数学卷·2018届河北省邯郸市大名一中高二下学期3月月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届河北省邯郸市大名一中高二下学期3月月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年河北省邯郸市大名一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1．在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（　　）‎ A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎2．命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是（　　）‎ A．不存在x0∈R，x02﹣2x0+1≥0 B．存在x0∈R，x02﹣2x0+1≤0‎ C．存在x0∈R，x02﹣2x0+1＜0 D．对任意的x∈R，x2﹣2x+1＜0‎ ‎3．用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（　　）‎ A．a，b，c中至多有一个偶数 B．a，b，c中一个偶数都没有 C．a，b，c至多有一个奇数 D．a，b，c都是偶数 ‎4．已知函数f（x）=sinx，x∈[0，]，则y=f（x）和直线x=及x轴围成的封闭图形的面积为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．已知（ax+b）6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与﹣18，则（ax+b）6展开式所有项系数之和为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．32 D．64‎ ‎6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线y2=2px（p＞‎ ‎0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为（　　）‎ A．1 B． C． D．4‎ ‎8．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案有（　　）‎ A．180种 B．360种 C．15种 D．30种 ‎10．已知离散型随机变量ξ的分布列为 ξ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ P ‎0.6‎ a ‎﹣‎ 则D（3ξ﹣3）等于（　　）‎ A．42 B．135 C．402 D．405‎ ‎11．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（　　）‎ A．504 B．210 C．336 D．120‎ ‎12．有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下集中变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数，这四种变量中服从超几何分布的是（　　）‎ A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④‎ ‎13．函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上单调，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣]∪（1，] B．[﹣，﹣1）∪[，+∞） C．（1，] D．[，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎14．点P在椭圆+=1上运动，点A、B分别在x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4上运动，则PA+PB的最大值　　．‎ ‎15．已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）的值为　　．‎ ‎16．设a=（sinx+cosx）dx，则二项式（a﹣）6展开式中含x﹣1项的系数是　　．‎ ‎17．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有　　种（用数字作答）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共计60分）‎ ‎18．（10分）把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列．‎ ‎（1）43251是这个数列的第几项？‎ ‎（2）求所有五位数的各位上的数字之和．‎ ‎19．（12分）箱中装有4个白球和m（m∈N*）个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量X为取出的3个球所得分数之和．‎ ‎（I）若，求m的值；‎ ‎（II）当m=3时，求X的分布列和数字期望E（X）．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x2+x+2．‎ ‎（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）求经过点A（1，3）的曲线f（x）的切线方程．‎ ‎21．（12分）已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．‎ ‎（I）求检验次数为4的概率；‎ ‎（II）设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：离心率e=‎ ‎，短轴长为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．‎ ‎23．（12分）已知函数f（x）=（a﹣1）lnx+ax2+1．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）如果对任意的x1＞x2＞0，总有≥2，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省邯郸市大名一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1．在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（　　）‎ A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数的共轭复数对应的点的坐标得答案．‎ ‎【解答】解：由=，‎ 得，‎ ‎∴在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是（　　）‎ A．不存在x0∈R，x02﹣2x0+1≥0 B．存在x0∈R，x02﹣2x0+1≤0‎ C．存在x0∈R，x02﹣2x0+1＜0 D．对任意的x∈R，x2﹣2x+1＜0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据含量词的命题的否定形式：将“任意”换为“存在”，同时将结论否定，得到命题的否定．‎ ‎【解答】解：命题“对任意的X∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是 ‎“存在x0∈R，x02﹣2x0+1＜0”‎ 故选：C ‎【点评】求含量词的命题的否定：一般先将量词“任意”与“存在”交换，同时将结论否定即可．‎ ‎　‎ ‎3．用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（　　）‎ A．a，b，c中至多有一个偶数 B．a，b，c中一个偶数都没有 C．a，b，c至多有一个奇数 D．a，b，c都是偶数 ‎【考点】反证法与放缩法．‎ ‎【分析】用反证法法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求．