河北省衡水中学2016届高三（上）六调数学试卷（文科）（解析版）

河北省衡水中学2016届高三（上）六调数学试卷（文科）（解析版）

‎2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合CUA∩B=（　　）‎ A．{x|﹣1≤x≤4} B．{x|2＜x≤3} C．{x|2≤x＜3} D．{x|﹣1＜x＜4}‎ ‎2．若复数z=1﹣i，i为虚数单位，则=（　　）‎ A．﹣i B．i C．﹣1 D．1‎ ‎3．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（　　）‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎4．下列四个命题中真命题的个数是（　　）‎ ‎①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 ‎②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”‎ ‎③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．已知z=2x+y，其中实数x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（　　）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎6．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知双曲线的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，Sm﹣1=45，Sm=93，则Sm+1=189，则m=（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎10．已知函数f（x）=，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（　　）‎ A．[0，1） B．[1，4] C．[1，6] D．[0，1]∪[3，8]‎ ‎11．已知F1，F2是椭圆C： +=1的左右焦点，点P在椭圆上，且到左焦点F1的距离为6，过F1做∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．关于曲线C：，给出下列四个命题：‎ A．曲线C关于原点对称 B．曲线C有且只有两条对称轴 C．曲线C的周长l满足 D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为 上述命题中，真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为　　．‎ ‎14．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=　　．‎ ‎15．已知直线x+y+1=0与曲线C：y=x3﹣3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为　　．‎ ‎16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．等比数列{an}的前n项和为S„，已知S1，S3，S2，成等差数列．‎ ‎（1）求{an}的公比q；‎ ‎（2）等差数列{bn}中，b5=9，公差d=4q，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．‎ ‎18．山东省第二十三届运动会将于2014年9月16日在济宁市开幕，为办好省运会，济宁市计划招募各类志愿者1.2万人．为做好宣传工作，招募小组对济宁市15﹣40岁的人群随机抽取了100人，回答“省运会”的有关知识，根据统计结果制作了如下的统计图及表：‎ 组号 按年龄分组 回答完全正确人数 回答完全正确人数占本组频率 ‎1‎ ‎[15，20）‎ ‎5‎ ‎0.5‎ ‎2‎ ‎[20，25）‎ a ‎0.9‎ ‎3‎ ‎[25，30）‎ ‎27‎ x ‎4‎ ‎[30，35）‎ ‎9‎ ‎0.36‎ ‎5‎ ‎[35，40）‎ ‎3‎ ‎0.2‎ ‎（Ⅰ）分别求出表2中的a、x的值；‎ ‎（Ⅱ）若在第2、3、4组回答完全正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅲ）在（II）的前提下，招募小组决定在所抽取的6人中，随机抽取2人颁发幸运奖，求获奖的2人均来自第3组的概率．‎ ‎19．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE⊥BE；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥D﹣AEC的体积．‎ ‎20．已知直线2x﹣2y﹣1=0与抛物线C：x2=2py（p＞0）相切．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）过点M（0，1）作直线l与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线分别为l1，l2，直线l1，l2交于点P，求点P的轨迹方程．‎ ‎21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）•lnx+ax2+2‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2；‎ ‎（i）若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值；‎ ‎（ii）在（i）的条件下，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲 ‎22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；‎ ‎（Ⅱ）求BC的长．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4‎ ‎（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；‎ ‎（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．‎ ‎（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，求实数m的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合CUA∩B=（　　）‎ A．{x|﹣1≤x≤4} B．