2019-2020学年江苏省扬州中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省扬州中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江苏省扬州中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2},则= （ ）‎ A．{－1,2} B．{－1,0} C．{0,1} D．{1,2}‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，集合，利用集合的交集运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，集合，，则，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合A，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2．函数的定义域是 （　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据定义域求法即可.‎ 详解：由题可得：‎ 且，故选C.‎ 点睛：考查函数的定义域，属于基础题.‎ ‎3．设集合若则的范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由可知满足的数x都在内，所以 ‎【考点】集合的子集关系 ‎4．已知，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设,可求得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设,‎ 因为，‎ 所以，，‎ 可得，，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的解析式，属于中档题 . 求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.‎ ‎5．已知幂函数过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设幂函数，∵过点，∴ ，‎ ‎∴ ，故选B.‎ ‎6．若函数在上是单调函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】得出函数的对称轴方程，对该函数的对称轴与区间分三种位置进行讨论，分析函数在区间上的单调性，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.‎ ‎①当时，函数在区间上单调递增，合乎题意；‎ ‎②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，函数在区间上不单调，不合乎题意；‎ ‎③当时，函数在区间上单调递减，合乎题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是或，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的单调性与参数，解题时要分析二次函数图象的开口方向和对称轴，再者就是要讨论对称轴与定义域的位置关系，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎7．若集合中只有一个元素，则=（ ）‎ A．4 B．2 C．0 D．0或4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【考点】该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系.‎ ‎8．设 是奇函数，且在内是单调递增的，又，则的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由是奇函数，以及在内单调递增，得到在内也单调递增，，作出函数的大致图像，由得到或，结合图像，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵是奇函数，且在内单调递增，∴在内也单调递增.‎ 又，∴，‎ 作出的大致图像如下：‎ 又或，‎ 由图像可得或；‎ ‎∴的解集是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数的单调性解不等式，熟记函数的基本性质即可，属于常考题型.‎ ‎9．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据二次函数图象可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为当时，当时或，因此的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数图象与性质,考查综合分析求解能力,属中档题.‎ ‎10．的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用复合函数单调性的判断原则“同增异减”可求得函数的单调区间，结合对数的真数大于0，即可求得整个函数的单调递增区间。‎ ‎【详解】‎ 根据复合函数单调性的判断原则，即求的单调递减区间，且 由二次函数的图象可知单调递减区间为x<1‎ 解不等式得或 综上可知，的单调递增区间为 即x∈‎ 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了复合函数单调性的判断，注意对数函数的真数部分对x的特殊要求，属于基础题。‎ ‎11．已知函数，不等式的解集是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分类讨论x的符号，根据函数的解析式可得函数的单调性和奇偶性，列出不等式，求得x的范围．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数满足，故为偶函数．‎ 当时，单调递增，‎ 当时，单调递减，‎ 故由不等式，故有，‎ 即，求得，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和初等函数的单调性，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档题．‎ ‎12．已知是定义在实数集上的奇函数，为非正的常数，且当时，.若存在实数，使得的定义域与值域都为，则实数的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得出函数在上单调递减，结合题意得出，由题意得出，两式相加得出，可得出，从而可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数为上的奇函数，则，适合.‎ 当且时，函数为减函数.‎ 设，则，，‎ 此时，，且该函数在上单调递增，‎ 所以，函数在实数集上单调递减，‎ 由题意可得，则点和点在函数的图象上，且这两点关于直线对称.‎ 若，则这两点均为第二象限，都在直线的上方，不可能关于直线对称；‎ 若，则这两点均为第四象限，都在直线的下方，不可能关于直线对称.‎ 因此，.‎ 由，得，两式相加得，‎ 即，（舍去）或，则.‎ 代入，得，，又，.‎ 因此，实数的取值范围是，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性的应用，考查函数的定义域与值域问题，解题时要分析出函数的单调性及其他基本性质进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13．若函数为偶函数，则的值为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据二次函数对称轴为轴时，二次函数为偶函数列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于函数为二次函数，故当其对称轴，即时，函数为偶函数.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二次函数的性质，考查偶函数的对称性，属于基础题.‎ ‎14．若，则＝___．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】试题分析：．‎ ‎【考点】对数的计算．‎ ‎15．