数学经典易错题会诊与高考试题预测5

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数学经典易错题会诊与高考试题预测5

经典易错题会诊与2012届高考试题预测(五)‎ 考点5 三角函数 ‎ 经典易错题会诊 ‎ 命题角度1 三角函数的图象和性质 ‎ 命题角度2 三角函数的恒等变形 ‎ 命题角度3 三角函数的综合应用探究开放题预测 ‎ 预测角度1 三角函数的图象和性质 ‎ 预测角度2 运用三角恒等变形求值 ‎ 预测角度3 向量与三角函数的综合 命题角度1 三角函数的图象和性质 ‎1.(典型例题)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈(0,2π)的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则众的取值范围是 .‎ ‎ [考场错解] 填[0,3]‎ ‎ ∵f(x)=‎ ‎ ∴f(x)的值域为(0,3),∵f(x)与y=k有交点,‎ ‎ ∴k∈[0,3]. ‎ ‎ [专家把脉] 上面解答求出k的范围只能保证y= f(x)的图像与y=k有交点,但不能保证y=f(x)的图像与y=k有两个交点,如k=1,两图像有三个交点.因此,正确的解答要作出了y=f(x)的图像,运用数形结合的思想求解. ‎ ‎[对症下药] 填(1,3)‎ ‎∵f(x) 作出其图像如图 从图5-1中可看出:当10,cot x>0,∴f(x)≥‎ ‎4 化简f(x)=cos(+2x)+cos(π-2x)+ 2(x∈R,k∈Z)求函数f(x)的值域和最小正周期.‎ 答案:解析:∵f(x)=cos(2kπ++2x)+cos(2kπ--2x)+2sin(+2x)=2cos(+2x)+2sin(+2x)=4sin(+ +2x)=4sin(+x)=4cos2x.‎ ‎ ∴f(x)的值域为[-4,4];最小正周期为T:=π.‎ 命题角度2‎ 三角函数的恒等变形 ‎ ‎1.(典型例题Ⅱ)设α为第四象限的角,若,则tan2α= . ‎ ‎[考场错解] 填± ∵‎ ‎∴‎ ‎[专家把脉] 上面解答错在由cos2α=得sin2α=±时没有考虑角α是第四象限角.2α是第三、四象限角sin2α只能取负值.因而tan2α也只能为负值.‎ ‎ [对症下药] 填-=cos2α+2cos2α=2cos2α+1=∴cos2α=.又∵α为第四象限角,即2kπ+<α< 2kπ+2π,k∈Z,∴4kπ+3π<2α<4kπ+4π,k∈Z 即2α为第三、四象限角.∴sin2α=- ‎ ‎2.(典型例题)已知-0,sinx-cosx<0.‎ ‎ ∴sinx-cosx=-‎ ‎(2)=cosx·sinx(2+cosx-sinx)=‎ ‎[专家把脉] 以上解答在利用三角恒等变形化简时出现了错误.即由 =sinxcosx(2-sinx -cosx)变形时认为2sin2 =1+cosx,用错了公式,因为 2sin2 =1-cosx.因此原式化简结果是错误的.‎ ‎ [对症下药] 解法1 (1)由sinx+cosx=,平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-.‎ ‎∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+ .‎ 又∵- 0,sinx-cosx<0.∴sinx-cosx=. ‎ ‎(2)‎ ‎①‎ ‎②‎ 解法2 (1)联立方程 由①得slnx=-cosx,将其代入②,整理得25cos2x- 5cosx-12=0,∴cosx=-或(cosx=)‎ ‎∵- 0,cosβ>0,∴.tan(α=1.‎ ‎4 已知函数f(x)=-sin2x+sinxcosx ‎ (1)求f()的值;‎ 答案:∵sin ‎∴‎ ‎(2)设α∈(0,π),f()=,求sinα的值. ‎ 答案:‎ ‎∴‎ ‎ 16sin2α-4sinα-11=0,解得sinα=‎ ‎∵α∈(0,π),∴sinα>0,则sinα=‎ 5 已知函数f(x)=2sin2x+sin2x,x∈(0,2π)求使f(x)为正值的x的集合. ‎ 答案:解:∵f(x)=1-cos 2x+sin 2x=1+sin(2x-),‎ ‎ ∴f(x)>01+sin(2x-)>0.