2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设全集U＝｛1,3,5,7｝，集合M＝｛1，|a－5|｝，MU，M＝｛5，7｝，则实数a的值为 ( )‎ A. 2或－8 B. －8或－2 C. －2或8 D. 2或8‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用全集，由，列方程可求的值.‎ 详解：由，且，‎ 又集合，‎ 实数的值为或，故选D.‎ 点睛：本题考查补集的定义与应用，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.‎ ‎2．已知命题，则命题的否定为 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得结果.‎ 详解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题的否定为，故选D.‎ 点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.‎ ‎3．函数，则的定义域为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意知，，∴的定义域是，故：且，解得或，故选B．‎ 考点：对数的运算性质．‎ ‎4．已知幂函数 的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则（ ）‎ A. - B. 1或2 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由为偶数，且，即可得结果.‎ 详解：幂函数的图象关于轴对称，‎ 且在上是减函数，‎ 为偶数，且，解得，故选C.‎ 点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.‎ ‎5．方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：①时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则；‎ 若方程有两个负的实根，则必有．‎ ‎②若时，可得也适合题意．‎ 综上知，若方程至少有一个负实根，则．反之，若，则方程至少有一个负的实根，‎ 因此，关于的方程至少有一负的实根的充要条件是．‎ 故答案为：C 考点：充要条件，一元二次方程根的分布 ‎6．已知定义域为R的函数满足：对任意实数有，且，若，则＝ ( )‎ A. 2 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：令，可求得，再令，可求得，再对均赋值，即可求得.‎ 详解：，‎ 令，得，‎ 又，‎ 再令，得，‎ ‎，‎ 令，‎ 得，故选B.‎ 点睛：本题考查利用赋值法求函数值，正确赋值是解题的关键，属于中档题. ‎ ‎7．已知A＝B＝｛1，2，3，4，5｝，从集合A到B的映射满足：① ；②的象有且只有2个，求适合条件的映射的个数为 ( )‎ A. 10 B. 20 C. 30 D. 40‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：将元素按从小到大的顺序排列，然后按照元素在中的象有且只有两个进行讨论.‎ 详解：将元素按从小到大的顺序排列，‎ 因恰有两个象，将元素分成两组，从小到大排列，‎ 有一组；‎ 一组；‎ 一组；‎ 一组，‎ 中选两个元素作象，共有种选法，‎ 中每组第一个对应集合中的较小者，‎ 适合条件的映射共有个，故选D. ‎ 点睛：本题考查映射问题并不常见，解决此类问题要注意：（）分清象与原象的概念；（）明确对应关系.‎ ‎8．函数的大致图象为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用函数的解析式，判断大于时函数值的符号，以及小于 时函数值的符号，对比选项排除即可.‎ 详解：当时，函数，‎ 排除选项；‎ 当时，函数，‎ 排除选项，故选B.‎ 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ ‎9．函数是定义在R上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）‎ A．2 B．1 C．0 D．不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：∵函数是定义在上的奇函数，∴，令代入可得，函数关于对称，由函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数关于对称从而有，故选A．‎ 考点：奇偶函数图象的对称性．‎ ‎【思路点睛】利用奇函数的定义可把已知转化为，从而可得函数关于对称，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于对称，代入即可求出结果．‎ ‎10．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设由，可得，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递减，不合题意，当时，函数在上单调递增， 函数，在区间内单调递增，， ，a的取值范围是，故选B.‎ ‎11．对于三次函数，给出定义：设是函数 的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则( )‎ A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，利用倒序相加法即可得到结论.‎ 详解：函数，‎ 函数的导数，，‎ 由得，‎ 解得，而，‎ 故函数关于点对称，‎ ‎，‎ 故设，‎ 则，‎ 两式相加得，则，故选C.‎ 点睛：本题主要考查初等函数的求导公式，正确理解“拐点”并利用“拐点”求出函数的对称中心是解决本题的关键，求和的过程中使用了倒序相加法，属于难题.‎ ‎12．已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：， 则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：结合函数图象可得，，可化为，换元后利用单调性求解即可.‎ 详解：作出的解析式如图所示：‎ 根据二次函数的对称性知，‎ 且，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 因为所以当 时，函数等号成立，‎ 又因为在递减，‎ 在递增，‎ 所以，‎ 所以的取值范围是，故选D.‎ 点睛：本题考查函数的图象与性质，函数的零点以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知条件：；条件：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：条件化为，化为，由是的必要不充分条件，根据包含关系列不等式求解即可.‎ 详解：条件，化为，解得，‎ ‎，解得，‎ 若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，‎ ‎，解得，‎ 则实数的取值范围是，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法以及充分条件与必要条件的定义，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.‎ ‎14．已知函数，对任意，都有，则____________‎ ‎【答案】－20‎ ‎【解析】分析：令，知，，从而可得，进而可得结果.‎ 详解：令，知，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查赋值法求函数的解析式，令，求出的值，从而求出函数解析式，是解题的关键，属于中档题.