若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是__________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得单调递增，则每一段函数都单调递增，且在分界点处也单调递增，即，解得范围即可 ‎【详解】‎ 根据题意，任意实数，都有成立，则单调递增，故分段函数的每一段单调递增，且分界点处单调递增，即，则，即 ‎【点睛】‎ 本题考查由不等式判断单调性，分段函数单调性问题，此类问题需注意不仅要使每一段函数单调递增，且分界点处也要单调递增。‎ ‎16．已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数解，且最小实数解为，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出函数大致图象，然后令，关于x的方程有6个不同的实数解，转化为有两个不同的根，再经过计算可得的值，即可得出结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意，作出函数图象，如图所示：‎ 令，根据图象可知，‎ 关于x的方程有6个不同的实数解，‎ 可转化为关于t的方程有2个不同的实数解，‎ 且必有一个解为0，另一个解大于0，所以．‎ 则，解为，．‎ 所以，即．‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，把关于x的方程有6个不同的实数解，转化为关于t的方程有2个不同的实数解，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用，以及换元法的应用，结合图形进行计算的能力，本题属中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知不等式的解集为A，不等式的解集为B．‎ ‎（1）求A∩B； ‎ ‎（2）若不等式的解集为A∩B，求的值。‎ ‎【答案】（1）A∩B={x|-1＜x＜2}；（2） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）将集合A,B进行化简，再根据集合的交集运算即可求得结果；（2）由题意知-1,2为方程的两根，代入方程联立方程组，即可解得结果.‎ 试题解析：‎ 解：（1）A={x|-1＜x＜3}, ‎ B={x|-3＜x＜2}， ‎ ‎∴‎ ‎（2）-1,2为方程x2＋ax＋b=0的两根 ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【考点】集合的运算；方程与不等式的综合应用.‎ ‎18．已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，，‎ 求函数的表达式；‎ 求方程的解集．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】根据是R上的奇函数得出，可设，从而得出，即可得到的表达式；‎ 根据的表达式，由得出关于x的方程，解方程即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意，函数是奇函数，则，‎ 当时，则，且当时，，‎ 则，‎ 所以函数的解析式为：，‎ ‎（2）由（1）得：‎ 当时，令，即，解得或（舍去），‎ 当时，方程恒成立；‎ 当时，令，即，解得或（舍去），‎ 综上，方程的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数解析式的应用，其中解答中熟记奇函数的定义，合理、准确运算是解答的关键，同时注意奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为是解答的一个易错点，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎19．设集合，．‎ 若，求a的值；‎ 若，求a的值．‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎【解析】（1）根据，得到是方程的根，代入即可求解；‎ ‎（2）由集合，根据，对集合B进行讨论，即可求出的值，得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，因为，即是方程的根，‎ 可得，即，解得；‎ ‎（2）由题意，集合，‎ 因为，可得 当时，则，解得；‎ 当或时，则，解得，‎ 此时满足题意；‎ 当时，则，解得，‎ 综上可得，或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了元素与集合的关系，以及集合与集合的关系的应用，其中解答中熟练应用集合的包含函数，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎20．已知定义在区间上的函数为奇函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）判断并证明函数在区间上的单调性；‎ ‎（3）解关于的不等式．‎ ‎【答案】（1）；（2）在区间上是增函数，见解析；（3）‎ ‎【解析】（1）由函数是在区间上的奇函数，得到，即可求解；‎ ‎（2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数在区间上是增函数．‎ ‎（3）由为奇函数，得到，再由函数在区间上是增函数，得到不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数是在区间上的奇函数，所以，‎ 即函数，经检验符合题意，所以实数的值．‎ ‎（2）设，则，‎ 因为， 则，‎ 所以，即，‎ 所以函数在区间上是增函数．‎ ‎（3）因为，且为奇函数，所以．‎ 又由函数在区间上是增函数，‎ 所以，解得， ‎ 故关于的不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义和判定方法，以及熟练应用函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎(Ⅰ)证明：当变化，函数的图象恒经过定点；‎ ‎ (Ⅱ)当时，设，且，求（用表示）；‎ ‎ (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）；(Ⅲ) .‎ ‎【解析】(Ⅰ)令2x-3=1得x=2,即得定点的横坐标，代入函数解析式即得定点坐标；(Ⅱ)先求出，再利用对数的运算运算法则求；(Ⅲ)化为在区间上有解，令，求得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)当时，不论取何值，都有 故函数的图象恒经过定点； ‎ ‎(Ⅱ)当时，，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，不等式化为 即在区间上有解； ‎ 令，则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 又是正整数，故的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的定点问题，考查对数的运算法则和对数函数的单调性，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22．已知函数，其中a为常数 若，写出函数的单调递增区间不需写过程；‎ 判断函数的奇偶性，并给出理由；‎ 若对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）递增区间为：（2）为非奇非偶函数，详见解析（3）或 ‎【解析】（1）利用，直接写出函数的递增区间．‎ ‎（2）当时，判断函数的奇偶性，当时，通过特殊值，说明为非奇非偶函数；‎ ‎（3）设，，，通过对于当时，当时，求解，对于，当时，当时，求解，推出，由，解得，得到实数a的取值范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，当，函数，‎ 可得函数的图象，如图所示，‎ 结合图象，可函数的单调递增区间为.‎ ‎（2）当时，函数，‎ 则，所以函数为偶函数；‎ 当时，可得，，‎ 则，所以函数为非奇非偶函数；‎ ‎（3）对任意实数x，不等式恒成立，只需使得恒成立，‎ 设，，，‎ 对于，‎ 当时，；当时，‎ 对于，‎ 当时，，当时，‎ 当时，，‎ 所以，由，解得满足；‎ 当时，，‎ 由，解得或，不满足；‎ 当时，，‎ 所以，由，解得，满足题意．‎ 所以实数a的取值范围是：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数与方程的应用，函数的奇偶性的判定，以及函数的最值的求法等知识的综合应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想的应用，属于中档试题．‎