‎ ‎【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，‎ 而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中一个偶数都没有”，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查用反证法法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）=sinx，x∈[0，]，则y=f（x）和直线x=及x轴围成的封闭图形的面积为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】由题意画出图形，结合微积分基本定理列出定积分，求解得答案．‎ ‎【解答】解：由题意画出图形如图，‎ ‎∴y=f（x）和直线x=及x轴围成的封闭图形的面积为：‎ S===﹣（﹣1）+1+1=3．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查定积分，考查微积分基本定理的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．已知（ax+b）6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与﹣18，则（ax+b）6展开式所有项系数之和为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．32 D．64‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】由题意先求得a、b的值，再令x=1求出展开式中所有项的系数和．‎ ‎【解答】解：（ax+b）6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与﹣18，‎ ‎∴•a4•b2=135①，‎ ‎•a5•b=﹣18②；‎ 由①、②组成方程组，‎ 解得a=1，b=﹣3或a=﹣1、b=3；‎ ‎∴令x=1，求得（ax+b）6展开式中所有项系数之和为26=64．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，求出系数a、b是解题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】利用长方体的性质、线面角的定义、异面直线所成的角的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎∵B1B⊥平面ABCD，∴∠BCB1是B1C与底面所成角，‎ ‎∴∠BCB1=60°．‎ ‎∵C1C⊥底面ABCD，∴∠CDC1是C1D与底面所成的角，‎ ‎∴∠CDC1=45°．‎ 连接A1D，A1C1，则A1D∥B1C．∴∠A1DC1或其补角为异面直线B1C与C1D所成的角．‎ 不妨设BC=1，则CB1=DA1=2， =CD，‎ ‎∴，A1C1=2．‎ 在等腰△A1C1D中，cos∠A1DC1==．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】熟练掌握长方体的性质、线面角与异面直线所成的角的定义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为（　　）‎ A．1 B． C． D．4‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的两条渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由△AOB的面积为1列出方程，由此方程求出p的值．‎ ‎【解答】解：双曲线的两条渐近线方程是y=±2x，‎ 又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，‎ 故A，B两点的纵坐标分别是y=±p，‎ 又△AOB的面积为1，∴ =1，‎ ‎∵p＞0，∴得p=．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系．‎ ‎　‎ ‎8．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案有（　　）‎ A．180种 B．360种 C．15种 D．30种 ‎【考点】排列及排列数公式．‎ ‎【分析】从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，利用排列的意义可得：选派方案有．‎ ‎【解答】解：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案有=360种．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了排列的意义及其计算公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．已知离散型随机变量ξ的分布列为 ξ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ P ‎0.6‎ a ‎﹣‎ 则D（3ξ﹣3）等于（　　）‎ A．42 B．135 C．402 D．405‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】由离散型随机变量ξ的分布列先求出a=0.3，再求出E（ξ），进而求出D（ξ），由此能求出D（3ξ﹣3）．‎ ‎【解答】解：由离散型随机变量ξ的分布列知：‎ ‎，解得a=0.3，‎ E（ξ）=10×0.6+20×0.3+30×0.1=15，‎ D（ξ）=（10﹣15）2×0.6+（20﹣15）2×0.3+（30﹣15）2×0.1=45，‎ ‎∴D（3ξ﹣3）=9D（ξ）=9×45=405．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量ξ的分布列性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎11．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（　　）‎ A．504 B．210 C．336 D．120‎ ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果；用同样的方法插入第二个和第三个节目，根据分步乘法计数原理得到结果．‎ ‎【解答】解：∵由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，‎ ‎∴三个新节目一个一个插入节目单中，‎ 原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，‎ 原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果 根据分步计数原理得到共有插法种数为7×8×9=504，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查分步计数原理，是一个实际问题，解题时注意题目条件中对于原来6个节目的顺序要求不变，所以采用插入法．‎ ‎　‎ ‎12．有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下集中变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数，这四种变量中服从超几何分布的是（　　）‎ A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④‎ ‎【考点】超几何分布．‎ ‎【分析】根据超几何分布的定义，即可判断．‎ ‎【解答】解：超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知③④‎ 服从超几何分布．