四川省射洪中学2020届高三上学期期中考试数学（文）

四川省射洪中学2020届高三上学期期中考试数学（文）

高三期中考试 文科数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1．已知全集，，，则集合 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2．设是虚数单位，复数满足，则的虚部为 ‎ A．1 B．‎-1 ‎C．-2 D．2‎ ‎3．已知命题：，，则为 ‎ A.， B.，‎ C.， D.，‎ ‎4． ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若，，则下列不等式正确的是 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎6．设满足约束条件，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7．若方程的解为，则所在区间为 A． B． C． D．‎ ‎8．曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为 ‎ A． B．或 C． D．或 ‎9．已知函数满足对任意，,都有成立，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10．设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数，若，，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若，则 ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知向量，若向量与垂直，则______．‎ ‎14．函数的一段图象如图所示则的解析式为______．‎ ‎15．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________．‎ ‎16．若点P是曲线上的任意一点，则点P到直线的最小距离是________.‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.（本大题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）若，求函数的最大值以及取得最大值时的值.‎ ‎18．（本大题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小值；‎ ‎(Ⅱ)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．‎ ‎19．（本大题满分12分）‎ 在中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）求证：成等差数列；‎ ‎(Ⅱ)若，的面积为，求.‎ ‎20．（14分）正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎(Ⅱ)求凸多面体的体积．‎ ‎21．（本大题满分12分）‎ 已知函数，‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的零点个数；‎ ‎（Ⅱ），不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求直线l和曲线C的直角坐标方程，并指明曲线C的形状；‎ ‎(Ⅱ)设直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且｜OA｜<｜OB｜，求.‎ ‎23．已知，不等式的解集为.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎(Ⅱ)当时，证明：.‎ ‎ ‎ 文科数学试题参考答案 ‎1-5:DCBDD 6-10:CCBDB 11-12:AB ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．（Ⅰ） .‎ ‎∴函数的最小正周期.‎ ‎（Ⅱ）∵，，∴∴.‎ 此时，∴.‎ ‎18．（1），‎ 对称轴是，‎ ‎①当，即时，在上为增函数，‎ 时，取最小值且； ‎ ‎②当，即时，‎ 时，取最小值且；‎ ‎③当，即时，在上为减函数， ‎ 时，取最小值且.‎ 综上所述：时，；时，；时，.‎ ‎（2）∵二次函数图象关于直线 对称，开口向上， ∴函数的单调减区间是，单调增区间是，‎ 由此可得或，即或时，‎ 在区间上是单调函数.‎ ‎19．（1）∵b（1+cosC）=c（2-cosB）， ‎ ‎∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC-sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC， ‎ ‎∴sinA+sinB=2sinC， ‎ ‎∴a+b=‎2c，即a，c，b成等差数列； ‎ ‎（2）∵C=，△ABC的面积为4=absinC=ab， ‎ ‎∴ab=16， ‎ ‎∵由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab， ‎ ‎∵a+b=‎2c， ‎ ‎∴可得：c2=‎4c2-3×16，解得：c=4. ‎ ‎20．（1）证明：∵平面，平面，‎ ‎∴．‎ 在正方形中，，‎ ‎∵，∴平面．‎ ‎∵，‎ ‎∴平面．………………7分 ‎（2）解法1：在△中，，，‎ ‎∴．‎ 过点作于点，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 又正方形的面积，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 故所求凸多面体的体积为．………………14分 解法2：在△中，，，‎ ‎∴．‎ 连接，则凸多面体分割为三棱锥 和三棱锥．‎ 由（1）知，．‎ ‎∴．‎ 又，平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎∴点到平面的距离为的长度．‎ ‎∴．‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故所求凸多面体的体积为．………………14分 ‎21．（1）∵． ‎ 当时，在上单调递减，且，‎ 有且只有一个零点； ‎ 当时，令得． ‎ 由得的单调递增区间为； ‎ 由得的单调递减区间为．‎ 的最小值为 当即时无零点 当 即时有一个零点 当 即时且，有两个零点． ‎ ‎（Ⅱ）∵， ‎ 则，即． ‎ 设，则问题转化为， ‎ 由，令 ‎ 当 单调递增 ‎，单调递减 当时，函数有极大值，即最大值为． ∴.‎ ‎22．(Ⅰ) 由消去参数t，得y =2x，由，得，所以曲线C的直角坐标方程为 ‎，即可得直线l和曲线C的直角坐标方程，曲线C的形状；‎ ‎(Ⅱ) 联立直线l与曲线C的方程，得，消去，得，设A、B对应的极径分别为，则，，‎ 所以即可得解.‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)由消去参数t，得y =2x，‎ 由，得，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为，‎ 即.‎ 即曲线C是圆心为(1，1)，半径r=1的圆. ‎ ‎(Ⅱ)联立直线l与曲线C的方程，得，消去，得，‎ 设A、B对应的极径分别为，则，，‎ 所以.‎ ‎23．（1），‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，恒成立；‎ 综合以上：‎ ‎（2）证明，‎ 只需，‎ 只需 ‎∵‎ 又∵，‎ ‎∴因此结果成立.‎