2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题 word版
黑龙江省牡丹江市第三高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试
理科数学试卷
考试时间:120分钟 分值:150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为( )
A．10 B．5 C．－1 D．－
3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( )
①平行于同一直线的两条直线平行；
②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；
③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．
A．①②③ B．①③ C．① D．②③
4．函数y＝x3－3x2－9x(－2
2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
12．设函数f′(x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知复数z＝－1，则在复平面内，z所对应的点在第__________ 象限．
14．垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程是________．
15．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为________．
16．若Rt△ABC中两直角边为a，b，斜边c上的高为h，则＝＋，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P－ABC，PO为棱锥的高，记M＝，N＝＋＋，那么M，N的大小关系是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y＝5，求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．
18．(本小题满分12分) 已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，
f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图象经过点(1，－3)且在x＝1处，f(x)取得极值．求：
(1)函数f(x)的解析式；
(2)f(x)的单调递增区间．
20．(本小题满分12分) 如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BA⊥AC，SA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AC⊥SB；
（Ⅱ）若AB＝AC＝SA＝3，E为线段BC的中点，F为线段SB上靠近B的三等分点，求直线SC与平面AEF所成角的正弦值．
21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，
求证：；
求直线AM与平面所成角的正弦值．
22．(本小题满分12分) 已知函数 f(x)=ln(1+x) - ln(1-x),
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2;
(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.
2019-2020学年度第一学期期末试题答案
高二理科数学试卷
考试时间:120分钟 分值:120分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析： ∵z＝＝＝＝－i，
∴复数z对应的点的坐标为，在第四象限．
答案： D
2．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为( )
A．10 B．5
C．－1 D．－
解析： f′(x)＝3x2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，y－10＝7(x－1)，y＝0时，x＝－.
答案： D
3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( )
①平行于同一直线的两条直线平行；
②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；
③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．
A．①②③ B．①③
C．① D．②③
解析： 类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．
答案： A
4．函数y＝x3－3x2－9x(－20；当x>－1时，y′<0.
当x＝－1时，y极大值＝5，x取不到3，无极小值．
答案： C
5．函数y＝4x2＋的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C． D．(1，＋∞)
解析： 令y′＝8x－＝>0，即(2x－1)(4x2＋2x＋1)>0，且x≠0，得x>.
答案： C
6．下列计算错误的是( )
A．sin xdx＝0 B．dx＝
C．cos xdx＝2cos xdx D．sin2xdx＝0
解析： 由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果．
答案： D
7．余弦函数是偶函数，f(x)＝cos(x＋1)是余弦函数，因此f(x)＝cos(x＋1)是偶函数，以上推理(C )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．
8.设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=( A )
A.2+3i B.2-3i C.3+2i D.3-2i
9.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( D )
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
10.在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是 （A ）
A． B．
C． D．
11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析： 设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则m′(x)＝f′(x)－2>0，
∴m(x)在R上是增函数．
∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，
∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，
即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
答案： B
12．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(A)
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－ 1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
解析：记函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，故当x＞0时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)单调递减，且g(－1)＝g(1)＝0.当0＜x＜1时，g(x)＞0，则f(x)＞0；当x＜－1时，g(x)＜0，则f(x)＞0，综上所述，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知复数z＝－1，则在复平面内，z所对应的点在第__________ 象限．
解析： z＝－1＝－1＋i.
答案： 二
14．垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程是________．
解析： 设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x，切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入到y＝x3＋3x2－5，得b＝－3，即P(－1，－3)，y＋3＝－3(x＋1)，3x＋y＋6＝0.
答案： 3x＋y＋6＝0
15．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为________．
解析： 由题意可知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(0)＝0
∴b＝0，
∴f(x)＝x2(x＋a)，有＝[0－(x3＋ax2)]dx＝－＝，∴a＝±3.
又－a>0⇒a<0，得a＝－3.
