北京市西城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 含解析

北京市西城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 含解析

‎2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷 一、选择题 ‎1.已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（　　）‎ A. {﹣1，1} B. {﹣2，0} C. {﹣2，0，2} D. {﹣2，﹣1，0，1}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用交集直接求解．‎ ‎【详解】∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，‎ A∩B＝{﹣2，0，2}．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2.方程组的解集是（　　）‎ A. {(1，﹣1),(﹣1，1)} B. {(1，1),(﹣1，﹣1)}‎ C. {(2，﹣2),（﹣2，2)} D. {(2，2),(﹣2，﹣2)}‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．‎ ‎【详解】方程组的解为或，‎ 其解集为　．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为，一个解可表示为．‎ ‎3.函数y＝的定义域是（　　）‎ A. [0，1) B. (1，+∞)‎ C. (0，1)∪(1,+∞) D. [0，1)∪(1,+∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组，解出即可求得定义域．‎ ‎【详解】依题意，，解得x≥0且x≠1，即函数的定义域为[0，1)∪ (1，+∞)，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．‎ ‎4.下列四个函数中，在(0，+∞)上单调递减的是（　　）‎ A. y＝x+1 B. y＝x2﹣‎1 ‎C. y＝2x D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，y＝x+1，为一次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；‎ 对于B，y＝x2﹣1，为二次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；‎ 对于C，y＝2x，为指数函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；‎ 对于D， ，为对数函数，在 (0，+∞)上单调递减，符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．‎ ‎5.设a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. b＜c＜a ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数和指数函数的性质求解，要借助于中间值0和1比较．‎ ‎【详解】∵log20.4＜log21＝0，∴a＜0，‎ ‎∵0.42＝0.16，∴b＝0.16，‎ ‎∵20.4＞20＝1，∴c＞1，‎ ‎∴a＜b＜c，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．‎ ‎6.若，，则一定有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据，有，由于，两式相乘有，故选B.‎ 考点：不等式的性质.‎ ‎7.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为成立，的符号是不确定的，所以不能推出成立，反之也不行，所以是既不充分也不必要条件，故选D．‎ 考点：充分必要条件的判断．‎ ‎8.某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（　　）‎ A. 2000(1﹣0.2x)mg B. 2000(1﹣0.2)xmg C. 2000(1﹣0.2x)mg D. 2000•0.2xmg ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数模型求得函数y与x的关系式．‎ ‎【详解】由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2000mg，经过x个小时后，‎ 药物在病人血液中的量为y＝2000× (1﹣20%)x＝2000×0.8x (mg)，‎ 即y与x的关系式为 y＝2000×0.8x．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题．‎ ‎9.如图，向量等于（　　）‎ A. 3﹣ B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量减法法则，表示出，然后根据加法法则与数乘运算得出结论．‎ ‎【详解】＝，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题基础．本题属于基础题．‎ ‎10.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象，给出下列四种说法，①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（　　）‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．‎ ‎【详解】由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，‎ 故图 (2)降低了成本，但票价保持不变，即②对；图 (3)成本保持不变，但提高了票价，即③对；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎11.已知方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+x22＝_____．‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用韦达定理代入即可．‎ ‎【详解】方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，‎ x1+x2＝4，x1x2＝1，‎ x12+x22＝ (x1+x2)2﹣2x1x2＝16﹣2＝14，‎ 故答案为：14．‎ ‎【点睛】考查韦达定理的应用，基础题．‎ ‎12.已知向量＝(1,﹣2)，＝(﹣3,m)，其中m∈R．