2017-2018学年福建省晋江市季延中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年福建省晋江市季延中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省晋江市季延中学高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（ ）‎ A． 5，10，15，20，25 B． 2，4，8，16，32‎ C． 1，2，3，4，5 D． 7，17，27，37，47‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取1个，号码间隔为10，经验证只有选项D符合要求；故选D.‎ ‎2．下图是把二进制的数化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意输出的S=1+1×2+1×22+1×23+1×24，按照程序运行，观察S与i的关系，确定判断框内的条件即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意输出的S=1+1×2+1×22+1×23+1×24，‎ 按照程序运行：S=1，i=1；S=1+1×2，i=2；S=1+1×2+1×22，i=3；S=1+1×2+1×22+1×23，i=4；S=1+1×2+1×22+1×23+1×24，i=5，此时跳出循环输出结果，故判断框内的条件应为i≤4.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是程序框图，考查了进位制，本题是程序框图中的循环结构，是先进行了一次判断，实则是直到型性循环，这是一道基础题.首先将二进制数化为十进制数，得到十进制数的数值，然后假设判断框中的条件不满足，执行算法步骤，待累加变量的值为时，算法结束，此时判断框中的条件要满足，即可得到答案.‎ ‎3．用秦九韶算法求次多项式，当时，求需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，‎ 即 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 ‎.‎ ‎.‎ ‎…‎ ‎.‎ 这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。‎ ‎∴对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法 故选D.‎ ‎4．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员（ ）‎ A． 3人 B． 4人 C． 7人 D． 12人 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出每个个体被抽到的概率，再用管理人员的总人数乘以此概率，即得所求．‎ ‎【详解】‎ 每个个体被抽到的概率等于，由于管理人员共计32人，‎ 故应抽取管理人员的人数为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样的知识，属于基础题.‎ ‎5．抽查10件产品，设事件“至少有两件次品”，则的对立事件为（ ）‎ A． 至多两件次品 B． 至多一件次品 C． 至多两件正品 D． 至少两件正品 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据对立事件的定义，至少有n个的对立事件是至多有n-1个，由事件A：至少有两件次品，即可得到结果．‎ ‎∵至少有n个的否定是至多有n-1个 又∵事件A：至少有两件次品，‎ ‎∴事件A的对立事件为：至多有一件次品．‎ 故选B．‎ ‎【考点】本题考查的是互斥事件和对立事件 点评：互斥事件关键是要抓住不可能同时发生的要点，对立事件则要抓住有且只有一个发生，可以转化命题的否定，集合的补集来进行求解．‎ ‎6．已知随机变量X服从正态分布N（3，δ2），且P（x≤6）=0.9，则P（0＜x＜3）=（    ）‎ A． 0.4 B． 0.5 C． 0.6 D． 0.7‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵P（x≤6）=0.9，‎ ‎∴P（x＞6）=1﹣0.9=0.1．‎ ‎∴P（x＜0）=P（x＞6）=0.1，‎ ‎∴P（0＜x＜3）=0.5﹣P（x＜0）=0.4．‎ 故答案为：A。‎ ‎7．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论哪个是正确的（ ）‎ A． A,C互斥 B． B,C互斥 C． 任何两个都互斥 D． 任何两个都不互斥 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题中给了三个事件，四个选项都是研究互斥关系的，可先对每个事件进行分析，再考查四个选项得出正确答案.‎ ‎【详解】‎ A为“三件产品全不是次品”，指的是三件产品都是正品，‎ B为“三件产品全是次品”，‎ C为“三件产品不全是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是次品三个事件 由此可知，A与B是互斥事件，A与C是对立事件，也是互斥事件，B与C是包含关系，故选项B正确 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了互斥事件的概念，属于基础题.‎ ‎8．已知x与y之间的一组数据：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ 则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点　（ )‎ A． （2，2） B． （1.5，0） C． （1.5，4） D． (1, 2)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由回归直线方程必过样本点中心，从而得解.‎ ‎【详解】‎ 回归直线方程一定过样本的中心点，‎ ‎，‎ ‎∴样本中心点是(1.5,4)，‎ 则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点(1.5,4)，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．‎ ‎(2)回归直线方程必过样本点中心．‎ ‎(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具 ‎9．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球数的标准差为0.3，下列说法中，正确的个数为（ ）‎ ‎①甲队的进球技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；‎ ‎③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏.‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据甲队比乙队平均每场进球个数多，得到甲对的技术比乙队好判断①；根据两个队的标准差比较，可判断甲队不如乙队稳定；由平均数与标准差进一步可知乙队几乎每场都进球，甲队的表现时好时坏. ‎ 详解：因为甲队每场进球数为，乙队平均每场进球数为，甲队平均数大于乙队较多，所以甲队技术比乙队好，所以①正确；‎ 因为甲队全年比赛进球个数的标准差为，乙队全年进球数的标准差为，乙队的标准差小于甲队，所以乙队比甲队稳定，所以②正确；‎ 因为乙队的标准差为，说明每次进球数接近平均值，乙队几乎每场都进球，甲队标准差为，说明甲队表现时好时坏，所以③④正确，‎ 故选D. ‎ 点睛：本题考查了数据的平均数、方差与标准差，其中数据的平均数反映了数据的平均水平，方差与标准差反映了数据的稳定程度，一般从这两个方面对数据作出相应的估计，属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎10．的展开式中的系数为（ ）‎ A． -160 B． 320 C． 480 D． 640‎ ‎【答案】B ‎【解析】，展开通项，‎ 所以时， ； 时， ，‎ 所以的系数为，故选B。‎ 点睛：本题考查二项式定理。本题中，首先将式子展开得，再利用二项式的展开通项分别求得对应的系数，则得到问题所要求的的系数。‎ ‎11．把四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（ ）‎ A． 12种 B． 24种 C． 36种 D． 48种 ‎【答案】C ‎【解析】从个球中选出个组成复合元素有 种方法，再把个元素（包括复合元素）放入个不同的盒子中有 种放法，所以四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有，故选C.‎ ‎12．考察正方体个面的中心，甲从这个点中任意选两个点连成直线，乙也从这个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据题意，由于正方体个面的中心，甲从这个点中任意选两个点连成直线，乙也从这个点中任意选两个点连成直线，则所得的情况有,那么其中两条直线相互平行但不重合的情况有20种，因此可知其概率选D.‎ ‎【考点】古典概型 点评：主要是考查了古典概型概率的求解，属于基础题。‎ 二、填空题 ‎13．已知某运动员每次投篮命中的概率等于 .现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 ‎ ‎431 257 393 027 556 488 730 113 537 989‎ 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________．‎ ‎【答案】0.25‎ ‎【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，‎ 在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.‎ 共5组随机数，‎ ‎∴所求概率为.‎ 答案为：0.25.‎ ‎14．(N)展开式中不含的项的系数和为 ________ .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将问题转化为二项展开式的各项系数和问题，再利用赋值法求出各项系数和．‎ ‎【详解】‎ 要求 (n∈N∗)展开式中不含y的项，‎ 只需令y=0，(N)展开式中不含的项的系数和即为展开式的系数和，‎ 令x=1得展开式的各项系数和为；‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】‎ 因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．‎ ‎15．某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为________．（用数字作答）‎ ‎【答案】132‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论：甲选包子，则有2人选同一种主食，剩下2人选其余主食；甲不选包子，其余4人中1人选包子，方法为4种，甲花卷或面条，方法为2种，其余3人，有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，或没有人选甲选的主食，相加后得到结果．‎ ‎【详解】‎ 分类讨论：甲选包子，则有2人选同一种主食，方法为=18，‎ 剩下2人选其余主食，方法为=2，共有方法18×2=36种；‎ 甲不选包子，其余4人中1人选包子，方法为4种，甲花卷或面条，方法为2种，其余3人，‎ 若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3=6；‎ 若没有人选甲选的主食，方法为=6，共有4×2×（6+6）=96种，‎ 故共有36+96=132种，‎ 故答案为：132．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．‎ ‎(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．‎ ‎16．任取两个小于1的正数x、y，若x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出这三个边正好是钝角三角形的三个边的等价条件，根据几何概型的概率公式，即可得到结论 ‎【详解】‎ 根据题意可得，三边可以构成三角形的条件为：‎ ‎.‎ 这三个边正好是钝角三角形的三个边，应满足以下条件：‎ ‎，对应的区域如图，‎ 由圆面积的为，‎ 直线和区域围成的三角形面积是，‎ 则x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ 三、解答题 ‎17．已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π且 ‎），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．已知直线l与曲线C交于A、B两点，且．‎ ‎（1）求α的大小；‎ ‎（2）过A、B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，求|MN|．‎ ‎【答案】（1）；（2）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，再利用点到直线的距离公式求出结果．‎ ‎（2）直接利用关系式求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知直线l的参数方程为：（t为参数，0≤α＜π且），‎ 则：，‎ ‎∵，，‎ ‎∴O到直线l的距离为3，‎ 则，‎ 解之得．‎ ‎∵0＜α＜π且，‎ ‎∴‎ ‎（2）直接利用关系式，‎ 解得：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．