答案： －3
16．若Rt△ABC中两直角边为a，b，斜边c上的高为h，则＝＋，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P－ABC，PO为棱锥的高，记M＝，N＝＋＋，那么M，N的大小关系是________．
解析： 在Rt△ABC中，c2＝a2＋b2①，由等面积法得ch＝ab，
∴c2·h2＝a2·b2②，①÷②整理得＝＋.
类比得，S＝S＋S＋S③，由等体积法得S△ABC·PO＝PA·PB·PC，
∴S·PO2＝PA2·PB2·PC2④，
③÷④整理得M＝N.
答案： M＝N
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y＝5，求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．
解析： (1)设切点为(x0，y0)，由y＝5，
得y′|x＝x0＝.
∵切线与y＝2x－4平行，
∴＝2，∴x0＝，∴y0＝，
则所求切线方程为y－＝2，即2x－y＋＝0.
(2)∵点P(0,5)不在曲线y＝5上，
故需设切点坐标为M(x1，y1)，则切线斜率为.
又∵切线斜率为，∴＝＝，
∴2x1－2＝x1，得x1＝4.
∴切点为M(4,10)，斜率为，
∴切线方程为y－10＝(x－4)，即5x－4y＋20＝0.
18．(本小题满分12分) 已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．
[解析] ∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2.①
又∵f ′(x)＝2ax＋b，∴f ′(0)＝b＝0②
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx，
取F(x)＝ax3＋bx2＋cx，
则F′(x)＝ax2＋bx＋c，
∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2③
解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图象经过点(1，－3)且在x＝1处，f(x)取得极值．求：
(1)函数f(x)的解析式；(2)f(x)的单调递增区间．
解析： (1)由f(x)＝ax3＋bx＋1的图象过点(1，－3)得a＋b＋1＝－3，
∵f′(x)＝3ax2＋b，
又f′(1)＝3a＋b＝0，
∴由得，
∴f(x)＝2x3－6x＋1.
(2)∵f′(x)＝6x2－6，
∴由f′(x)>0得x>1或x<－1，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．
20．(本小题满分12分) 如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BA⊥AC，SA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AC⊥SB；
（Ⅱ）若AB＝AC＝SA＝3，E为线段BC的中点，F为线段SB上靠近B的三等分点，求直线SC与平面AEF所成角的正弦值．
【解析】（Ⅰ）∵SA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SA⊥AC，
又BA⊥AC，SA∩BA＝A，∴AC⊥平面SAB，
又SB⊂平面SAB，∴AC⊥SB．
（Ⅱ）以AB、AC、AS为x轴y轴z轴建立如图所示坐标系，
则A（0，0，0），S（0，0，3），C（0，3，0），E（，，0），F（2，0，1），
∴＝（，，0），＝（2，0，1），＝（0，﹣3，3），
设＝（x，y，z）为平面AEF的法向量，
，∴，∴，
令x＝﹣1，得一个法向量＝（﹣1，1，2），
cos＜，＞＝＝＝
即直线SC与平面AEF所成角的正弦值为．
21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，
求证：；
求直线AM与平面所成角的正弦值．
【解析】如图，以B为原点，BA、所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则0，，2，，2，，，
，，
，
即，；
轴面，面的法向量取0，，
设直线AM与平面所成角为，
，
直线AM与平面所成角的正弦值为．
22．(本小题满分12分)
已知函数 f(x)=ln(1+x) - ln(1-x),
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2;
(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.
解:(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),
所以f'(x)=,f'(0)=2.
又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.
(2)令g(x)=f(x)-2,
则g'(x)=f'(x)-2(1+x2)=.
因为g'(x)>0(0g(0)=0,x∈(0,1),
即当x∈(0,1)时,f(x)>2.
(3)由(2)知,当k≤2时,f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.
当k>2时,令h(x)=f(x)-k,
则h'(x)=f'(x)-k(1+x2)=.
所以当02时,f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立.
综上可知,k的最大值为2.