2020届高考文科数学二轮专题复习课件：高考大题 满分规范（三）

2020届高考文科数学二轮专题复习课件：高考大题 满分规范（三）

高考大题 • 满分规范 ( 三 ) 数列类解答题 【典型例题 】 (12 分 )(2019 · 全国卷 Ⅱ) 已知 {a n } 是各项均为正数的等比数列 ,a 1 =2,a 3 =2a 2 +16. (1) 求 {a n } 的通项公式 . (2) 设 b n =log 2 a n , 求数列 {b n } 的前 n 项和 . 【题目拆解 】 本题可拆解成以下几个小问题 : (1)① 求公比 ; ② 求数列 {a n } 的通项公式 . (2)① 求 {b n } 的通项公式 ; ② 求数列 {b n } 的前 n 项和 . 【标准答案 】 【解析 】 (1) 因为数列 {a n } 是各项均为正数的等比数列 , a 3 =2a 2 +16,a 1 =2, 所以令数列 {a n } 的公比为 q,a 3 =a 1 q 2 =2q 2 ,a 2 =a 1 q=2q, ……………… ① 所以 2q 2 =4q+16, 解得 q=-2( 舍去 ) 或 4, ……………… ② 所以数列 {a n } 是首项为 2 、公比为 4 的等比数列 , ………… ③ a n =2×4 n-1 =2 2n-1 . …………④ (2) 因为 b n =log 2 a n , 所以 b n =2n-1, ………… ⑤ b n+1 =2n+1,b n+1 -b n =2, ……………… ⑥ 所以数列 {b n } 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列 , …… ⑦ 设数列 {b n } 的前 n 项和为 S n , 则 S n = · n=n 2 . ……………… ⑧ 【阅卷现场 】 第 (1) 问 第 (2) 问 得 分 点 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 2 2 1 1 2 1 1 2 6 分 6 分 第 (1) 问踩点得分说明 ① 利用通项公式表示出 a 2 ,a 3 得 2 分 ; ② 求出公比 q 得 2 分 ; ③ 判断等比数列得 1 分 ; ④ 求出通项公式得 1 分 ; 第 (2) 问踩点得分说明 ⑤ 由对数运算求出 b n 得 2 分 ; ⑥ 求出公差得 1 分 ; ⑦ 判断出等差数列得 1 分 ; ⑧ 求出前 n 项和得 2 分 . 【高考状元 · 满分心得 】 1. 解答数列类大题的关键 熟练把握等差数列与等比数列的定义、通项公式、求和公式及其相应的性质是解数列问题的关键 . 2. 化归与转化思想的运用 对于给定的数列不是等差与等比数列模型 , 应利用化归思想或构造思想 , 努力使之转化为等比数列与等差数列模型求解 . 3. 数列求和解题技巧 重点要掌握等差数列、等比数列求和公式以及常用的“错位相减法”“裂项相消法” , 解决问题的关键在于数列的通项公式 , 根据通项公式的特征准确选择相应的方法 . 【跟踪演练 · 感悟体验 】 1.(2017 · 天津高考 ) 已知 {a n } 为等差数列 , 前 n 项和为 S n (n∈N * ),{b n } 是首项为 2 的等比数列 , 且公比大于 0,b 2 +b 3 =12,b 3 =a 4 -2a 1 ,S 11 =11b 4 . (1) 求 {a n } 和 {b n } 的通项公式 . (2) 求数列 {a 2n b 2n-1 } 的前 n 项和 (n∈N * ). 【解析 】 (1) 设等差数列 {a n } 的公差为 d, 等比数列 {b n } 的公比为 q. 由已知得 :b 2 +b 3 =12, 即 b 1 (q+q 2 )=12, 又 b 1 =2, 所以 q 2 +q-6=0, 因为 q>0, 所以 q=2, 所以 b n =2 n , 由 b 3 =a 4 -2a 1 ,S 11 =11b 4 得 , 3d-a 1 =8,a 1 +5d=16, 联立解得 ,a 1 =1,d=3, 所以 a n =3n-2, 所以 ,{a n } 和 {b n } 的通项公式分别为 a n =3n-2,b n =2 n . (2) 设数列 {a 2n b 2n-1 } 的前 n 项和为 T n 由 a 2n =6n-2,b 2n-1 =2×4 n-1 , 有 a 2n b 2n-1 =(3n-1)×4 n , 故 T n =2×4+5×4 2 +8×4 3 + … +(3n-1)×4 n , 4T n =2×4 2 +5×4 3 +8×4 4 + … +(3n-4)×4 n +(3n-1)×4 n+1 , 上述两式相减 , 得 -3T n =2×4+3×4 2 +3×4 3 + … +3×4 n - (3n-1)×4 n+1 = -4-(3n-1)×4 n+1 =-(3n-2)×4 n+1 -8. 得 T n = ×4 n+1 + . 所以 , 数列 {a 2n b 2n-1 } 的前 n 项和为 ×4 n+1 + . 2.(2019 · 青岛二模 ) 已知数列 {a n } 的各项均为正数 , a 1 =3, 且对任意 n∈N * ,2a n 为 +3 和 1 的等比中项 , 数列 {b n } 满足 b n = -1(n∈N * ). (1) 求证 : 数列 {b n } 为等比数列 , 并求 {a n } 通项公式 . (2) 若 c n =log 2 b n ,{c n } 的前 n 项和为 T n , 求使 T n 不小于 360 的 n 的最小值 . 【解析 】 (1) 由题意得 :(2a n ) 2 =( +3)×1, 即 = 4 -3, 所以 -1=4 -3-1=4 -4=4( -1). 因为 b n = -1, 所以 b n+1 =4b n , 所以数列 {b n } 成等比数列 , 首项为 b 1 = -1=8, 公比为 4, 所以 b n =b 1 · 4 n-1 =8×2 2n-2 =2 2n+1 , 所以 -1=2 2n+1 , 又 {a n } 为正项数列 , 所以 a n = (2) 由 (1) 得 :c n =log 2 b n =log 2 2 2n+1 =2n+1, 所以 T n =c 1 +c 2 + … +c n =(2×1+1)+(2×2+1)+ … +(2n+1) =2×(1+2+3+ … +n)+n =2× +n=n 2 +2n, 所以 T n =n 2 +2n≥360, 即 n 2 +2n-360≥0⇒(n+20)(n-18) ≥0, 所以 n≥18 或 n≤-20( 舍去 ), 所以 T n 不小于 360 的 n 的最小值为 18.