数学文卷·2019届内蒙古包头三十三中高二上学期期中考试（2017-10）
包33中2017~2018学年度第一学期期中Ⅰ考试
高二年级数学（文）试卷
命题人： 高金萍 审核：教科室 2017年10月16日
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。每题只有一个正确答案)
1. 若a>b>0,c
0,b>0)的最大值为40,则的最小值为( )
A. B. C.1 D.4
7.一个正方体与一个球的表面积相等,那么它们的体积比是( )
A. B. C. D.
8.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A. B. C. D.
9. 设产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是,若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
10.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则不等式cx2+bx+a<0的解集为( )
A. B.
C. D.
11.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈恒成立,则a的最小值为( )
A.0 B.-2 C. D.-3
12.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A. B. -1 C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13.如果关于x的方程x2+(m-1)x+m2-2=0有两个实数根,其中一个小于-1,另一个大于1,那么实数m的取值范围是 .
14．已知实数x,y满足不等式组目标函数z=y-ax(a∈R).若取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围是
15．圆心在直线2x-3y-1=0上的圆与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,则圆的标准方程为 ．
16. 一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸可得该几何体的表面积是
三、简答题(共70分),写出必要的解题过程.
17.（本题满分10分）已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.
(1)试判断l1与l2是否平行;
(2)当l1⊥l2时,求a的值.
18.（本题满分12分）如图所示,正四面体A-BCD的外接球的体积为,求正四面体的体积.
19.（本题满分12分）（1）求证: (其中a>3);
(2)已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证: .
20. （本题满分12分）某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元);
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大?最大利润是多少?
21. （本题满分12分）已知关于x,y的方程C:x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)若方程C表示圆,求m的取值范围;
(2)若圆C与圆x2+y2-8x-12y+36=0外切,求m的值;
(3)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且|MN|=,求m的值
22. （本题满分12分）已知圆C:(x+2)2+y2=2.
(1)求与圆C相切,且在x轴、y轴上的截距相等的直线l的方程;
(2)过圆C外一点P作圆C的一条切线,切点为M,O为坐标原点,若|PM|=|PO|,求点P的轨迹方程,并求此轨迹被圆x2+y2=1所截得的弦长.
包33中2017~2018学年度第一学期期中Ⅰ考试
高二年级数学（文）试卷答案
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
C
C
B
A
D
C
A
C
A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13((0，1) 14、； 15、； 16、
17 (1)若l1∥l2,则即也即∴a=-1,故当a=-1时,l1∥l2 …………………5
(2)∵l1⊥l2,∴A1A2+B2B1=0,即a+2(a-1)=0,∴a=,故当a=时,l1⊥l2…10
18.解析 设正四面体的外接球的半径为R,由已知得πR3=4π,故R=.
连接DE,O1D,因为AE为球的直径,故AD⊥DE,AE⊥O1D ……2
设AD=a,则由已知得O1D=×a=a,故AO1==a.
所以O1E=2R-AO1=2-a.
由△AO1D∽△DO1E知O1D2=AO1·O1E,解得a=2(a=0舍去) ……10
故正四面体的体积V=×a2·AO1=×8×= ……12
19解:(1)+a=+a-3+3.∵a>3,∴a-3>0 ……2
由基本不等式,得+a=+a-3+3≥2+3=2+3=7 ……4
当且仅当=a-3,即a=5时,等号成立 ……6
(2)∵a、b、c∈R+,且a+b+c=1,
∴++=++=3++++++≥3+2+2+2=9……10
当且仅当a=b=c=时等号成立. ……12
20. 1)依题意知每天生产的伞兵个数为100-x-y,
所以w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300 ………2
(2)约束条件为
整理得……6
目标函数为w=2x+3y+300.作出可行域如图所示,
当目标函数线经过点A时,w有最大值.
由得
即最优解为A(50,50),所以wmax=550 ……11
答：每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,最大利润为550
元. ……12
21. (1)把方程C:x2+y2-2x-4y+m=0配方得(x-1)2+(y-2)2=5-m,
若方程C表示圆,则5-m>0,解得m<5. ……4
(2)把x2+y2-8x-12y+36=0化为标准方程得(x-4)2+(y-6)2
=16,圆心坐标为(4,6),半径为4,则两圆心间的距离为=5,
因为两圆外切,所以4+=5,解得m=4.符合题意 ……8
(3)由(1)知圆心C的坐标为(1,2),则圆心C到直线l的距离d==,
所以()2=+d2,即5-m=+,整理得5-m=1,解得m=4.符合题意. ……12
22. (1)依题意可知在x轴、y轴上的截距相等的直线l分两种情况:
①直线l过原点,可设直线l的方程为y=kx,即kx-y=0,
由=,解得k=±1,故直线l的方程为x-y=0或x+y=0. ……3
②直线l不过原点,可设l的方程为+=1(a≠0),即x+y-a=0,
由=,解得a=0(舍去)或a=-4，故直线l的方程为x+y+4=0. ……6
所以直线l的方程为x-y=0或x+y=0或x+y+4=0.
(2)设P(x,y),由|PM|=|PO|,|PM|2=|PC|2-|CM|2,得x2+y2=(x+2)2+y2-2,
化简得点P的轨迹方程为x=-. ……10
直线x=-被圆x2+y2=1所截得的弦长为2= ……12
