专题08+函数与方程（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍
1．已知函数f(x)＝lnx－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【答案】C
2．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( )
A．1 B．2
C． 3 D．4
【解析】(数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．
【答案】B
3．已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则( )
A．a
0，
∴01，故选A.
【答案】A
4．已知函数f(x)＝()x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】函数f(x)＝()x－cosx的零点个数为()x－cosx＝0⇒()x＝cosx的根的个数，即函数h(x)＝()x与g(x)＝cosx的图象的交点个数，如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.
【答案】C
5．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，00，则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为( )
A．2 B．4
C．5 D．8
【答案】B
6．函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内( )
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
【解析】原函数f(x)＝－cosx可理解为幂函数x与余弦函数的差，其中幂函数在区间[0，＋∞)上单调递增、余弦函数的最大值为1，在同一坐标系内构建两个函数的图象，注意到余弦从左到右的第2个最高点是x＝2π，且>1＝cos2π，不难发现交点仅有一个．正确选项为B.
【答案】B
7．已知定义在R上的函数y＝f(x)对于任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x<1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是( )
A.∪(5，＋∞) B.∪[5，＋∞)
C.∪(5,7) D.∪[5,7)
所以a的取值范围是∪(5，＋∞)．
【答案】A
8．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－2的零点依次为a，b，c，则( )
A．a0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
【解析】设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0，故选B.
【答案】B
11．函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】借助余弦函数的图象求解。f(x)＝xcos2x＝0⇒x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在[0,2π]上有，，，，共4个根，故原函数有5个零点。故选D。
【答案】D
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x。则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
【答案】D
13．若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点( )
A．y＝f(－x)ex－1 B．y＝f(x)e－x＋1
C．y＝exf(x)－1 D．y＝exf(x)＋1
【解析】由已知可得f(x0)＝－ex0，e－x0f(－x0)＝1，故－x0一定是y＝exf(x)－1的零点。故选C。
【答案】C
14.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A.16小时 B.20小时
C.24小时 D.28小时
【解析】由已知条件，得192＝eb，
又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2，
∴e11k＝＝＝.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，
则t＝e33k＋b＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×＝24.
【答案】C
15.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0 C. D.0
【答案】D
16.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】当x>0时，f′(x)＝＋>0，则f(x)为(0，＋∞)上的增函数，又f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－＝1－>0，所以函数f(x)＝ln x－的零点x0满足2a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪
(1，＋∞)。
【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)
22．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________。
【解析】设函数f(x)＝x2＋mx－6，则根据条件有f(2)<0，即4＋2m－6<0，解得m<1。
【答案】(－∞，1)
23．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为________．
【解析】当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝0.
得x＝0或x＝1，∵f(x＋2)＝f(x)，
∴y＝f(x)在[0,6)上有6个零点．
又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0.
∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.
【答案】7
24．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.根据零点存在性定理可得f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)(3a－1)<0，解得，∴k>时，函数y＝f(x)－kx在(－∞，0)上有一个零点；当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，f′(x)＝∈(0,1)，要使函数y＝f(x)－kx在(0，＋∞)上有一个零点，则0
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