{x|2＜x≤3} C．{x|2≤x＜3} D．{x|﹣1＜x＜4}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】分析可得，A、B都是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得A、B，进而可得CUA，对其求交集可得答案．‎ ‎【解答】解：由不等式的解法，‎ 容易解得A={x|x＞3或x＜﹣1}，B={x|2＜x＜4}．‎ 则CUA={x|﹣1≤x≤3}，‎ 于是（CUA）∩B={x|2＜x≤3}，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．若复数z=1﹣i，i为虚数单位，则=（　　）‎ A．﹣i B．i C．﹣1 D．1‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．‎ ‎【解答】解： =====i，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（　　）‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．‎ ‎【解答】解：由y=2cos2（x﹣）﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，‎ ‎∴T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x﹣）﹣1是奇函数．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．下列四个命题中真命题的个数是（　　）‎ ‎①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 ‎②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”‎ ‎③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①利用充分、必要条件的概念验证即可．‎ ‎②利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．‎ ‎③对命题p，q的真假分别进行判断即可．‎ ‎【解答】解：对于①：当x=1成立时有12﹣3×1+2=0即x2﹣3x+2=0成立，当x2﹣3x+2=0成立时有x=1或x=2不一定有x=1成立．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故①正确．‎ 对于②：命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”故②正确．‎ 对于③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，正确，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0错误，‎ 因为x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，p∨q为真，故③正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．已知z=2x+y，其中实数x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（　　）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=2x+y得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，‎ 此时z最大，‎ 由，解得：，‎ 即A（1，1），此时z=2×1+1=3，‎ 当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，‎ 此时z最小，‎ 由，解得：，‎ 即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，‎ ‎∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，‎ ‎∴3=4×3a，即a=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数k，，0≤k≤1，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到，从而得到．代入t，进行配方即可求出t的最小值．‎ ‎【解答】解：如图，‎ E在线段AD上，所以存在实数k使得；‎ ‎；‎ ‎∴==；‎ ‎∴；‎ ‎∴=；‎ ‎∴时，t取最小值．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知双曲线的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，设A（m，），B（n，﹣），由可得方程，解之可得m=，n=，可得B（，），由FB⊥OB可得，斜率之积等于﹣1，进而可得ab的关系式，结合双曲线abc的关系，可得离心率．‎ ‎【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，‎ 设A（m，），B（n，﹣），∵，∴（c﹣m，﹣）=4（n﹣c，﹣），‎ ‎∴c﹣m=4（n﹣c），﹣=﹣4，解之可得m=，n=，‎ ‎∴B（，），由FB⊥OB可得，斜率之积等于﹣1，‎ 即•=﹣1，化简可得5b2=3a2，即5（c2﹣a2）=3a2，‎ 解之可得5c2=8a2，即e==‎ 故选D ‎　‎ ‎8．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】根据长方体相对的平面上的两条对角线平行，得到两条异面直线所成的角，这个角在一个可以求出三边的三角形中，利用余弦定理得到结果．‎ ‎【解答】解：连接BC1，A1C1，‎ 则BC1∥AD1，‎ ‎∴∠A1BC1是两条异面直线所成的角，‎ 在直角△A1AB中，由AA1=2AB得到：A1B=AB．‎ 在直角△BCC1中，CC1=AA1，BC=AB，则C1B=AB．‎ 在直角△A1B1C1中A1C1=AB，‎ 则cos∠A1BC1==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，Sm﹣1=45，Sm=93，则Sm+1=189，则m=（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意得===2，再由Sm==93解得a1=3，从而求m．