专题03 不等式与线性规划（命题猜想）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

专题03 不等式与线性规划（命题猜想）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

命题猜想三 不等式与线性规划 ‎【考向解读】 ‎ 不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.‎ ‎【命题热点突破一】不等式的解法 ‎1．一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．‎ ‎2．简单分式不等式的解法 ‎(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；‎ ‎(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.‎ ‎3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．‎ 例1、【2016高考新课标1卷】若,则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．‎ ‎【变式探究】 ‎ ‎(1)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________.‎ ‎(2)已知f(x)是R上的减函数，A(3，－1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1＋lnx)|<1的解集是________________．‎ ‎【答案】(1)　(2)(，e2)‎ ‎【命题热点突破二】基本不等式的应用 ‎1.利用基本不等式求最值的注意点 ‎(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键.‎ ‎(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错.‎ ‎2.结构调整与应用基本不等式 基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有 ‎(1)x＋＝x－a＋＋a (x>a).‎ ‎(2)若＋＝1，则mx＋ny＝(mx＋ny)×1＝(mx＋ny)·≥ma＋nb＋2(字母均为正数).‎ 例2、【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）‎ ‎（A） （B）6 （C）10 （D）17‎ ‎【答案】B ‎【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线 过点B时取最小值6，选B.‎ ‎【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．‎ ‎【变式探究】‎ ‎(1)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________.‎ ‎(2)函数y＝的最大值为________.‎ ‎【答案】(1)　(2) ‎【解析】(1)由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当 x＝y时取等号.‎ ‎(2)令t＝≥0，则x＝t2＋1，‎ 所以y＝＝.‎ 当t＝0，即x＝1时，y＝0；‎ 当t>0，即x>1时，y＝，‎ 因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，‎ 所以y＝≤，‎ 即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).‎ ‎【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.‎ ‎【命题热点突破三】简单的线性规划问题 解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．‎ 例3、【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）‎ A.0 B.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C. ‎ ‎【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．‎ ‎【变式探究】‎ 若x，y满足约束条件则的最大值为________.‎ ‎【答案】3 ‎ ‎【解析】画出可行域如图阴影所示，‎ ‎∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，‎ ‎∴点(x，y)在点A处时最大.‎ 由　得 ‎∴A(1,3).∴的最大值为3.]‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎2.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）‎ ‎（A） （B）6 （C）10 （D）17‎ ‎【答案】B ‎【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.‎ ‎3.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）‎ ‎（A）4 （B）9 （C）10 （D）12‎ ‎【答案】C ‎【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.‎ ‎4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 ‎ 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）‎ A．2 B．4 C．3 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段 ‎，即，而，由得，由得，．故选C．‎ ‎5.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）‎ A.0 B.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C. ‎ ‎6.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )‎ ‎（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D ‎）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.‎ ‎7.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为_____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么 ‎ ①‎ 目标函数.‎ 二元一次不等式组①等价于 ‎ ②‎ 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.‎ 将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.‎ 解方程组,得的坐标.‎ 所以当,时,.‎ 故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.‎ ‎9.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为 ‎1.(2015·重庆卷)“x＞1”是“log (x＋2)＜0”的(　　)‎ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由x＞1x＋2＞3 log (x＋2)＜0，log (x＋2)＜0x＋2＞1x＞－1，故“x＞1”是“log(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.‎ 答案　B ‎2.(2015·北京卷)若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为(　　)‎ A.0 B.1 C. D.2‎ 解析　可行域如图所示.目标函数化为y＝－x＋ z，当直线y＝－x＋ z过点A(0，1)时，z取得最大值2.‎ 答案　D ‎3.(2015·陕西卷)设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f ()，q＝f ，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)‎ A.q＝r＜p B.q＝r＞p C.p＝r＜q D.p＝r＞q 解析　∵0＜a＜b，∴＞，‎ 又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，‎ 故f＞f()，即q＞p.‎ 又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)‎ ‎＝ln a＋ln b＝ln(ab)＝f()＝p.‎ 故p＝r＜q.选C.‎ 答案　C ‎4.(2015·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则的最大值为________.‎ 解析　约束条件的可行域如图，由＝，则最大值为3.‎ 答案　3‎ ‎5.(2015·四川卷)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为(　　)‎ A.16 B.18 C.25 D. 解析　令f′(x)＝(m－2)x＋n－8＝0，∴x＝－，‎ 当m＞2时，对称轴x0＝－，‎ 由题意，－≥2，∴2m＋n≤12，‎ ‎∵≤≤6，‎ ‎∴mn≤18，由2m＋n＝12且2m＝n知m＝3，n＝6，‎ 当m＜2时，抛物线开口向下，‎ 由题意－≤，即2n＋m≤18，‎ ‎∵≤≤9，∴mn≤，‎ 由2n＋m＝18且2n＝m，‎ 得m＝9(舍去)，∴mn最大值为18，选B.‎ 答案　B ‎6.(2015·山东卷)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝(　　)‎ A.3 B.2 C.－2 D.－3‎ 答案　B ‎7.(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由|x－2|＜1得1＜x＜3，由x2＋x－2＞0，得x＜－2或x＞1，而1＜x＜3‎ x＜－2或x＞1，而x＜－2或x＞11＜x＜3，所以，“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分而不必要条件，选A.‎ 答案　A ‎8.(2015·广东卷)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为(　　)‎ A. B.6 C. D.4‎ 解析　不等式组所表示的可行域如下图所示，‎ 由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依题意当目标函数直线l：y＝－x＋经过A时，z取得最小值，即zmin＝3×1＋2×＝，故选C.‎ 答案　C ‎9.(2015·浙江卷)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.‎ ‎ ‎