‎ ‎15．已知函数，则函数的值域为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：化为，时，，时，，从而可得结果.‎ 详解： ,‎ 时，，‎ 时，，‎ 函数，则函数的值域为,故答案为.‎ 点睛：本题考查函数的值域，属于中档题. 求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.‎ ‎16．设是定义在R上的奇函数，在上单调递减，且，给出下列四个结论：‎ ‎ ①； ②是以2为周期的函数；‎ ‎③在上单调递减； ④为奇函数.‎ ‎ 其中正确命题序号为____________________‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】分析：①由，用赋值法求解即可；②由奇函数和，可得；③可得函数关于对称，可得在上单调递增；④结合②，可得为奇函数.‎ 详解：①函数是定义在上的奇函数，，‎ 又，，正确.‎ ‎②奇函数和，，‎ ‎，函数的周期是,正确.‎ ‎③ 是奇函数,,,‎ 即函数关于对称，因为在上单调递减，‎ 所以在上单调递增，不正确.‎ ‎④ 是奇函数, 函数的周期是,‎ 所以,‎ 所以 是奇函数，正确, 故答案为①②④.‎ 点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知集合P＝，函数的定义域为Q.‎ ‎ （Ⅰ）若PQ，求实数的范围；‎ ‎ （Ⅱ）若方程在内有解，求实数的范围.‎ ‎【答案】(1) （2）‎ ‎【解析】分析：（1）只需即可；（2）在有解，即求，的范围就是函数的值域，求出函数值域即可.‎ 详解：（1）P＝，PQ，不等式在上有解，由得，而， ‎ ‎（2） 在有解，即求的值域，‎ 点睛： （1）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值，若是存在大于函数的值成立，一般令其大于函数的最小值；（2）也是一个存在性的问题，其与（1）不一样的地方是其为一个等式，故应求出解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性.‎ ‎18．如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）本题考查线面垂直的判定定理．可由勾股定理证明；另外 平面即可；（Ⅱ）过程为作---证---算．根据二面角的定义找到角，注意不要忽略了证明的过程．‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：由条件知平面，令 ‎，经计算得 ‎，即，又因为 平面；‎ ‎（Ⅱ）过作，连结 由已知得 平面 就是二面角的平面角 经计算得，‎ 考点：1．线面垂直的判定定理；2．二面角；‎ ‎19．某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为、、三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.‎ ‎（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；‎ ‎（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）元.‎ ‎【解析】试题分析：（I）设工种每份保单的保费，则需赔付时，收入为，根据概率分布可计算出保费的期望值为，令解得.同理可求得工种保费的期望值；（II）按照每个工种的人数计算出份数然后乘以（1）得到的期望值，即为总的利润.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设工种的每份保单保费为元，设保险公司每单的收益为随机变量，则的分布列为 保险公司期望收益为 ‎ 根据规则 解得元，‎ 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元，‎ 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元.‎ ‎（Ⅱ）购买类产品的份数为份，‎ 购买类产品的份数为份，‎ 购买类产品的份数为份，‎ 企业支付的总保费为 元，‎ 保险公司在这宗交易中的期望利润为元.‎ ‎20．已知二次函数 ，设方程有两个实根 （Ⅰ）如果，设函数的图象的对称轴为，求证：；（Ⅱ）如果，且的两实根相差为2，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析（2）‎ ‎【解析】分析：（1）有转化为有两根：一根在与之间，另一根小于，利用一元二次方程的根分布可证；（2）先有，知两根同号，在分两根均为正和两根均为负两种情况的讨论，再利用两个之和与两根之积列不等式可求的取值范围.‎ 详解：‎ ‎（1）设，且，则由条件x1<2< x2<4‎ 得 ‎ ‎（2） ‎ ‎，‎ 又 或综上：‎ 点睛：利用函数的零点求参数范围问题，通常有两种解法：一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解；二种是构造两个函数分别作出图象，利用数形结合求解，此类题目也体现了函数与方程，数形结合的思想.‎ ‎21．已知函数的图象关于原点对称.‎ ‎（Ⅰ）求， 的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在内存在零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）题意说明函数是奇函数，因此有恒成立，由恒等式知识可得关于的方程组，从而可解得；‎ ‎（Ⅱ）把函数化简得，这样问题转化为方程在内有解，也即在内有解，只要作为函数，求出函数的值域即得．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）函数的图象关于原点对称，‎ 所以，所以，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 解得， ；‎ ‎（Ⅱ）由，由题设知在内有解，即方程在内有解.‎ 在内递增，得.‎ 所以当时，函数在内存在零点.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知，函数．‎ ‎（I）当为何值时， 取得最大值？证明你的结论；‎ ‎（II） 设在上是单调函数，求的取值范围；‎ ‎（III）设，当时， 恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ).‎ ‎【解析】试题分析：（I）求得f’(x)=[-x2+2(a-1）x+2a]ex，取得-x2+2(a-1)x+2a=0的根，即可得到数列的单调性，进而求解函数的最大值.‎ ‎（II）由（I）知，要使得在[-1,1]上单调函数，则：，即可求解a的取值范围；‎ ‎（III)由，分类参数得，构造新函数（x≥1)，利用导数求得函数h(x)的单调性和最值，即得到a的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（I）∵， ，‎ ‎∴，‎ 由得，‎ 则，‎ ‎∴在和上单调递减，在上单调递增，‎ 又时，且在上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴有最大值，当时取最大值．‎ ‎（II）由（I）知：‎ ‎ ，‎ 或，‎ 或；‎ ‎（III）当x≥1时f(x)≤g(x)，即（-x2+2ax)ex，‎ ‎ ，‎ 令，则，‎ ‎∴h(x)在上单调递增，‎ ‎∴x≥1时h(x)≥h(1)=1，‎ ‎，又a≥0所以a的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用． ‎