数学文卷·2017届四川省泸州市高三第三次教学质量诊断性考试（2017

数学文卷·2017届四川省泸州市高三第三次教学质量诊断性考试（2017

泸州市高2014级第三次教学质量诊断性考试 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数（其中是虚数单位）的虚部为（ ）‎ A．1 B． C． D．-1‎ ‎3.已知等比数列的公比，，则其前3项和的值为（ ）‎ A．24 B．28 C．32 D．16‎ ‎4.已知平面向量，，则的值是（ ）‎ A．1 B．5 C． D．‎ ‎5.某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：‎ 记忆能力 ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 识图能力 ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 由表中数据，求得线性回归方程，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（ ）‎ A．9.2 B．9.8 C．9.8 D．10‎ ‎6.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线的准线交于点，则线段的长为（ ）‎ A．10 B．6 C．8 D．4‎ ‎7.已知函数（）的图象沿轴向左平移个单位后关于轴对称，则函数的一条对称轴是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎9.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩（音gèng，意为道路）厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠目自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果的值为（ ）‎ A．4 B．5 C．2 D．3‎ ‎10.已知中，，，以为焦点的双曲线（）经过点，且与边交于点，若的值为（ ）‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎11.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数与（）的图象有且只有一个公共点，则所在的区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知，则 ．‎ ‎14.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ．‎ ‎15.若函数，（且）的值域是，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.已知数列的前项和（），则数列的通项公式 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知的三个内角的对边分别为，若.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求边上的高.‎ ‎18. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：‎ 测试指标 机床甲 ‎8‎ ‎12‎ ‎40‎ ‎32‎ ‎8‎ 机床乙 ‎7‎ ‎18‎ ‎40‎ ‎29‎ ‎6‎ ‎（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；‎ ‎（2）甲机床生产一件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元；假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的日利润（单位：元）；‎ ‎（3）从甲、乙机床生产的零件指标在内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任选2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率.‎ ‎ 19. 如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段上.‎ ‎（1）当为何值时，平面？证明你的结论；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎20. 设是椭圆（）的左焦点，是上一点，且与轴垂直，若，椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）以椭圆的左顶点为的直角顶点，边与椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ ‎21. 已知函数（其中为自然对数的底数）‎ ‎（1）设过点的直线与曲线相切于点，求的值；‎ ‎（2）函数的的导函数为，若在上恰有两个零点，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线（为参数）经伸缩变换后的曲线为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）是曲线上两点，且，求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，若的最小值为2.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，且均为正实数，且满足，求的最小值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:ACBBC 6-10:DBBAD 11、12:AD 二、填空题 ‎13. 2 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：‎ ‎（1）因为，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以 所以 即，‎ 即，‎ 因为，，所以，‎ 所以或，‎ 故；‎ ‎（2）由及得，，‎ 由余弦定理：得，‎ 解得：，‎ 由得，，‎ 设边上的高为，则，‎ 即，‎ 所以.‎ ‎18.解：‎ ‎（1）因为甲机床为优品的频率为，‎ 乙机床为优品的频率约为，‎ 所以估计甲、乙两机床为优品的概率分别为；‎ ‎（2）甲机床被抽产品每1件的平均数利润为元 所以估计甲机床每生产1件的利润为114.4元 所以甲机床某天生产50件零件的利润为元 ‎（3）由题意知，甲机床应抽取，乙机床应抽取，‎ 记甲机床的2个零件为，乙机床的3个零件为，‎ 若从5件中选取2件分别为共10种取法 满足条件的共有3种，分别为，‎ 所以，这2件都是乙机床生产的概率.‎ ‎19. 解：‎ ‎（1）当时，平面，证明如下：‎ 在梯形中，设，连接，‎ 因为，，‎ 所以，又，‎ 因此，‎ 所以，因为是矩形，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面；‎ ‎（2）连接，过点作于点，‎ 因为平面平面，且交线为，‎ 所以平面，即为点到平面的距离，‎ 因为，，所以 又因为，平面平面，所以平面，‎ 即为点到平面的距离，‎ ‎20.解：‎ ‎（1）因为点，与轴垂直，所以或，‎ 则，‎ 即，‎ 故椭圆的方程为；‎ ‎（2）点，设直线的方程为直线（），‎ 代入椭圆方程消去得：，‎ 设，则，所以，‎ 直线的方程为直线，‎ 同理可得，‎ 所以的面积：‎ 令，因为，则，‎ 在上单增，‎ 所以，所以,‎ 面积的最大值为.‎ ‎21.解：‎ ‎（1）因为函数，所以，‎ 故直线的斜率为，‎ 点的切线的方程为，‎ 因直线过，‎ 所以，‎ 即 解之得，‎ ‎（2）令，‎ 所以，‎ 设，‎ 则，‎ 因为函数在上单增，‎ 若在上恰有两个零点，‎ 则在有一个零点，‎ 所以，‎ ‎∴在上递减，在上递增，‎ 所以在上有最小值，‎ 因为（），‎ 设（），则，‎ 令，得，‎ 当时，，递增，‎ 当时，，递减，‎ 所以，‎ ‎∴恒成立，‎ 若有两个零点，则有，，，‎ 由，，得，‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎22.解： ‎ ‎（1）曲线化为普通方程为：，‎ 又即代入上式可知：‎ 曲线的方程为，即，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）设，（），‎ ‎∴‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以的取值范围是 ‎23.解：‎ ‎（1）①当时，即时，‎ 则当时，，‎ 解得或（舍）；‎ ‎②当时，即时，‎ 则当时，，‎ 解得（舍）或 ‎③当时，即，，‎ 此时，不满足条件，‎ 综上所述，或；‎ ‎（2）由题意知，，‎ ‎∵‎ 当且仅当时取“”，‎ ‎∴，所以的最小值为18‎