数学卷·2017届广西南宁二中、柳州高中、玉林高中高三上学期8月联考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2017届广西南宁二中、柳州高中、玉林高中高三上学期8月联考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年广西南宁二中、柳州高中、玉林高中高三（上）8月联考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合S={x|（x﹣1）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（　　）‎ A．[1，3] B．（﹣∞，1]∪[3，+∞） C．[3，+∞） D．（0，1]∪[3，+∞）‎ ‎2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．3‎ ‎3．已知||=1，||=2， •（﹣）=0，则向量与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知等比数列{an}中，a3=2，a4a6=16，则=（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎5．求sin16°cos134°+sin74°sin46°=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（　　）‎ A．7 B．9 C．11 D．13‎ ‎7．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如表2×2列联表：‎ 偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计 ‎50岁以下 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎50岁以上 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（　　）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ 附：参考公式和临界值表K2=‎ P（K2≥k）‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ A．90% B．95% C．99% D．99.9%‎ ‎8．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8，12，则输出的a=（　　）‎ A．4 B．2 C．0 D．14‎ ‎9．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=4bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则=（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎11．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（　　）‎ A．4π B．8π C．12π D．16π ‎12．设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2xf（x）+x2f′（x）＞0，则不等式（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞‎ ‎0的解集为（　　）‎ A．（2012，+∞） B．（0，2012） C．（0，2016） D．（2016，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．若x，y满足约束条件，那么的最大值是　　．‎ ‎14．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是　　．‎ ‎15．设当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=　　．‎ ‎16．若直线y=kx+b是曲线y=lnx+1的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（12分）Sn为数列的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn﹣1．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．（12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分，规定满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”，现从某班学生中随机抽取10名，如图茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；‎ ‎（1）指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（2）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；‎ ‎（3）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．‎ ‎（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；‎ ‎（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；‎ ‎（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1，‎ ‎（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）设g（x）=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．‎ ‎（1）过E做⊙O的切线，交AC与点D，证明：D是AC的中点；‎ ‎（2）若CE=3AO，求∠ACB的大小．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知直线l1：（t为参数），圆C1：（x﹣）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．‎ ‎（1）求圆C1的极坐标方程，直线l1的极坐标方程；‎ ‎（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|x|+|2x﹣3|，g（x）=3x2﹣2（m+1）x+；‎ ‎（1）求不等式f（x）≤6的解集；‎ ‎（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（x），求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广西南宁二中、柳州高中、玉林高中高三（上）8月联考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合S={x|（x﹣1）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（　　）‎ A．[1，3] B．（﹣∞，1]∪[3，+∞） C．[3，+∞） D．（0，1]∪[3，+∞）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．‎ ‎【解答】解：由S中不等式解得：x≤1或x≥3，即S=（﹣∞，1]∪[3，+∞），‎ ‎∵T=（0，+∞），‎ ‎∴S∩T=（0，1]∪[3，+∞），‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．‎ ‎【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1‎ 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．已知||=1，||=2， •（﹣）=0，则向量与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由•（﹣）=0，得到，展开数量积公式，代入已知条件得答案．‎ ‎【解答】解：∵||=1，||=2，且•（﹣）=0，‎ ‎∴，即＜＞﹣1=0，‎ ‎∴1×2×cos＜＞=1，cos＜＞=，‎ 则向量与的夹角为．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎4．