‎ ‎18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 ‎（1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；‎ ‎（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）在频率分面直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；（Ⅱ）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为;（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有3人，记为，受访职工评分在[40,50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，所以……..4分)‎ ‎（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，‎ 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为………8分 ‎（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为;‎ 受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为.‎ 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是 又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为 ‎【考点】1.频率分布直方图；2.概率和频率的关系；3.古典概型.‎ ‎【名师点睛】本题考查频率分布直方图、概率与频率关系、古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.‎ ‎19．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线（为参数），曲线（为参数）.‎ ‎（1）求直线与曲线的普通方程；‎ ‎（2）已知点，若直线与曲线相交于两点（点在点的上方），求的值.‎ ‎【答案】(1) ， (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据加减消元法得直线的普通方程；根据三角函数平方关系得曲线的普通方程（2）由椭圆的定义知： ，根据直线参数方程几何意义得，将直线参数方程代入曲线的普通方程，根据韦达定理可得结果 试题解析：解：（1）由直线已知直线（为参数），‎ 消去参数得： ‎ 曲线（为参数）‎ 消去参数得： . ‎ ‎（2）设 将直线的参数方程代入得： ‎ 由韦达定理可得： ‎ 结合图像可知，‎ 由椭圆的定义知： ‎ ‎.‎ ‎20．设事件A表示“关于的一元二次方程有实根”，其中， 为实常数.‎ ‎（Ⅰ）若为区间[0，5]上的整数值随机数， 为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；‎ ‎（Ⅱ）若为区间[0，5]上的均匀随机数， 为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）. ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得满足题意的概率值为；‎ ‎(2)利用题意画出概率空间，结合几何概型公式可得满足题意的概率值为.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）当a∈{0，1，2，3，4，5}，b∈{0，1，2}时，共可以产生6×3=18个一元二次方程.‎ 若事件A发生，则a 2－4b2≥0，即|a|≥2|b|. 又a≥0， b≥0，所以a≥2b. ‎ 从而数对（a，b）的取值为（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），共12组值.‎ 所以P（A）=. ‎ ‎ （Ⅱ）据题意，试验的全部结果所构成的区域为D={(a，b)|0≤a≤5，0≤b≤2}，构成事件A的区域为A={(a，b)|0≤a≤5，0≤b≤2，a≥2b}. ‎ ‎ 在平面直角坐标系中画出区域A、D，如图，‎ 其中区域D为矩形，其面积S（D）=5×2=10，‎ 区域A为直角梯形，其面积S（A）=. ‎ 所以P（A）=.‎ ‎21．‎ 袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．‎ ‎（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；‎ ‎（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．‎ ‎【答案】（1）96（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）利用组合知识及分步计数乘法原理可得结果；（2）随机变量所有可能的值为0，1，2，3．分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果.‎ 试题解析：解：（1）两个球颜色不同的情况共有×42＝96(种). ‎ ‎（2）随机变量X所有可能的值为0，1，2，3．‎ P(X＝0)＝＝， ‎ P(X＝1)＝， ‎ P(X＝2)＝，‎ P(X＝3)＝‎ 所以随机变量X的概率分布列为： ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ 所以E(X)＝0＋1 ＋2 ＋3 ＝．‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.‎ ‎22．某市为迎接“国家义务教育均衡发展综合评估”，市教育行政部门在全市范围内随机抽取了所学校，并组织专家对两个必检指标进行考核评分. 其中、分别表示“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”两项指标，根据评分将每项指标划分为A(优秀)、B(良好)、C(及格)三个等级，调查结果如右表所示. 例如：表中“学校的基础设施建设”指标为B等级的共有20+21+2=43所学校. 已知两项指标均为B等级的概率为0.21.‎ ‎（1）在该样本中，若“学校的基础设施建设”优秀率是0.4，请填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有90﹪的把 握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关;‎ 师资力量(优秀)‎ 师资力量（非优秀）‎ 基础设施建设（优秀）‎ 基础设施建设（非优秀）‎ ‎（2）在该样本的“学校的师资力量”为C等级的学校中，若，，记随机变量，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意求得n、a和b的值，填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；‎ ‎（2）由题意得到满足条件的（a，b），再计算ξ的分布列和数学期望值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）依题意得，得 由，得 由得 ‎ 师资力量(优秀)‎ 师资力量（非优秀）‎ 基础设施建设（优秀）‎ ‎20‎ ‎21‎ 基础设施建设（非优秀）‎ ‎20‎ ‎39‎ ‎.‎ 因为，‎ 所以没有90﹪的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关. ‎ ‎（Ⅱ）,,得到满足条件的 有：，，，， ‎ 故的分布列为 ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与数学期望问题，属于中档题．‎