高中数学选修2-3课件3_1 回归分析( 二)

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高中数学选修2-3课件3_1 回归分析( 二)

2021/2/13 1 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二) 高二数学 选修 2-3 2021/2/13 2 例 1 从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高和体重数据如表 1-1 所示。 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm 的女大学生的体重。 案例 1 :女大学生的身高与体重 解: 1 、选取身高为自变量 x ,体重为因变量 y ,作散点图: 2 、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。 2021/2/13 3 分析:由于问题中要求根据身高预报体重,因此选取身高为自变量,体重为因变量. 2. 回归方程: 1. 散点图; 本例中 , r=0.798>0.75 .这表明体重与身高有很强的线性相关关系,从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。 2021/2/13 4 探究: 身高为 172cm 的女大学生的体重一定是 60.316kg 吗?如果不是,你能解析一下原因吗? 答:身高为 172cm 的女大学生的体重不一定是 60.316kg ,但一般可以认为她的体重接近于 60.316kg 。 即,用这个回归方程不能给出每个身高为 172cm 的女大学生的体重的预测值,只能给出她们平均体重的值。 2021/2/13 5 例 1 从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高和体重数据如表 1-1 所示。 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm 的女大学生的体重。 案例 1 :女大学生的身高与体重 解: 1 、选取身高为自变量 x ,体重为因变量 y ,作散点图: 2 、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。 3 、从散点图还看到,样本点散布在某一条直线的附近,而不是在一条直线上,所以 不能用一次函数 y=bx+a 描述它们关系。 2021/2/13 6 我们可以用下面的 线性回归模型 来表示: y=bx+a+e , (3) 其中 a 和 b 为模型的未知参数, e 称为随机误差 。 y=bx+a+e , E(e)=0,D(e)= (4) 在线性回归模型 (4) 中,随机误差 e 的 方差 越小 ,通过回归直线 (5) 预报真实值 y 的 精度越高。 随机误差 是引起预报值 与真实值 y 之间的 误差 的原因之一, 其大小取决于随机误差的方差。 另一方面,由于公式 (1) 和 (2) 中 和 为截距和斜率的估计值,它们与真实值 a 和 b 之间也存在误差,这种误差是引起预报值与真实值 y 之间误差的另一个原因。 2021/2/13 7 思考 : 产生随机误差项 e 的原因是什么? 随机误差 e 的来源 ( 可以推广到一般): 1 、忽略了其它因素的影响:影响身高 y 的因素不只是体重 x ,可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素; 2 、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差; 3 、身高 y 的观测误差。 以上三项误差越小,说明我们的回归模型的拟合效果越好。 2021/2/13 8 函数模型与回归模型之间的差别 函数模型: 回归模型: 可以提供 选择模型的准则 2021/2/13 9 函数模型与回归模型之间的差别 函数模型: 回归模型: 线性回归模型 y=bx+a+e 增加了随机误差项 e , 因变量 y 的值由自变量 x 和 随机误差项 e 共同确定 ,即 自变量 x 只能解析部分 y 的变化 。 在统计中,我们也把自变量 x 称为 解析变量 ,因变量 y 称为 预报变量 。 所以,对于身高为 172cm 的女大学生,由回归方程可以预报其体重为 思考: 如何刻画 预报变量(体重)的变化?这个变化在 多大程度 上 与解析变量(身高)有关?在 多大程度 上与随机误差有关? 假设 身高 和 随机误差 的不同不会对体重产生 任何 影响,那么所有人的体重将相 同。 在体重不受任何变量影响的假设下,设 8 名女大学生的体重都是她们的平均值, 即 8 个人的体重都为 54.5kg 。 54.5 54.5 54.5 54.5 54.5 54.5 54.5 54.5 体重 /kg 170 155 165 175 170 157 165 165 身高 /cm 8 7 6 5 4 3 2 1 编号 54.5kg 在散点图中,所有的点 应该 落在同一条 水平直线上,但是 观测到的数据并非如 此。 这就意味着 预报变量(体重)的值 受解析变量(身高)或随机误差的影响 。 对回归模型进行 统计检验 2021/2/13 11 59 43 61 64 54 50 57 48 体重 /kg 170 155 165 175 170 157 165 165 身高 /cm 8 7 6 5 4 3 2 1 编号 例如,编号为 6 的女大学生的体重并没有落在水平直线上,她的体重为 61kg 。解析 变量(身高)和随机误差共同把这名学生的体重从 54.5kg“ 推”到了 61kg ,相差 6.5kg , 所以 6.5kg 是 解析变量 和 随机误差 的 组合效应 。 编号为 3 的女大学生的体重并也没有落在水平直线上,她的体重为 50kg 。解析 变量(身高)和随机误差共同把这名学生的体重从 50kg“ 推”到了 54.5kg ,相差 -4.5kg , 这时 解析变量和随机误差的组合效应为 -4.5kg 。 用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。 数学上,把 每个效应(观测值减去总的平均值)的平方加起来 ,即用 表示 总的效应 ,称为 总偏差平方和 。 在例 1 中,总偏差平方和为 354 。 2021/2/13 12 59 43 61 64 54 50 57 48 体重 /kg 170 155 165 175 170 157 165 165 身高 /cm 8 7 6 5 4 3 2 1 编号 那么,在这个总的效应(总偏差平方和)中,有多少来自于解析变量(身高)? 有多少来自于随机误差? 假设随机误差对体重没有影响,也就是说,体重仅受身高的影响,那么散点图 中所有的点将完全落在回归直线上。但是,在图中,数据点并没有完全落在回归 直线上。 这些点散布在回归直线附近,所以一定是随机误差把这些点从回归直线上 “推”开了 。 在例 1 中,残差平方和约为 128.361 。 因此,数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是 随机误差的效应 , 称 为 残差 。 例如,编号为 6 的女大学生,计算随机误差的效应(残差)为: 对每名女大学生计算这个差异,然后分别将所得的值平方后加起来,用数学符号 称为 残差平方和 , 它代表了 随机误差的效应。 表示为: 即, 类比样本方差估计总体方差的思想,可以用 作为 的估计量 , 越小,预报精度越高。 2021/2/13 13 由于解析变量和随机误差的总效应(总偏差平方和)为 354 ,而随机误差的效应为 128.361 ,所以 解析变量的效应 为 解析变量和随机误差的总效应(总偏差平方和) = 解析变量的效应(回归平方和) + 随机误差的效应(残差平方和) 354-128.361=225.639 这个值称为 回归平方和。 