‎ ‎【解答】解：∵===2，‎ ‎∴Sm===93，‎ 故a1=3，‎ 故am=3•2m﹣1=48，‎ 解得，m=5，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（　　）‎ A．[0，1） B．[1，4] C．[1，6] D．[0，1]∪[3，8]‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】根据已知将x1•f（x2）转化为x1f（x1），再根据函数y=xf（x）的性质求解．‎ ‎【解答】解：当0≤x1＜4≤x2≤6时，因为f（x1）=f（x2），由f（x1）=f（x2）=1或f（x1）=f（x2）=2，得到x1的取值范围是[1，3]，‎ 所以x1•f（x2）=x1•f（x1）=x1（1﹣|x1|﹣2）=，即x1f（x2）的范围是[1，4]．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．已知F1，F2是椭圆C： +=1的左右焦点，点P在椭圆上，且到左焦点F1的距离为6，过F1做∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】延长F1M和PF2交于N，求得椭圆的a=5，运用椭圆的定义和等腰三角形的三线合一，以及三角形的中位线定理，即可得到所求|OM|的值．‎ ‎【解答】解：延长F1M和PF2交于N，‎ 椭圆C： +=1的a=5，‎ 由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10，‎ 由|PF1|=6，可得|PF2|=4，‎ 由等腰三角形的三线合一，可得 ‎|PF1|=|PN|=6，‎ 可得|NF2|=6﹣4=2，‎ 由OM为△F1F2N的中位线，‎ 可得|OM|=|F2N|=×2=1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．关于曲线C：，给出下列四个命题：‎ A．曲线C关于原点对称 B．曲线C有且只有两条对称轴 C．曲线C的周长l满足 D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为 上述命题中，真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可．‎ ‎【解答】解：把曲线C中的（x，y ）同时换成（﹣x，﹣y ），方程不变，∴曲线C关于原点对称，即A正确；‎ 曲线方程为，交换x，y的位置后曲线方程不变，∴曲线C关于直线y=x对称，同理，y=﹣x，x，y轴是曲线的对称轴，即B不正确；‎ 在第一象限内，因为点（，）在曲线上，由图象可知曲线在直线y=﹣x+1的下方，且为凹函数如图：‎ 由以上分析可知曲线C的周长l满足，正确．‎ 曲线C上的点到原点的距离的最小值为（，）到原点的距离，为，即D正确．‎ 真命题有3个，故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为　18　．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】由题意确定老年职工的人数，再由青年职工确定抽样比，因为分层抽样，各层抽取比例一样，故可计算出样本中的老年职工人数．‎ ‎【解答】解：青年职工160人，在抽取的样本中有青年职工32人，故抽取比例为，‎ 老、中年职工共430﹣160=270人，又中年职工人数是老年职工人数的2倍，故老年职工有90人，‎ 所以该样本中的老年职工人数为90×=18‎ 故答案为：18‎ ‎　‎ ‎14．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，进而根据，可知M为A、B的中点，‎ 可得p的关系式，解方程即可求得p．‎ ‎【解答】解：设直线AB：，代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，‎ 又∵，即M为A、B的中点，‎ ‎∴xB+（﹣）=2，即xB=2+，‎ 得p2+4P﹣12=0，‎ 解得p=2，p=﹣6（舍去）‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎15．已知直线x+y+1=0与曲线C：y=x3﹣3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为　1　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出原函数的导函数，设出A，B点的坐标，得到函数在A，B点处的导数值，由A，B点处的导数值相等得到==m，把x1，x2看作方程3x2﹣6px﹣m=0的两个根，利用根与系数关系得到x1+x2=2p，进一步得到AB的中点坐标，然后再证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值．‎ ‎【解答】解：由y=x3﹣3px2，得y′=3x2﹣6px，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为，‎ ‎∵曲线C在A，B处的切线平行，‎ ‎∴=，‎ 令==m，‎ ‎∴x1，x2是方程3x2﹣6px﹣m=0的两个根，‎ 则x1+x2=2p，‎ 下面证线段AB的中点在曲线C上，‎ ‎∵=‎ ‎=，‎ 而=﹣2p3，‎ ‎∴线段AB的中点在曲线C上，‎ 由x1+x2=2p，知线段的中点为（p，﹣p﹣1），‎ ‎∴﹣p﹣1=p3﹣3p•p2=﹣2p3，解得p=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为　﹣2　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．‎ 以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，‎ 该正四面体的高为=r，‎ 设正四面体的外接球半径为x，则x2=（r﹣x）2+（r）2，‎ ‎∴x=r，‎ ‎∴1=r+r，‎ ‎∴r==﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．等比数列{an}的前n项和为S„，已知S1，S3，S2，成等差数列．‎ ‎（1）求{an}的公比q；‎ ‎（2）等差数列{bn}中，b5=9，公差d=4q，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）由S1，S3，S2，成等差数列，可得S1+S2=2S3，化为：2a3=﹣a2，可得q=．‎ ‎（2）d=4q=﹣2，b5=9，解得b1．利用等差数列的求和公式可得Tn，再利用二次函数的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵S1，S3，S2，成等差数列，∴S1+S2=2S3，‎ ‎∴2a1+a2=2（a1+a2+a3），化为：2a3=﹣a2，‎ ‎∴q==．