若，共线，则||＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量共线的坐标表示求出m，再由模的坐标运算计算出模．‎ ‎【详解】∵，共线，∴m－6＝0，m＝6，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查向量的模，属于基础题．‎ ‎13.已知函数f(x)＝log3x．若正数a，b满足，则f(a)﹣f(b)＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接代入函数式计算．‎ ‎【详解】．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算，掌握对数运算法则是解题基础．本题属于基础题．‎ ‎14.函数的零点个数是_____；满足f(x0)＞1的x0的取值范围是_____．‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). （﹣1，0）∪（2，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接解方程求出零点即可知零点个数，注意分段函数分段求解．解不等式f (x0)＞1也同样由函数解析式去求解．‎ ‎【详解】时，，，当时，，共2个零点，即零点个数为2；‎ 当时，，，当时，，即，‎ ‎∴的的取值范围是．‎ 故答案为：2；．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数，已知分段函数值求自变量的值，解不等式都要分段求解，注意各段的取值范围即可．‎ ‎15.已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中c∈R．①集合∁RA＝_____；②若∀x∈R，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是_____．‎ ‎【答案】 (1). {x|﹣2＜x＜3} (2). （﹣∞，﹣2]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①先求出集合A，再利用补集的定义求出∁RA；‎ ‎②由对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，所以A∪B＝R，从而求出c的取值范围．‎ ‎【详解】①∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，‎ ‎∴∁RA＝{x|﹣2＜x＜3}；‎ ‎②∵对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，∴A∪B＝R，‎ ‎∵集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|x＞c}，‎ ‎∴c≤﹣2，‎ ‎∴c的取值范围是： (﹣∞，﹣2]，‎ 故答案为：{x|﹣2＜x＜3}； (﹣∞，﹣2]．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．‎ ‎16.给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是_____．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．‎ ‎【详解】对①，A＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；‎ 对②，A＝R，B＝ (0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；‎ 对③，A＝ (0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；‎ 故答案为：①③．‎ ‎【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．‎ ‎（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？‎ ‎（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．‎ ‎ (Ⅱ)记这5人中3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．‎ ‎【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为，女生人数为．‎ ‎ (Ⅱ)记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，‎ 则样本空间为：‎ Ω＝{ (B1，B2)， (B1，B3)， (B1，G1)， (B1，G2)， (B2，B3)， (B2，G1)， (B2，G2)， (B3，G1)， (B3，G2)， (G1，G2)}，‎ 样本空间中，共包含10个样本点．‎ 设事件A为“抽取的2人中恰有1名女生”，‎ 则A＝{ (B1，G1)， (B1，G2)， (B2，G1)， (B2，G2)， (B3，G1)， (B3，G2)}，‎ 事件A共包含6个样本点． 从而 所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎18.在直角坐标系xOy中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2．‎ ‎（Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：曲线C1和C2没有交点．‎ ‎【答案】（Ⅰ）f(2)＞1，理由见解析；（Ⅱ）(log25,3)；（Ⅲ）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)因为，求出f (2)的值，结合函数的单调性判断f (2)和1的大小．‎ ‎ (Ⅱ)因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f (x)＜‎1”‎，推出．求解即可．‎ ‎ (Ⅲ)求出两个函数的定义域，然后判断曲线C1和C2没有交点．‎ ‎【详解】解： (Ⅰ)因为，‎ 又函数y＝log3x是 (0，+∞)上的增函数，‎ 所以f (2)＝log34＞log33＝1．‎ ‎ (Ⅱ)因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f (x)＜‎1”‎，‎ 所以．‎ 因为 函数y＝log3x是 (0，+∞)上的增函数，‎ 所以 0＜8﹣2x＜3，‎ 即 5＜2x＜8，‎ 所以x的取值范围是 (log25，3)．‎ ‎ (Ⅲ)因为f (x)有意义当且仅当8﹣2x＞0，‎ 解得x＜3．‎ 所以f (x)的定义域为D1＝ (﹣∞，3)．‎ g (x)有意义当且仅当x﹣3≥0，‎ 解得x≥3．‎ 所以g (x)的定义域为D2＝[3，+∞)．‎ 因为D1∩D2＝∅，‎ 所以曲线C1和C2没有交点．‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．