数学文卷·2017届山东省桓台第二中学高三下学期开学考试（2017

数学文卷·2017届山东省桓台第二中学高三下学期开学考试（2017

高三寒假开学考试试题 文 科 数 学 本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．‎ ‎2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．‎ ‎3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．若为实数，且，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知函数，记 ，则 的大小关系为 A． B． C． D． ‎ ‎4．已知为锐角，且，则 A． B． C． D．‎ ‎5．如图，已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，侧面底面，.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸分别是 A． B． C． D．‎ ‎6．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为 A． B． C． D．‎ ‎7． 设实数满足约束条件，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎8．如图，正方形中，是的中点，若，则 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎9．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知，函数 ，若有两个零点分别为，，则 A．， B．， ‎ C．， D．，‎ 第Ⅱ卷(共100分)‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．右图是一个算法流程图，则输出的的值 ．‎ ‎12．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于点 对称，则的最小值是 ．‎ ‎13．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于个的天数为________．‎ ‎14．已知球的直径，在球面上，， 则棱锥的体积为 ．‎ ‎15．已知圆的方程，‎ 是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．‎ ‎16．（本题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）在中，内角的对边分别为，，‎ 若恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ 甲品牌 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 　‎ ‎ ‎ 乙品牌 ‎17．（本题满分12分）某商场对甲、乙两种品牌的商品进行为期天的营销活动，为调查这天的日销售情况，随机抽取了天的日销售量（单位：件）作为样本，样本数据的茎叶图如图．若日销量不低于件，则称当日为“畅销日”．‎ ‎(Ⅰ)现从甲品牌日销量大于且小于的样本中任取两天，求这两天都是“畅销日”的概率；‎ ‎(Ⅱ)用抽取的样本估计这天的销售情况，请完成这两种品牌天销量的列联表，并判断是否有的把握认为品牌与“畅销日”天数有关．‎ 附：（其中）‎ 畅销日天数 非畅销日天数 合计 甲品牌 乙品牌 合计 ‎18．（本题满分12分）‎ 直棱柱中,底面是直角梯形，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）在上是否存一点，使得与平面和平面都平行？证明你的结论．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 已知椭圆方程为，过右焦点斜率为的直线到原点的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，过点的直线与椭圆相交于两点，当线段的中点落在由四点构成的四边形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围．‎ ‎20．（本题满分13分）‎ 已知二次函数．数列的前项和为，‎ 点在二次函数的图象上．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，‎ 若对恒成立，求实数的取值范围； ‎ ‎（Ⅲ）在数列中是否存在这样一些项：，这些项都能够 构成以为首项，为公比的等比数列？若存在，写出关于的表达式；若不存在，说明理由．‎ ‎21．（本题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若直线是函数的切线，判断是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在说明理由．‎ ‎（Ⅲ）求方程的所有解．‎ 高三寒假开学考试（文科）‎ ‎ 数学试题参考答案及评分说明 ‎ 一、选择题：‎ BACCB DDBCD 二、填空题： ‎ ‎11．；12．；13．；14．；15．．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．‎ ‎16．解：（Ⅰ）函数 ‎ ………3分 ‎ 由可得．‎ ‎，所以函数的单调减区间为…6分 ‎（Ⅱ）（法一）由 ．‎ 可得即．‎ 解得即 …………………………………………………9分 因为所以， ……10分 因为恒成立，即恒成立 所以． ………………………………………12分 ‎（法二）由可得 即，解得即 …………9分 因为所以， ………10分 因为恒成立，则恒成立 即． ………………………………………12分 ‎17．解：(Ⅰ)由题意知，甲品牌日销量大于且小于的样本中畅销日有三天，分别记为，非畅销日有三天，分别记为 . ………………………1分 从中任取2天的所有结果有：‎ ‎，，， ，，，，，，，，，，，，共15个.‎ 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的. ………………………………6分 其中两天都是畅销日的结果有：，，共个.‎ 所以两天都是畅销日的概率. ……………………………7分 ‎(Ⅱ)‎ 畅销日天数 非畅销日天数 合计 甲品牌 乙品牌 合计 ‎…………………………………………9分 ‎ ………………………11分 所以，有的把握认为品牌与“畅销日”天数有关． …………………12分 ‎18．（Ⅰ）证明：直棱柱中，平面，‎ ‎ 所以． ………………2分 又,‎ 所以, ……4分 三角形为直角三角形， ；‎ 又,所以平面．……………………………………6分 ‎（Ⅱ）存在点，为的中点可满足要求． ………………………………7分 由为的中点，有//，且；‎ 又因为//,，所以//，且 ；‎ 所以是平行四边形，//．………………………………………10分 又平面,平面，平面,平面 所以//平面，//平面 ……………………………………12分 ‎19．解:（Ⅰ）设右焦点为,‎ 则过右焦点斜率为的直线方程为： …………………………………1分 则原点到直线的距离 得 …………………3分 所以 ………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）显然直线的斜率存在，所以可设直线的方程为.‎ 设点的坐标分别为 线段的中点为，‎ 由，得 由解得 …(1) ………7分 ‎ 由韦达定理得， ‎ 于是：=， ……………8分 因为，所以点不可能在轴的右边，‎ 又直线方程分别为 所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为 ‎ 即 亦即 …………10分 解得，……………………………(2) ‎ 由（1）（2）知，直线斜率的取值范围是 ……………12分 ‎20．解：（Ⅰ）由题意可知， ‎ 当 时，　………………２分 当 时，适合上式 所以数列的通项公式为．　　…………………3分 ‎（Ⅱ）因为，所以 ‎ ……4分 由（Ⅰ）可知，数列是以为首项，公差为的等差数列．所以 ‎① 当时，‎ ‎ ……………………6分 ‎②当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以， …………………………8分 要使对恒成立，只要使（为正偶数）恒成立，即使对为正偶数恒成立，‎ 故实数的取值范围是．…………………………………………10分 ‎（Ⅲ）由知数列中每一项都不可能是偶数．‎ ‎①如存在以为首项，公比为或的数列，此时中每一项除第一项外都是偶数，‎ 故不存在以为首项，公比为偶数的数列　 ………………………11分 ‎②当时，显然不存在这样的数列；当时，若存在以为首项，公比为的数列，则，，即存在满足条件的数列，且．……………………13分 ‎21．解析：（Ⅰ）函数的导函数为：；…………………………1分 当时，得；‎ 当时，得，故函数在区间上单调递增；‎ 当时，得，故函数在区间上单调递减；‎ 所以函数在处取得极大值．……………………………………3分 ‎（Ⅱ）设函数的切点为，．‎ 显然该点处的切线为：，即为；…4分 可得：，则； ‎ 设函数；………………………………………………5分 其导函数为，显然函数当时，得或，故函数在区间和上单调递增；当时，得，故函数在区间上单调递减；‎ 函数的的极大值为，的极小值为．‎ ‎……………………………………………………………………7分 显然当时，恒成立；‎ 而当时， ，‎ 其中，，得；…………8分 综上所述，函数的的极大值为即为的最大值．…………9分 ‎（Ⅲ）设是方程的解，即；‎ 当时，即，可得或；……………………………11分 当时，设，且．‎ 此时方程，得；‎ 所以两点，都在函数的图象上，且；………12分 因为函数的最大值是1，且，所以，‎ 因为函数在区间上单调递增，两点，的横坐标都在区间上，显然； …………………………………………………13分 这与相矛盾，此种情况无解；……………………………………………14分 综上，方程的解和．‎