‎ ‎（2）d=4q=﹣2，‎ ‎∴b1﹣2×4=9，解得b1=17．‎ ‎∴Tn=17n+=﹣n2+18n=﹣（n﹣9）2+81，‎ 当n=9时，Tn取得最大值81．‎ ‎　‎ ‎18．山东省第二十三届运动会将于2014年9月16日在济宁市开幕，为办好省运会，济宁市计划招募各类志愿者1.2万人．为做好宣传工作，招募小组对济宁市15﹣40岁的人群随机抽取了100人，回答“省运会”的有关知识，根据统计结果制作了如下的统计图及表：‎ 组号 按年龄分组 回答完全正确人数 回答完全正确人数占本组频率 ‎1‎ ‎[15，20）‎ ‎5‎ ‎0.5‎ ‎2‎ ‎[20，25）‎ a ‎0.9‎ ‎3‎ ‎[25，30）‎ ‎27‎ x ‎4‎ ‎[30，35）‎ ‎9‎ ‎0.36‎ ‎5‎ ‎[35，40）‎ ‎3‎ ‎0.2‎ ‎（Ⅰ）分别求出表2中的a、x的值；‎ ‎（Ⅱ）若在第2、3、4组回答完全正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅲ）在（II）的前提下，招募小组决定在所抽取的6人中，随机抽取2人颁发幸运奖，求获奖的2人均来自第3组的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过频率分布直方图可求出第2，3组人数频率，从而确定其人数，然后即可求出表2中的a、x的值；‎ ‎（Ⅱ）根据分层抽样的性质直接计算即可；‎ ‎（Ⅲ）列举抽取2人所有基本事件，找出的基本事件，利用古典概型计算即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由频率直方图可知，第2，3组总人数分别为：20人，30人．‎ ‎∴a=0.9×20=18（人）．x==0.9．‎ ‎（Ⅱ）在第2，3，4组回答完全正确的人共有54人，用分层抽样的方法抽取6人，‎ 则各组分别抽取：‎ 第2组： =2人；‎ 第3组： =3人；‎ 第4组： =1人．‎ ‎∴应在第2，3，4组分别抽取2人，3人，1人．‎ ‎（Ⅲ）分别记第2组的2人为A1，A2，第3组的3人为B1，B2，B3，第4组的1人为C．‎ 则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：‎ ‎（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），‎ ‎（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），‎ ‎（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），‎ ‎（B2，B3），（B2，C），（B3，C）‎ 共15种情况．‎ 获奖2人均来自第3组的有：（B1，B2），（B1，B3）（B2，B3）共3种情况．‎ 故获奖2人均来自第3组的概率为=．‎ ‎　‎ ‎19．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE⊥BE；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥D﹣AEC的体积．‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意证明BC⊥平面ABE，得AE⊥BC，再结合条件证明AE⊥平面BCE，再证出AE⊥BE；‎ ‎（Ⅱ）利用题意得到平面ACD⊥平面ABE，作出交线的垂线，利用换低求三棱锥体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：由题意知，AD⊥平面ABE，且AD∥BC ‎∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE ‎∴AE⊥BC，‎ ‎∵BF⊥平面ACE，且AE⊂平面ABE ‎∴BF⊥AE，又BC∩BF=B，‎ ‎∴AE⊥平面BCE，‎ 又∵BE⊂平面BCE，‎ ‎∴AE⊥BE．‎ ‎（Ⅱ）在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H，‎ ‎∵AD⊥平面ABE，且AD⊂平面ACD，‎ ‎∴平面ACD⊥平面ABE，∴EH⊥平面ACD．‎ 由已知及（Ⅰ）得EH=AB=，S△ADC=2．‎ 故VD﹣ABC=VE﹣ADC=×2×=．‎ ‎　‎ ‎20．已知直线2x﹣2y﹣1=0与抛物线C：x2=2py（p＞0）相切．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）过点M（0，1）作直线l与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线分别为l1，l2，直线l1，l2交于点P，求点P的轨迹方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）抛物线C：x2=2py的方程可可化为：y=x2，则y′=，根据切线斜率为1，求出切点坐标为（p，p﹣），代入抛物线方程可得p的值；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=kx+1，联立抛物线方程可得x1+x2=2k，x1•x2=﹣2，求出两条切线的方程，进而求出交点P的坐标，进而可得点P的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py的方程可可化为：y=x2，‎ 则y′=，‎ ‎∵直线2x﹣2y﹣1=0与抛物线C：x2=2py（p＞0）相切，直线2x﹣2y﹣1=0的斜率为1，‎ 故切点坐标为（p，p﹣），‎ 代入抛物线C：x2=2py得：p2=2p2﹣p，‎ 解得：p=1； ‎ ‎（2）显然直线l的斜率存在，‎ 故可设直线l的方程为y=kx+1，‎ 由，得x2﹣2kx﹣2=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴x1+x2=2k，x1•x2=﹣2．‎ ‎∵抛物线C的方程为y=x2，‎ 求导得y′=x，‎ ‎∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是y﹣x12=x1（x﹣x1），y﹣x22=x2（x﹣x2），‎ 即 y=x1x﹣x12，y=x2x﹣x22，‎ 解得两条切线l1、l2的交点P的坐标为（， x1x2），‎ 即P（k，﹣1），‎ 故点P的轨迹方程为直线p=﹣1．