2020年高中数学 模块综合检测 北师大版必修5

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2020年高中数学 模块综合检测 北师大版必修5

模块综合检测 ‎(时间:120分钟,满分:150分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.数列1,3,7,15,…的通项公式an可能是(  )‎ A.2n           B.2n+1‎ C.2n-1 D.2n-1‎ 解析:选C.取n=1时,a1=1,排除A、B,取n=2时,a2=3,排除D.‎ ‎2.若a<1,b>1,那么下列不等式中正确的是(  )‎ A.> B.>1‎ C.a2<b2 D.ab<a+b 解析:选D.利用特值法,令a=-2,b=2,则<,A错;<0,B错;a2=b2,C错.‎ ‎3.若f(x)=-x2+mx-1的函数值有正值,则m的取值范围是(  )‎ A.m<-2或m>2 B.-20,所以m>2或m<-2.‎ ‎4.等差数列{an}满足a+a+‎2a4a7=9,则其前10项之和为(  )‎ A.-9 B.-15‎ C.15 D.±15‎ 解析:选D.因为a+a+‎2a4a7=(a4+a7)2=9,‎ 所以a4+a7=±3,所以a1+a10=±3,‎ 所以S10==±15.‎ ‎5.若loga50的解集为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A.由loga50⇔(x-a)<0,‎ 8‎ 解得a5×2=10,即大于‎10 g.‎ ‎9.已知钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=(  )‎ A.5 B. ‎ C.2 D.1‎ 8‎ 解析:选B.因为S=AB·BCsin B=×1×sin B=,所以sin B=,所以B=或.‎ 当B=时,根据余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2+2=5,所以AC=,此时△ABC为钝角三角形,符合题意;‎ 当B=时,根据余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2=1,所以AC=1,此时AB2+AC2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意.故AC=.‎ ‎10.某企业在今年年初贷款a万元,年利率为γ,从今年年末开始每年偿还一定金额,预计五年内还清,则每年应偿还(  )‎ A.万元 B.万元 C.万元 D.万元 解析:选B.设每年偿还x万元,则:x+x(1+γ)+x(1+γ)2+x(1+γ)3+x(1+γ)4=a(1+γ)5,所以x=.‎ ‎11.若x,y满足条件当且仅当x=y=3时,z=ax+y取得最大值,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B.∪ C. D.∪ 解析:选C.直线3x-5y+6=0和直线2x+3y-15=0的斜率分别为k1=,k2=-,且两直线的交点坐标为(3,3),作出可行域如图所示,当且仅当直线z=ax+y经过点(3,3)时,z取得最大值,则直线z=ax+y的斜率-a满足-<-a<,解得-0.‎ 解:(1)因为方程ax2+bx+2=0的两根为-和2.‎ 由根与系数的关系,得 解得a=-2,b=3.‎ ‎(2)易知ax2+bx-1>0,即2x2-3x+1<0,解得0的解集为 8‎ .‎ ‎18.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.‎ ‎(1)求tan C的值;‎ ‎(2)若a=,求△ABC的面积.‎ 解:(1)因为A=,所以B+C=,故sin=3sin C,所以cos C+sin C=3sin C,‎ 即cos C=sin C,得tan C=.‎ ‎(2)由=,sin B=3sin C,得b=‎3c.‎ 在△ABC中,由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=‎9c2+c2-2×(‎3c)×c×=‎7c2,又因为a=,所以c=1,b=3,‎ 所以△ABC的面积为S=bcsin A=.‎ ‎19.(本小题满分12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜.生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时,耗肥4吨,3个工时;生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时,耗肥5吨,10个工时,现该基地仅有电力360千瓦时,肥200吨,工时300个.已知生产一吨甲种蔬菜获利700元,生产一吨乙种蔬菜获利1 200元,在上述电力、肥、工时的限制下,问如何安排甲、乙两种蔬菜种植,才能使利润最大?最大利润是多少?‎ 解:设种植甲种蔬菜x吨,乙种蔬菜y吨,利润为z元,根据题意可得 目标函数为:z=700x+1 200y,‎ 作出二元一次不等式组表示的平面区域,即可行域,如图,作直线:700x+1 200y=0,即7x+12y=0,平移直线,当直线过A点时目标函数取最大值.‎ 8‎ 解方程组 得x=20,y=24.‎ 所以点A的坐标为(20,24).所以zmax=700×20+1 200×24=42 800.‎ 即种植甲种蔬菜20吨,乙种蔬菜24吨,才能使利润最大,最大利润为42 800元.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log3(x2-4x+m)的图像过点(0,1).‎ ‎(1)求实数m的值;‎ ‎(2)解不等式:f(x)≤1.‎ 解:(1)由已知有f(0)=log‎3m=1,所以m=3.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=log3(x2-4x+3).‎ 由x2-4x+3>0,得x<1或x>3,‎ 所以函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞).‎ 因为log3(x2-4x+3)≤1且y=log3x为增函数,‎ 所以0<x2-4x+3≤3,‎ 所以0≤x<1或3<x≤4,‎ 所以不等式的解集为{x|0≤x<1或3<x≤4}.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N+),b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N+).‎ ‎(1)求an与bn的表达式;‎ ‎(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn的表达式.‎ 解:(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(n∈N+).‎ 由题意知:当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.‎ 当n≥2时,bn=bn+1-bn.整理得=,‎ 所以bn=n(n∈N+).‎ ‎(2)由(1)知anbn=n·2n,‎ 因此Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,‎ ‎2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1,‎ 所以Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1.‎ 故Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N+).‎ ‎22.(本小题满分12分)为保护环境,绿色出行,某高校今年年初成立自行车租赁公司,初期投入36万元,建成后每年收入25万元,该公司第n年需要付出的维修费用记作an万元,已知{an}为等差数列,相关信息如图所示.‎ 8‎ ‎(1)设该公司前n年总盈利为y万元,试把y表示成n的函数,并求出y的最大值;(总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用)‎ ‎(2)该公司经过几年经营后,年平均盈利最大,并求出最大值.‎ 解:(1)由题意知,每年的维修费用是以6为首项,2为公差的等差数列,则an=6+2(n-1)=2n+4(n∈N+),‎ 所以y=25n--36=-n2+20n-36‎ ‎=-(n-10)2+64,当n=10时,y的最大值为64万元.‎ ‎(2)年平均盈利为==-n-+20=-+20≤-2×  +20=8(当且仅当n=,即n=6时取“=”号).‎ 故该公司经过6年经营后,年平均盈利最大,为8万元.‎ 8‎
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