‎ ‎ sin(2x-)>--+2kπ<2x-<+2kπkπx>0.‎ ‎ (Ⅰ)将十字形的面积表示为θ的函数;‎ ‎ (Ⅱ)θ为何值时,十字形的面积最大?最大面积是多少?‎ ‎ [考场错解] 设S为十字形的面积,则S=2xy=2sinθ· cosθ=sin2θ(≤θ<).‎ ‎ (2)当sin2θ=1即θ= 时,S最大,S的最大值为1.‎ ‎ [专家把脉] 上面解答错在面积S的计算上,因为十字形面积等于两个矩形面积和还需减去中间一个边长为 x的正方形面积.‎ ‎ [对症下药] (1)设S为十字形的面积,则S=2xy-x2=2sinθcosθ-cos2θ(<θ< )‎ ‎ (2)解法1 S=2sinθcosθ-cos2θ=sin2θ-cos2θ,其中=1,即2θ-=时,S最大.‎ ‎ ∴当θ=时,S最大,S的最大值为.‎ ‎ 解法2 ∵S=2sinθcosθ-cos2θ,‎ ‎∴S′=2cos2θ- 2sin2θ+2sinθ·cosθ=2cos2θ+sin2θ.‎ ‎ 令S′=0.即2cos2θ+sin2θ=0,‎ ‎ 可解得θ=arctan(-2).‎ ‎∴当θ=arctan(-2)时,S最大,S的最大值为. ‎ ‎2.(典型例题)若03sinx B.2x<3sinx ‎ C.2x=3sinx D.与x的取值有关 ‎[考场错解] 选A 设f(x)=2x-3sinx,∴f(x)= 2-3cosx,∵00.‎ ‎ ∴f(x)在(0,)上是增函数 ‎ ∴f(x)>f(0)=0.‎ 即2x>3sinx,选A ‎ ‎[专家把脉]∵f′(x)=3(-cosx).当00.当x∈(0,arcccos)时,y′<0.‎ 即当x∈(arccos,)时,f(x)>0.口P2x>3sinx当x∈(0,arccoss ‎)时,f(x)<0.即2x<3sinx.故选D. ‎ ‎3.(典型例题)设函数f(x)=xsinx(x∈R)‎ ‎(1)证明f(x+2kπ)f(x)=2kπsinx.其中k∈Z;‎ ‎ (2)设x0是f(x)的一个极值点.证明[f(x0)]2=;‎ ‎ (3)设f(x)在(0,+∞)的全部极值点按从小到大的顺序a1,a2,…,an,…,证明:0是f′,(x0)=0的任意正实根即x0 =-tax0,则存在一个非负整数k,使x0∈(+kπ,π+ kπ).即x0在第二或第四象限内.‎ ‎ 由题设条件,a1,a2,…,an为方程x=-tanx的全部正实根,且满足a10,由②式知tan(an-1,-an)< 0.由此可知an+1-an必在第二象限 ‎ ∴0是f′(x)=0的任意正实根,即x0-tanx0,则存在一个非负整数k,使x0∈(+kπ,π+kπ),即x0在第二或第四象限内.由①式f′‎ ‎(x)=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符号可列表如下:‎ X ‎()‎ f′(x)的符号 K为奇数 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ K为偶数 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 所以满足f′(x)=0的正根x0都为f(x)的极值点.‎ 由题设条件,a1,a2,…,an…为方程x=-tanx的全部正实根且满足a10,由②式知tan(an+1-an)<.0由此可知an+1-an必在第二象限,即an+1-an<π.综上,sinα1cosα2,sinα1b>c B.O0)的图像与直线y=3在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,P3,…,且|P3P5|=,则w等于( ) ‎ A.4 B.1 C.2 D.‎ 答案: C 解析:∵y=4sin(wx+)cos(wx-)‎ ‎ =4cos2(-wx)=2+2cos(-2cosx)‎ ‎ =2+2sin2wx,y=3时,sin2wx=,‎ ‎ |P3P5|=T=,w=2.