我们可以用 相关指数 R 2 来刻画回归的效果,其计算公式是 2021/2/13 14 离差平方和的分解 (三个平方和的意义) 总偏差平方和 ( SST ) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差 回归平方和 ( SSR ) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响,或者说,是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化,也称为可解释的平方和 残差平方和 ( SSE ) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响,也称为不可解释的平方和或剩余平方和 2021/2/13 15 样本决定系数 (判定系数 R 2 ) 1. 回归平方和占总离差平方和的比例 反映回归直线的拟合程度 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 R 2 1 ,说明回归方程拟合的越好; R 2 0 ,说明回归方程拟合的越差 判定系数等于相关系数的平方,即 R 2 = ( r ) 2 2021/2/13 16 显然, R 2 的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合效果越好。 在线性回归模型中, R 2 表示解析变量对预报变量变化的贡献率。 R 2 越接近 1 ,表示回归的效果越好(因为 R 2 越接近 1 ,表示解析变量和预报变量的 线性相关性越强) 。 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析,则可以通过比较 R 2 的值 来做出选择,即选取 R 2 较大的模型作为这组数据的模型。 总的来说: 相关指数 R 2 是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中,它 代表自变量刻画预报变量的能力 。 我们可以用 相关指数 R 2 来刻画回归的效果,其计算公式是 2021/2/13 17 1 354 总计 0.36 128.361 残差变量 0.64 225.639 随机误差 比例 平方和 来源 表 1-3 从表 3-1 中可以看出,解析变量对总效应约贡献了 64% ,即 R 2 0.64 ,可以叙述为 “身高解析了 64% 的体重变化”,而随机误差贡献了剩余的 36% 。 所以,身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。 我们可以用 相关指数 R 2 来刻画回归的效果,其计算公式是 2021/2/13 18 表 3-2 列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。 在研究两个变量间的关系时,首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关, 是否可以用回归模型来拟合数据。 残差分析与残差图的定义: 然后,我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果,判断原始 数据中是否存在可疑数据, 这方面的分析工作称为残差分析 。 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 残差 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382 我们可以利用图形来分析残差特性,作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本 编号,或身高数据,或体重估计值等,这样作出的图形称为 残差图 。 2021/2/13 19 残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量,横轴可以有不同的选择; 若模型选择的正确,残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域 ; 对于远离横轴的点,要特别注意 。 身高与体重残差图 异常点 错误数据 模型问题 几点说明: 第一个样本点和第 6 个样本点的残差比较大,需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误,就予以纠正,然后再重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误,则需要寻找其他的原因。 另外,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型计较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高。 2021/2/13 20 例 2 、在一段时间内,某中商品的价格 x 元和需求量 Y 件之间的一组数据为: 求出 Y 对的回归直线方程,并说明拟合效果的好坏。 价格 x 14 16 18 20 22 需求量 Y 12 10 7 5 3 解: 2021/2/13 21 例 2 、在一段时间内,某中商品的价格 x 元和需求量 Y 件之间的一组数据为: 求出 Y 对的回归直线方程,并说明拟合效果的好坏。 价格 x 14 16 18 20 22 需求量 Y 12 10 7 5 3 列出残差表为 0.994 因而,拟合效果较好。 0 0.3 -0.4 -0.1 0.2 4.6 2.6 -0.4 -2.4 -4.4 2021/2/13 22 用身高预报体重时,需要注意下列问题: 1 、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体; 2 、我们所建立的回归方程一般都有时间性; 3 、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围; 4 、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上,它是预报变量的可能取值的平均值。 —— 这些问题也使用于其他问题。 涉及到统计的一些思想: 模型适用的总体; 模型的时间性; 样本的取值范围对模型的影响; 模型预报结果的正确理解。 小结 2021/2/13 23 一般地,建立回归模型的基本步骤为: ( 1 )确定研究对象,明确哪个变量是解析变量,哪个变量是预报变量。 ( 2 )画出确定好的解析变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系 (如是否存在线性关系等)。 ( 3 )由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用线性回归方程 y=bx+a ) . ( 4 )按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)。 ( 5 )得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应残差过大,或残差呈现不随机的规律性,等等),过存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等。 2021/2/13 24 什么是回归分析? (内容) 从一组样本数据出发,确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验, 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著,哪些不显著 利用所求的关系式,根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值,并给出这种预测或控制的精确程度 2021/2/13 25 回归分析与相关分析的区别 相关分析中,变量 x 变量 y 处于平等的地位;回归分析中,变量 y 称为因变量,处在被解释的地位, x 称为自变量,用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量;回归分析中,因变量 y 是随机变量,自变量 x 可以是随机变量,也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度;回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小,还可以由回归方程进行预测和控制
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