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】对超几何分布与二项分布关系的认识：共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败．不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布．‎ ‎　‎ ‎13．函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上单调，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣]∪（1，] B．[﹣，﹣1）∪[，+∞） C．（1，] D．[，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】分情况讨论函数的单调性①当函数在（﹣∞，+∞）上单调递减时，分区间使函数在每个区间上都单调递减，再保证（a2﹣1）ea×0≥a×02+1，解出a的范围去交集即可．②当函数在（﹣∞，+∞）上单调递增时，类比单调递减求解即可．最后将上面a的范围去并集即可得到答案．‎ ‎【解答】解：当函数在（﹣∞，+∞）上单调递减时，‎ 当x≥0时f（x）=ax2+1是单调递减函数，所以a＜0．‎ 当x＜0时f（x）=（a2﹣1）eax是单调递减函数，所以f′（x）=a（a2﹣1）eax≤0‎ 因为a＜0，所以a≤﹣1．‎ 当a=﹣1时f（x）=0不具有单调性，所以a=﹣1舍去．所以a＜﹣1．‎ 又因为函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，所以（a2﹣1）ea×0≥a×02+1解得或a≥．‎ 由以上可得．‎ 当函数在（﹣∞，+∞）上单调递增时，‎ 当x≥0时f（x）=ax2+1是单调递增函数，所以a＞0．‎ 当x＜0时f（x）=（a2﹣1）eax是单调递增函数，所以f′（x）=a（a2﹣1）eax≥0‎ 因为a＞0，所以a≥1．‎ 当a=1时f（x）=0不具有单调性，所以a=1舍去．所以a＞1．‎ 又因为函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调增减，所以（a2﹣1）ea×0≤a×02+1解得．‎ 由以上可得．‎ 综上所述可得．‎ 故选A．‎ ‎【点评】解决这种分段函数单调性问题的关键是先分区间保证函数单调递减或递增，再保证最值之间满足大小关系即可．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎14．点P在椭圆+=1上运动，点A、B分别在x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4上运动，则PA+PB的最大值　16　．‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】由题意得：椭圆+=1的两个焦点（0，±4）分别是圆x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4的圆心，故P为椭圆的下顶点，A，B分别为相应圆上纵坐标最大的点时，PA+PB取最大值．‎ ‎【解答】解：由题意得：椭圆+=1的两个焦点（0，±4）分别是圆x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4的圆心，‎ P到两个焦点的距离和为定值2×5=10，‎ 两圆的半径分别为4和2，‎ 故P为椭圆的下顶点，A，B分别为相应圆上纵坐标最大的点时，‎ PA+PB的最大值为：2×5+2+4=16，‎ 故答案为：16．‎ ‎【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用 ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）的值为　﹣1　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】求函数的导数，令x=，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=f′（）sinx+cosx，‎ ‎∴f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，‎ 令x=，‎ 则f′（）=f′（）cos﹣sin=f′（）×﹣，‎ 即f′（）==﹣2，‎ 则f（）=（﹣2﹣）sin+cos=（﹣2﹣）×+=﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的计算，利用导数求出f′（）的值是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．设a=（sinx+cosx）dx，则二项式（a﹣）6展开式中含x﹣1项的系数是　60　．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】由定积分的运算求得a的值，代入求得（2﹣）6展开式（2）6﹣k•（﹣）k=（﹣1）k26﹣kx3﹣k，当3﹣k=﹣1，解得k=4，代入即可求得展开式中含x﹣1项的系数．‎ ‎【解答】解：a=（sinx+cosx）dx=（﹣cosx+sinx）‎ ‎=﹣（cos﹣cos0）+sin﹣sin0=2，∴a=2，‎ ‎（2﹣）6展开式为：（2）6﹣k•（﹣）k=（﹣1）k ‎26﹣kx3﹣k，‎ 含x﹣1项的系数：3﹣k=﹣1，解得：k=4，‎ ‎∴展开式中含x﹣1项的系数（﹣1）k26﹣kx3﹣k，‎ ‎=（﹣1）422，‎ ‎=60，‎ 故答案为：60．‎ ‎【点评】本题考查定积分的应用，考查二项式定理，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有　630　种（用数字作答）．‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】根据题意，要求相邻的两个格子颜色不同，故用到颜色最少为2种，则分用2种颜色、3种颜色、4种颜色3种情况讨论，分析计算各种情况下的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，分为三类：‎ 第一类是只用两种颜色则为：C62A22=30种，‎ 第二类是用三种颜色则为：C63C31C21C21=240种，‎ 第三类是用四种颜色则为：C64A44=360种，‎ 由分类计数原理，共计为30+240+360=630种，‎ 故答案为630．‎ ‎【点评】本题考查组合、排列的综合应用与分类计数原理的运用，注意分类时，明确分类的标准，做到不重不漏．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共计60分）‎ ‎18．（10分）（2017春•大名县校级月考）把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列．‎ ‎（1）43251是这个数列的第几项？‎ ‎（2）求所有五位数的各位上的数字之和．‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】（1）先考虑大于43251的数，利用间接法求解；‎ ‎（2）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）•；同理它们在千位、十位、个位上也都有个五位数，所以可求这个数列各项和．‎ ‎【解答】解：（1）先考虑大于43251的数，分为以下三类：‎ 第一类：以5打头的有： =24‎ 第二类：以45打头的有： =6‎ 第三类：以435打头的有： =2‎ 故不大于43251的五位数有：（个）‎ 即43251是第88项．‎ ‎（2）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有个五位数，所以万位上各个数字的和为：（1+2+3+4+5）•‎ 同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有个五位数，所有五位数的各位上的数字之和5•（1+2+3+4+5）•=1800．