‎ ‎5 已知f(α)=,则f(α)取得最大值时α的值是 ( ) ‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案: B 解析:∵f(x)=‎ ‎∴当sin2a=1,即α=时f(x)有最大值.‎ ‎6 若sinα+cosα=tanα(0<α<),则α∈( ) ‎ 答案: C 解析:∵0<α+<α+π,∴sin(α+)∈(,1)∴sina+cosα=sin(α+)∈(1,),即tanα∈(,)‎ 故α∈().‎ ‎7的值是 . ‎ 答案:解析:1+tan10°=‎ ‎ 原式=‎ ‎8 函数y=(sin-2x)的单调减区间是 . ‎ 答案:[](k)解析:函数变形为 即函数单调减区间为[](k)‎ ‎9 求函数f(x)=的最小正周期、最大值和最小值. ‎ 答案:解析:f(x)=所以函数f(x)的最小正周期为π,最大值是,最小值是.‎ ‎10 已知函数y=Asin(w+)(x∈R)(其中A>O,w>0)的图像在y轴右侧的第一个最高点为M(2,2),与x轴在原点右侧的第一个交点为N(0,0) ‎ ‎(1)求这个函数的解析式;‎ 答案:解:(1)根据题意可知,A=2=6-2=4,∴T=16,于是w=所以y=2将点M的坐标代入y=2‎ 即sin.‎ ‎∴满足为最小正数解,即.故所求的解析工为y=2‎ ‎(2)此函数可以由y=sinx经过怎样的变换得到?(写出每一个具体变换). ‎ y=2sin()‎ ‎11 已知三点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3)C(cosα,sinα),α≠,k∈Z,若=-1,求的值. ‎ 答案:解:由=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3)‎ 得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1‎ ‎∴sinα+cosα= ①‎ 又 由①式两边平方得1+2sinαcosα=,2sinαcosα=-‎ ‎∴‎ ‎12 已知向量a=‎ ‎ (1)若f(x)=(a+b)2,求f(x)的解析式;‎ 答案: f(x)=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=2+‎ ‎(2)求函数f(x)的最大值和最小值; ‎ 答案:由x∈[-]得x+∈[π]‎ ‎ 当x+=,即x=-时,函数f(x)取最大值+2;‎ 当x+=π,即x=时,函数f(x)取最小值为0‎ ‎13 已知α为第二象限的角,sinα=,β为第一象限的角,cosβ=,求tan(2α-β)的值. ‎ 答案:解:∵α为第二象限的角,sinα=,cosα=-.‎ ‎∴tanα=-,又∵ β为第一象限的角,cosβ=,sinβ ‎14如图所示,有一农民在自留地建造一个长10 m,深0.5 m,横截面为等腰梯形的封闭式引水槽侧面材料每平方米造价50元,顶盖材料每平方米造价10元.‎ ‎ (1)把建立引水槽的费用y(元)表示为引水槽的侧面与地面所成的角∠DAE=θ的函数;‎ 答案:作AH⊥CD,垂足为H,则AH=,‎ ‎∠ADH=θ ‎∴=AH(AB+CD).‎ 即 ‎(2)引水槽的侧面与地面所成的角θ多大时,其材料费最低?最低材料费是多少?(精确到0.01,≈1.732)‎ 答案:‎ 等号当且仅当 3tan=cot即tan=. ∴θ=60°.即当引槽的侧面与地面所成角为60°材料费最低为646.4元.‎ ‎(3)按照题没条件,在引水槽的深度和横截面积及所在的材料不改变的情况下,将引水槽的横截面形状改变为正方形时的材料费与(2)中所求得的材料费相比较,哪一种设计所用材料费更省?省多少?‎ 答案:截面为正方形时,材料费为×10=700元.‎ ‎ 所以横截面为等腰梯形时比横截面为正方形时,材料费用较省,省53.6元.‎
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