命题角度1-3 数列的单调性与最值(第01期)-2018年高考数学(文)备考之百强校大题狂练系列

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文档介绍

命题角度1-3 数列的单调性与最值(第01期)-2018年高考数学(文)备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学(文)大题狂练 命题角度3:数列的单调性与最值 ‎1.已知数列满足:.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,为数列的前项和,若对于任意的正整数,恒成立,求及实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)借助题设条件和递推关系式求解;(2)先用裂项相消法求出,再建立不等式求解.‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∵对于任意的正整数,恒成立,又易知是增函数,‎ ‎∴,即.‎ 考点:数列及求和方法等有关知识的综合运用.‎ ‎2.数列、满足:.‎ ‎(1)若的前项和,求、的通项;‎ ‎(2)若,数列是单调递减数列,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)【来.源:全,品…中&高*考*网】‎ ‎【解析】‎ 考点:和项求通项,数列单调性 ‎【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an,常用思路是:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an. 应用关系式an=时,一定要注意分n=1,n≥2两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎3.设数列的前项和为,且首项.‎ ‎(1)求证:是等比数列;‎ ‎(2)若为递增数列,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由,可得,根据等比数列的定义即可证明数列为等比数列;(2)当时,,利用数列为递增数列,即可求的取值范围.‎ 考点:等比数列的定义及等比数列的性质的应用.‎ ‎4.已知各项均不相等的等差数列‎{an}‎的前五项和S‎5‎‎=20‎,且a‎1‎‎,a‎3‎,‎a‎7‎成等比数列.【来.源:全,品…中&高*考*网】‎ ‎(1)求数列‎{an}‎的通项公式; ‎ ‎(2)若Tn为数列‎{‎1‎anan+1‎}‎的前n项和,且存在n∈‎N‎*‎,使得Tn‎-λan+1‎≥0‎成立,求实数λ的取值范围.‎ ‎【答案】(1)an‎=n+1‎;(2)‎(-∞,‎1‎‎16‎]‎.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据题意列出公差d,首项a‎1‎的不等式组,求出a‎1‎,d,根据等差数列的通项公式求解;(2)由(1)可知‎1‎anan+1‎‎=‎1‎‎(n+1)(n+2)‎=‎1‎n+1‎-‎‎1‎n+2‎,求出Tn,若存在n∈N*‎,使得Tn‎-λan+1‎≥0‎成立,只需λ≤n‎2‎‎(n+2)‎‎2‎=‎‎1‎‎2(n+‎4‎n+4)‎,根据均值不等式求得实数λ的取值范围.‎ 试题解析:(1)设数列‎{an}‎的公差为d,则‎{‎‎5a‎1‎+‎5×4‎‎2‎d=20,‎‎(‎a‎1‎‎=a‎1‎(a‎1‎+6d),‎即‎{‎a‎1‎‎+2d=4,‎‎2d‎2‎=a‎1‎d,‎ 又因为d≠0‎,所以‎{‎a‎1‎‎=2,‎d=1,‎ 所以an‎=n+1‎.‎ ‎(2)因为‎1‎anan+1‎‎=‎1‎‎(n+1)(n+2)‎=‎1‎n+1‎-‎‎1‎n+2‎,‎ 所以Tn‎=‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎4‎+…+‎1‎n+1‎-‎1‎n+2‎=‎1‎‎2‎-‎1‎n+2‎=‎n‎2(n+2)‎.‎ 因为存在n∈N*‎,使得Tn‎-λan+1‎≥0‎成立,‎ 所以存在n∈N*‎,使得n‎2(n+2)‎‎-λ(n+2)≥0‎成立,‎ 即存在nN*‎,使λ≤‎n‎2‎‎(n+2)‎‎2‎成立.‎ 又n‎2‎‎(n+2)‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2(n+‎4‎n+4)‎,【来.源:全,品…中&高*考*网】‎ ‎1‎‎2(n+‎4‎n+4)‎‎≤‎‎1‎‎16‎‎(当且仅当n=2‎时取等号),所以λ≤‎‎1‎‎16‎,即实数λ的取值范围是‎(-∞,‎1‎‎16‎]‎.‎ 考点:等差数列的通项公式与裂项法求和.‎ ‎5.在等差数列an和等比数列bn中,a‎1‎‎=1,b‎1‎=2,bn>0‎n∈‎N‎*‎,且b‎1‎‎,a‎2‎,‎b‎2‎成等差数列,a‎2‎‎,b‎2‎,a‎3‎+2‎成等比数列.‎ ‎(1)求数列an,bn的通项公式;‎ ‎(2)设cn‎=3bn-2‎,数列cn的前n项和为Sn,若‎1‎‎3‎Sn‎+2n+6‎‎>an+t‎2‎+2t对所有正整数n恒成立,求常数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)an‎=3n-2,bn=2⋅‎‎3‎n-1‎;(2)的取值范围是‎-3,1‎‎.‎.‎ ‎(2)‎cn‎=3bn-2=2⋅‎3‎n-2,∴Sn=c‎1‎+c‎2‎+⋯+cn=2‎3‎‎1‎‎+‎3‎‎2‎+⋯+‎‎3‎n-2n=‎3‎n+1‎-2n-3,‎ ‎∴‎1‎‎3‎Sn‎+2n+6‎>an+t‎2‎+2t即‎3‎n‎+1>3n-2+t‎2‎+2t恒成立,即t‎2‎‎+2t<‎3‎n‎-3n+3‎min.‎【来.源:全,品…中&高*考*网】‎ 令fn=‎3‎n-3n+3‎,则fn+1‎-fn=2⋅‎3‎n-3>0‎,所以fn单调递增,‎ 故t‎2‎‎+2t
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