‎ ‎【点评】本题考查排列知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2013春•西城区期末）箱中装有4个白球和m（m∈N*）个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量X为取出的3个球所得分数之和．‎ ‎（I）若，求m的值；‎ ‎（II）当m=3时，求X的分布列和数字期望E（X）．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（I）取出的3个球都是白球时，随机变量X=6，利用概率公式，建立方程，即可求m的值；‎ ‎（II）当m=3时，确定X的取值，求出相应的概率，即可求X的分布列和数字期望E（X）．‎ ‎【解答】解：（I）由题意得取出的3个球都是白球时，随机变量X=6．（1分）‎ 所以，（3分）‎ 即，‎ 解得m=1．‎ ‎（II）由题意得X的可能取值为3，4，5，6．（6分）‎ 则，，‎ ‎．．（10分）‎ X的分布列为：‎ X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎（11分）‎ 所以．（13分）‎ ‎【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016春•定州市期末）已知函数f（x）=x3﹣x2+x+2．‎ ‎（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）求经过点A（1，3）的曲线f（x）的切线方程．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；‎ ‎（2）设切点为（m，n），代入f（x），求得切线的斜率和方程，代入点A（1，3），解m的方程可得m=0或1，即可得到所求切线的方程．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=x3﹣x2+x+2的导数为f′（x）=3x2﹣2x+1，‎ 可得曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3﹣2+1=2，‎ 切点为（1，3），‎ 即有曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣3=2（x﹣1），‎ 即为2x﹣y+1=0；‎ ‎（2）设切点为（m，n），可得n=m3﹣m2+m+2，‎ 由f（x）的导数f′（x）=3x2﹣2x+1，‎ 可得切线的斜率为3m2﹣2m+1，‎ 切线的方程为y﹣（m3﹣m2+m+2）=（3m2﹣2m+1）（x﹣m），‎ 由切线经过点（1，3），可得 ‎3﹣（m3﹣m2+m+2）=（3m2﹣2m+1）（1﹣m），‎ 化为m（m﹣1）2=0，解得m=0或1．‎ 则切线的方程为y﹣2=x或y﹣3=2（x﹣1），‎ 即为y=x+2或y=2x+1．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，注意在某点处的切线和过某点的切线的区别，正确求导是解题的关键，属于基础题和易错题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2010•唐山一模）已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．‎ ‎（I）求检验次数为4的概率；‎ ‎（II）设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布．‎ ‎【分析】（I）检验次数为4的情况是前3次在5件正品中取到2件，在2件次品中取到1件，第4次取到次品，由此能求出检验次数为4的概率．‎ ‎（II）ξ的可能值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=•=，P（ξ=4）=，．由此能求出ξ的分布列和ξ的期望．‎ ‎【解答】解：（I）记“在4次检验中，前3次检验中有1次得到次品，第4次检验得到次品”为事件A，则检验次数为4的概率．…（3分）‎ ‎（II）ξ的可能值为2，3，4，5，6，其中P（ξ=2）==，‎ P（ξ=3）=•=，‎ P（ξ=4）=，‎ ‎．…（8分）‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎…（10分）‎ ξ的期望…（12分）‎ ‎【点评】本题考查概率的求法和离散型随机变量的概率分布列和数学期望．解题时要认真审题，注意概率的性质和排列组合数公式的运用．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2015•石景山区一模）已知椭圆C：离心率e=，短轴长为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用短轴长及离心率即得椭圆C的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），由（I）可得直线PA、QA的方程，从而可得以MN为直径的圆，化简后令y=0，则x=，即得结论．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由短轴长为，得b=，‎ 由=，得a2=4，b2=2．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）结论：以MN为直径的圆过定点F（，0）． ‎ 证明如下：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，‎ ‎∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴M（0，），‎ 直线QA方程为：，∴N（0，），‎ 以MN为直径的圆为，‎ 即，‎ ‎∵，∴，‎ 令y=0，则x2﹣2=0，解得x=．‎ ‎∴以MN为直径的圆过定点F（，0）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆，及其与直线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2017春•大名县校级月考）已知函数f（x）=（a﹣1）lnx+ax2+1．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）如果对任意的x1＞x2＞0，总有≥2，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．‎ ‎（2）问题转化成研究g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）单调递增，再利用参数分离法求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），‎ f′（x）=+2ax=，‎ 当a≥1时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；‎ 当a≤0时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；‎ 当0＜a＜1时，令f′（x）=0，解得x=．‎ 则当x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，+∞）时，f（x）＜0．‎ 故f（x）在（0，）单调增加，在（，+∞）单调减少．‎ ‎（2）对任意的x1＞x2＞0，总有≥2，‎ 等价于对任意的x1＞x2＞0，f（x1）﹣2x1≥f（x2）﹣2x2①‎ 令g（x）=f（x）﹣2x，则g′（x）=+2ax﹣2，‎ ‎①等价于g（x）在（0，+∞）单调递增，即+2ax﹣2≥0．‎ 从而a≥在（0，+∞）恒成立，‎ 令h（x）=，h′（x）=，‎ 令h′（x）＞0，解得：0＜x＜，令h′（x）＜0，解得：x＞，‎ ‎∴h（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，‎ ‎∴h（x）max=h（）=，‎ ‎，故a的取值范围为：[，+∞）．‎ ‎【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．‎