2018届二轮复习（文）函数、初等函数的图象与性质学案（全国通用）
【2017年高考考纲解读】
(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型 ；
(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；
(3)幂函数是A级要求，不是热点题型 ，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。
【重点、难点剖析】
1．函数及其图象
(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．
(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．
2．函数的性质
(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；
(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；
(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)的绝对值．
3．求函数最值(值域)常用的方法
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；
(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；
(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；
(4)导数法：适合于可求导数的函数．
4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质
(1)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象和性质，分0
1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；
(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况．
5．函数图象的应用
函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.
【题型示例 】
题型 1、函数的性质及其应用
【例1】 【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= .
【答案】-2
【举一反三】(1)(2015·重庆卷)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )
A．－3,1]
B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为( )
A．－3 B．－1或3
C．1 D．－3或1
(1)【答案】：D
【解析】：要使函数有意义，只需x2＋2x－3>0，即 (x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
(2)【答案】：D
【解析】：f(1)＝lg 1＝0，所以f(a)＝0.当a>0时，则lg a＝0，a＝1；当a≤0时，则a＋3＝0，a＝－3.所以a＝－3或1.
【变式探究】 (1)(2014·江西)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪1，＋∞)资*源%库 ziyuanku.com
(2)(2014·浙江)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
【命题意图】(1)本题主要考查函数的定义域求法以及不等式的解法．通过定义域的求法考查考生的运算求解能力及转化意识．
(2)本题主要考查分段函数和不等式恒成立问题，可结合函数图象进行分析求解．
【答案】(1)C (2)(－∞，]
【方法技巧】
1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的真数x＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y＝tan x中，x≠kπ＋(k∈Z)．如果f(x)是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合．
根据函数求定义域时：(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈a，b]时的值域．
2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域．
题型 2、函数的图象及其应用
【例2】【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为
（A）（B）
（C）（D）
【答案】D 资*源%库 ziyuanku.com
【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．
【举一反三】(1)(2015·四川卷)函数y＝的图象大致是( )
(2)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值范围是( )
A.{3,4} B．{2,3,4}
C．{3,4,5} D．{2,3}
(1)【答案】：C
(2)答案：B
解析：＝表示(x1，f(x1))与原点连线的斜率；
＝＝…＝表示(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))与原点连线的斜率相等，而(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))在曲线图象上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个数有几种情况．
如图所示，数形结合可得，有2,3,4三种情况，故选B.
【变式探究】 (1)若函数f(x)＝(k资*源%库 ziyuanku.com－1)·ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x－k)的图象是( )
(2)(2014·山东)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2，＋∞)
【命题意图】(1)本题主要考查函数的奇偶性，单调性的概念以及指数、对数函数的图象．
(2)本题主要考查方程的根与函数的零点，意在考查考生的数形结合思想、化归与转化思想及运算求解能力．
【答案】(1)C (2)B
【方法技巧】
1．关于判断函数图象的解题思路
(1)确定定义域；
(2)与解析式结合研究单调性、奇偶性；
(3)观察特殊值．
2．关于函数图象应用的解题思路主要有以下两点
(1)方程f(x)＝g(x)解的个数可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)交点的个数；
(2)不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))解集为函数y＝f(x)位于y＝g(x)图象上方(下方)的那部分点的横坐标的取值范围．
题型 3、函数性质的综合应用
例3、 【2016年高考北京理数】设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【答案】，.
【感悟提升】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．
【举一反三】(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
【答案】：1
【解析】：∵ f(x)为偶函数，∴ f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴ －xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，
∴ xln a＝0恒成立，∴ ln a＝0，即a＝1.
【变式探究】(1)(2014·湖南)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)(2014·湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C.Ziyuanku.com D.
【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式、奇偶性和求函数的值，意在考查考生的转化思想和方程思想．求解此题的关键是用“－x”代替“x”，得出f(x)＋g(x)＝－x3＋x2
＋1.
(2)本题主要考查奇函数的性质、分段函数以及函数的最值与恒成立问题，意在考查考生应用数形结合思想，综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．
【答案】(1)C (2)BWWW.ziyuanku.com
由图象可得，当x≤2a2时，f(x)max＝a2，当x>2a2时，令x－3a2＝a2，得x＝4a2，又∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，可知4a2－(－2a2)≤1⇒a∈，故选B.
【方法技巧】
函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来相互转化解决相对综合的问题．主要的解析：奇偶性主要转化方向是f(－x)与f(x)的关系，图象对称问题；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解；周期性主要转化方向是利用f(x)＝f(x＋a)把区间外的函数转化到区间内，并结合单调性、奇偶性解决相关问题．Ziyuanku.com