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）•lnx+ax2+2‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2；‎ ‎（i）若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值；‎ ‎（ii）在（i）的条件下，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）（i）令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求a的值；‎ ‎（ii）若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，即可求m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞）‎ ‎∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．‎ ‎∴f′（1）=﹣3，‎ 又f（1）=1，‎ ‎∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0‎ 则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=‎ 令h（x）=，‎ 则h′（x）=‎ 令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=‎ ‎∵x＞0，∴t′（x）＜0，‎ ‎∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，‎ 又∵t（1）=h′（1）=0，‎ ‎∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，‎ ‎∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴h（x）max=h（1）=1，‎ ‎∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，‎ ‎（ⅱ）当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，‎ 若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，‎ ‎∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），‎ 令g′（x）=0得x=1或x=‎ 又∵e﹣2＜x＜e，‎ ‎∴函数g（x）在（e﹣2， ）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增 又g（）=﹣e﹣3+2，g（e）=2e2﹣3e ‎∵g（）=﹣e﹣3+2＜2＜2e＜2e（e﹣）=g（e），‎ ‎∴g（）＜g（e），‎ ‎∴m≥2e2﹣3e ‎　‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲 ‎22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；‎ ‎（Ⅱ）求BC的长．‎ ‎【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，‎ 因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，‎ 又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，‎ 所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，‎ 连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，‎ 所以，所以BC=2．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4‎ ‎（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；‎ ‎（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）把C1消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程，再化为极参数方程．‎ ‎（2）先求得直线l的直角坐标方程，设点P（cosθ，2sinθ），求得点P到直线的距离为d=，故当sin（θ+）=1时，即θ=2kπ+，k∈z时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得P的坐标以及此最小值 ‎【解答】解：（1）把C1：（θ为参数），消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，‎ 故曲线C1：的极坐标方程为ρ=1．‎ 再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为+=1，即 +=1．‎ 故曲线C2的极参数方程为 （θ为参数）．‎ ‎（2）直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4，即 x+y﹣4=0，设点P（cosθ，2sinθ），‎ 则点P到直线的距离为d==，‎ 故当sin（θ+）=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+，k∈z，点P（1，），‎ 故曲线C2上有一点P（1，）满足到直线l的距离的最小值为﹣．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．‎ ‎（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，求实数m的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，建立方程组，即可求实数m的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，求出左边的最小值，即可求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为g（x）=﹣|x+3|+m≥0，‎ 所以|x+3|≤m，所以﹣m﹣3≤x≤m﹣3，‎ 由题意，所以m=2； …‎ ‎（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，‎ 因为|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，当且仅当（x﹣2）（x+3）≤0时取等，‎ 所以m＜5．…．‎ ‎　‎ ‎2016年11月8日