2012年理数高考试题答案及解析-上海

2012年理数高考试题答案及解析-上海

‎2012上海高考数学试题（理科）答案与解析 一．填空题 ‎1．计算： （为虚数单位）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.‎ ‎2．若集合，，则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据集合A ，解得，由，所以 ‎.‎ ‎【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.‎ ‎3．函数的值域是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据题目，因为，所以.‎ ‎【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质. ‎ ‎4．若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设直线的倾斜角为，则.‎ ‎【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.‎ ‎5．在的二项展开式中，常数项等于 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 .‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.‎ ‎6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此， .‎ ‎【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.‎ ‎7．已知函数（为常数）.若在区间上是增函数，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数看出当时函数增函数，而已知函数在区间上为增函数，所以的取值范围为： .‎ ‎【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.‎ ‎8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为，母线长为，根据条件得到，解得母线长，所以该圆锥的体积为：.‎ ‎【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.‎ ‎9．已知是奇函数，且，若，则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为函数为奇函数，所以 .‎ ‎【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数为奇函数，所以有这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.‎ ‎10．如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，‎ 若将的极坐标方程写成的形式，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据该直线过点，可以直接写出代数形式的方程为：，将此化成极坐标系下的参数方程即可 ，化简得.‎ ‎【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.‎ ‎11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为.‎ ‎【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.‎ ‎12．在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以向量所在直线为轴，以向量所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为，所以 设根据题意，有.‎ 所以，所以 ‎ ‎【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.‎ ‎13．已知函数的图象是折线段，其中、、，‎ 函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得到，从而得到所以围成的面积为，所以围成的图形的面积为 .‎ ‎【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.‎ ‎14．如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，‎ 且，其中、为常数，则四面体的体积的最 大值是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】据题，也就是说，线段的长度是定值，因为棱与棱互相垂直，当时，此时有最大值，此时最大值为：.‎ ‎【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.‎ 二、选择题（20分）‎ ‎15．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 B ‎ ‎【解析】根据实系数方程的根的特点也是该方程的另一个根，所以 ‎，即，，故答案选择B.‎ ‎【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.‎ ‎16．在中，若，则的形状是（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎ 【答案】C ‎【解析】由正弦定理，得代入得到，‎ 由余弦定理的推理得，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.‎ ‎17．设，，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．与的大小关系与的取值有关 ‎【答案】 A ‎【解析】 由随机变量的取值情况，它们的平均数分别为：， ‎ 且随机变量的概率都为，所以有＞. 故选择A.‎ ‎【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题.‎ ‎18．设，，在中，正数的个数是（ ）‎ A．25 B．‎50 ‎‎ C．75 D．100‎ ‎【答案】C ‎【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.‎ 三、解答题（74分）：‎ ‎19．（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求：‎ ‎（1）三角形的面积；‎ ‎（2）异面直线与所成的角的大小.‎ ‎【答案及解析】‎ 所以三角形PCD的面积为................6分 ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．‎ ‎20．（6+8=14分）已知函数．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数（）的反函数.‎ ‎【答案及解析】‎ ‎，‎ ‎【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．‎ ‎21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为．‎ ‎（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向；‎ ‎（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？‎ ‎22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：．‎ ‎（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；‎ ‎（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；‎ ‎（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.‎ ‎【答案及解析】‎ 过点A与渐近线平行的直线方程为 ‎，,则到直线的距离为.‎ 设到直线的距离为.‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．‎ ‎23．（4+6+8=18分）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．例如具有性质．‎ ‎（1）若，且具有性质，求的值；‎ ‎（2）若具有性质，求证：，且当时，；‎ ‎（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式.‎ ‎【答案及解析】‎ 必有形式 ‎ 显然有满足 ‎ 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“具有性质”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．‎