‎ ‎19.根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；‎ ‎（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）‎ ‎【答案】（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）；（Ⅲ）甲 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)由频率分布图中频率之和为1，可计算出a；‎ ‎ (II)事件“甲恰有1次中靶环数大于‎7”‎表示第一次中靶环数大于7，第二次中靶环数不大于7，和第一次中靶环数不大于7，第二次中靶环数大于1，由相互独立事件的概率公式可计算概率；‎ ‎ (III)估计两人中靶环数的均值差不多都是8，甲5个数据分布均值两侧，而乙6个数据偏差较大，甲较稳定．‎ ‎【详解】(I)由题意；‎ ‎ (II)记事件A甲中射击一次中靶环数大于7，则，‎ 甲射击2次，恰有1次中靶数大于7的概率为：‎ ‎；‎ ‎ (III)甲稳定．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布图，考查相互独立事件同时发生的概率，考查用样本数据特征估计总体的样本数据特征，属于基础题．‎ ‎20.已知函数．,‎ ‎（Ⅰ）证明：f(x)为偶函数；‎ ‎（Ⅱ）用定义证明：f(x)是(1，+∞)上的减函数；‎ ‎（Ⅲ）当x∈[﹣4，﹣2]时，求f(x)的值域．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)用偶函数定义证明；‎ ‎ (II)用减函数定义证明；‎ ‎ (III)根据偶函数性质得函数在上的单调性，可得最大值和最小值，得值域．‎ ‎【详解】(I)函数定义域是,‎ ‎,‎ ‎∴是偶函数；‎ ‎ (II)当时，，设，‎ 则，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴在上是减函数；‎ ‎ (III)由 (I) (II)知函数在上是增函数，‎ ‎∴，，‎ ‎∴所求值域为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础．‎ ‎21.设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C＝3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是 .‎ ‎（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；‎ ‎（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）确定5千件时，利润最大．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)用销售收入减去生产成本即得利润；‎ ‎ (II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量．‎ ‎【详解】(I)设利润是 (万元)，则，‎ ‎∴；‎ ‎ (II)时，，‎ 由“对勾函数”知，当，即时，，‎ 当时，是减函数，时，，‎ ‎∴时，，‎ ‎∴生产量为5千件时，利润最大．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题关键是列出函数解析式．属于基础题．‎ ‎22.设函数其中P，M是非空数集．记f(P）＝{y|y＝f(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝f(x)，x∈M}．‎ ‎（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；‎ ‎（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f(x)是定义在R上增函数，求集合P，M；‎ ‎（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．‎ ‎【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)求出f (P)＝[0，3]，f (M)＝ (1，+∞)，由此能过求出f (P)∪f (M)．‎ ‎ (Ⅱ)由f (x)是定义在R上的增函数，且f (0)＝0，得到当x＜0时，f (x)＜0， (﹣∞，0)⊆P． 同理可证 (0，+∞)⊆P． 由此能求出P，M．‎ ‎ (Ⅲ)假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f (P)∪f (M)＝R．证明0∈P∪M．推导出f (﹣x0)＝﹣x0，且f (﹣x0)＝﹣ (﹣x0)＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f (P)∪f (M)≠R”是真命题．‎ ‎【详解】(Ⅰ)因为P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，‎ 所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，‎ 所以f(P)∪f (M)＝[0，+∞)．‎ ‎ (Ⅱ)因为f (x)是定义在R上的增函数，且f (0)＝0，‎ 所以当x＜0时，f (x)＜0，‎ 所以(﹣∞，0)⊆P． 同理可证(0，+∞)⊆P．‎ 因为P∩M＝∅，‎ 所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．‎ ‎ (Ⅲ)该命题为真命题．证明如下：‎ 假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f (P)∪f (M)＝R．‎ 首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，‎ 则0∉f (P)，且0∉f (M)，‎ 即0∉f (P)∪f (M)，这与f (P)∪f (M)＝R矛盾．‎ 若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，‎ 所以x0∉f (P)，且﹣x0∉f (M)．‎ 因为f (P)∪f (M)＝R，‎ 所以﹣x0∈f (P)，且x0∈f (M)．‎ 所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．‎ 所以f (-x0)＝﹣x0，且f (-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，‎ 根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．‎ 综上，该命题为真命题．‎ ‎【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