=2x3﹣3x2﹣12x+5．‎ y'=6x2﹣6x﹣12=6（x﹣2）（x+1），所以y'|x=1=﹣12﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ 由直线方程的点斜式得y+8=﹣12（x﹣1）‎ 所以函数在x=1处的切线方程为12x+y﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）‎ ‎（Ⅱ）y'=6x2﹣6x﹣12=6（x﹣2）（x+1）=0，‎ 解得x=2或x=﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）‎ x∈[0，3]‎ 由于f（0）=5，f（2）=﹣15，f（3）=﹣4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎∴ymax=5，ymin=﹣15﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）‎ ‎18：解：（证明：（1）设E是DC的中点，连结BE，则四边形DABE为正方形．‎ ‎∴BE⊥CD，故BD=，BC=，CD=2‎ ‎∴∠DBC=90°即：BD⊥BC ‎∵BD⊥BB1 BB1∩BC=B ‎∴BD⊥平面BCC1B1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ ‎（2）由（1）知∴BD⊥平面BCC1B1‎ BC1⊂平面BCC1B1‎ ‎∴BD⊥BC1‎ 取BD的中点F，连结A1F，A1D=A1B A1F⊥BD 取DC1的中点M，连结FM，‎ 则：FM∥BC1∴FM⊥BD∴BD⊥平面A1FM 过M向平面A1FM作垂线，垂足必落在A1F上，‎ ‎∴∠A1FM为直线BC1与平面A1BD所成的角．‎ 连结A1M，在△A1FM中， FM==‎ 取D1C1的中点H，连结A1H，HM 在Rt△A1HM中，‎ ‎∴=‎ ‎∴直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）‎ ‎19：（1）因为圆与椭圆相交于点 所以 . 又离心率为,所以.‎ 所以椭圆． ‎ ‎（2）因为过点的直线另交圆和椭圆分别于两点，所以设直线的方程 为，‎ 由 得 ，所以，‎ 同理得到， 所以，‎ 因为， 则则 因为，所以，即直线的方程为.‎ ②根据①，，‎ ‎ ，，‎ 所以为定值. ‎ ‎20：解：（Ⅰ）当 x=40时，汽车每小时耗油（升），‎ 依题意得：，解得a=8，所以实数a的值为8．‎ ‎（Ⅱ）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，‎ 设从甲地到乙地的总费用为y=f（x）元，依题意得 f（x）==，‎ 则，‎ 令f′（x）=0，得x=80，易知 当x∈（0，80）时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；‎ 当x∈（80，120）时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．‎ 所以当x=80时，f（x）取到极小值f（80）=120，‎ 因为f（x）在（0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．‎ 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的总费用最少，为120元．‎ ‎ ‎