已知等比数列{an}中，a3=2，a4a6=16，则=（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q，由于a3=2，a4a6=16，可得=2， =16，解得q2．可得=q4．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a3=2，a4a6=16，∴ =2， =16，‎ 解得q2=2．‎ 则==q4=4．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．求sin16°cos134°+sin74°sin46°=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算求值．‎ ‎【解答】解：sin16°cos134°+sin74°sin46°=﹣sin16°cos46°+cos16°sin46°=sin30°=，‎ 故选：A ‎【点评】本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（　　）‎ A．7 B．9 C．11 D．13‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】由﹣7＜1，1＜log312求f（﹣7）+f（log312）的值．‎ ‎【解答】解：∵﹣7＜1，1＜log312，‎ ‎∴f（﹣7）+f（log312）‎ ‎=1+log39+‎ ‎=1+2+4=7，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了分段函数的应用及对数运算的应用．‎ ‎　‎ ‎7．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如表2×2列联表：‎ 偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计 ‎50岁以下 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎50岁以上 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（　　）‎ 附：参考公式和临界值表K2=‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ A．90% B．95% C．99% D．99.9%‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】计算观测值，与临界值比较，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设H0：饮食习惯与年龄无关．‎ 因为K2==10＞6.635，‎ 所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查独立性检验，考查学生利用数学知识解决实际问题，利用公式计算观测值是关键．‎ ‎　‎ ‎8．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8，12，则输出的a=（　　）‎ A．4 B．2 C．0 D．14‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由a=8，b=12，不满足a＞b，‎ 则b变为12﹣8=4，‎ 由b＜a，则a变为8﹣4=4，‎ 由a=b=4，‎ 则输出的a=4．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=4bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】依题意，抛物线y2=2bx 的焦点F（b，0），由 （ b+c）：（c﹣b）=5：3可求得b，c关系，结合双曲线的性质即可求得此双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2=4bx的焦点F（b，0），线段F1F2被抛物线y2=4bx 的焦点分成5：3的两段，‎ ‎∴（b+c）：（c﹣b）=5：3，∴c=4b，‎ ‎∴c2=a2+b2=a2+，‎ ‎∴．‎ ‎∴此双曲线的离心率e=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查双曲线的简单性质与抛物线的简单性质，求得c=4b是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则=（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】二项式定理．‎ ‎【分析】运用二项式展开式的通项公式，化简整理，令x的次数为0，求出m，再由定积分的运算法则，即可求得．‎ ‎【解答】解：二项式（）6的展开式的通项公式为：Tr+1=，‎ 令12﹣3r=0，则r=4．‎ 即有m==3．‎ 则=（x2﹣2x）dx=（x3﹣x2）=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的运用：求特定项，同时考查定积分的运算，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（　　）‎ A．4π B．8π C．12π D．16π ‎【考点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】‎ 由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积．‎ ‎【解答】解：由已知中三棱锥的高为1‎ 底面为一个直角三角形，‎ 由于底面斜边上的中线长为1，‎ 则底面的外接圆半径为1，‎ 顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，‎ 由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；‎ 则三棱锥的外接球半径R为1，‎ 则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π 故选：A ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图出判断出三棱锥的几何特征，进而求出其外接球的半径是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2xf（x）+x2f′（x）＞0，则不等式（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0的解集为（　　）‎ A．（2012，+∞） B．（0，2012） C．（0，2016） D．（2016，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先构造函数g（x）=x2f（x），再根据导数和函数的单调性的关系得到g（x）在（0，+∞）为增函数，由（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0得到g（x﹣2014）＞g（2）根据函数的单调性即可求出答案 ‎【解答】解：令g（x）=x2f（x），‎ ‎∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），‎ ‎∵2f（x）+x2f′（x）＞0，‎ ‎∴g′（x）＞0，在（0，+∞）恒成立，‎ ‎∴g（x）在（0，+∞）为增函数，‎ ‎∵（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0，‎ ‎∴（x﹣2014）2f（x﹣2014）＞4f（2），‎ ‎∵g（2）=4f（2），‎ ‎∴g（x﹣2014）＞g（2）‎ ‎∴，‎ 解得x＞2016，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，两个函数乘积的导数的求法，而构造函数是解本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．若x，y满足约束条件，那么的最大值是　2　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合直线的斜率公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，‎ 那么z=的几何意义是区域内的点到定点（0，0）的斜率 由图象知OB的斜率最大，‎ 由可得B（2，4），‎ ‎∴z的最大值为z==2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是　{x|x≥3或x≤1}　．‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．‎ ‎【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上递增，f（1）=0，‎ ‎∴不等式f（x﹣2）≤0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），‎ 即|x﹣2|≥1，‎ 即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，‎ 即x≥3或x≤1，‎ 故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，‎ 故答案为：{x|x≥3或x≤1}．‎ ‎【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．‎ ‎　‎ ‎15．设当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=　﹣　．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）=sin（x+α）（其中，cosα=，sinα=），由题意可得θ+α=2kπ+，k∈z，即 θ=2kπ+﹣α，k∈z，再利用诱导公式求得cosθ 的值．‎ ‎【解答】解：当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x+α）取得最大值，‎ ‎（其中，cosα=，sinα=﹣），‎ ‎∴θ+α=2kπ+，k∈z，即 θ=2kπ+﹣α，k∈z，‎ ‎∴cosθ=cos（2kπ+﹣α）=cos（﹣α）=sinα=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．若直线y=kx+b是曲线y=lnx+1的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=　ln2　．‎ ‎【考点】变化的快慢与变化率．‎ ‎【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可 ‎【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+1和y=ln（x+2）的切点分别为（x1，lnx1+1）、（x2，ln（x2+2））；‎ ‎∵y=lnx+1，y=ln（x+2）‎ ‎∴y′=，y′=，‎ ‎∴k==，‎ ‎∴x1﹣x2=2，‎ 切线方程分别为y﹣（lnx1+1）=（x﹣x1），即为y=+lnx1，‎ 或y﹣ln（x2+2）=（x﹣x2），即为y=++lnx1，‎ ‎∴=0，‎ 解得x1=2，‎ ‎∴b=ln2‎ 故答案为：ln2‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（12分）（2016秋•玉林校级月考）Sn为数列的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn﹣1．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用递推关系可得，又an＞0，即可求出．‎ ‎（2）利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）依题意有①，‎ 当n=1时，（a1﹣1）2=0，解得a1=1，‎ 当n≥2是，（an﹣1+1）2=4Sn﹣1，②，‎ ‎①﹣②得（an+an﹣1）（an+an﹣1﹣2）=0，‎ ‎∵an＞0，‎ ‎∴an+an﹣1＞0，‎ ‎∴an﹣an﹣1﹣2=0（n≥2），‎ ‎∴{an}成等差数列，得an=2n﹣1．‎ ‎（2），‎ ‎【点评】‎ 本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•广西月考）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分，规定满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”，现从某班学生中随机抽取10名，如图茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；‎ ‎（1）指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（2）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；‎ ‎（3）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）直接利用茎叶图，写出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（2）设A1表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A，然后求概率；‎ ‎（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，求出概率，写出分布列，然后求解期望即可．‎ ‎【解答】解：（1）众数：87； 中位数：88.5‎ ‎（2）设A1表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A，则；‎ ‎（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，；‎ ‎；；；‎ 分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎．‎ 注：用二项分布直接求解也可以．‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，茎叶图的应用，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016•蚌埠一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．‎ ‎（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；‎ ‎（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）由平行四边形AA1C1C中AC=A1C1，结合题意证出△AA1C1为等边三角形，同理得△ABC1是等边三角形，从而得到中线BD⊥AC1，利用面面垂直判定定理即可证出BD⊥平面AA1C1C．‎ ‎（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC1与平面ABC的法向量，从而可算出二面角C1‎ ‎﹣AB﹣C的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1，‎ ‎∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，‎ ‎∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形，‎ 同理△ABC1是等边三角形，‎ ‎∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，‎ ‎∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，‎ 平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1，‎ ‎∴BD⊥平面AA1C1C．‎ ‎（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，‎ 平面ABC1的一个法向量为，设平面ABC的法向量为，‎ 由题意可得，，则，‎ 所以平面ABC的一个法向量为=（，1，1），‎ ‎∴cosθ=．‎ 即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于．‎ ‎【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015•黄山一模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；‎ ‎（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．‎ ‎（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．‎ ‎【解答】（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1． …（1分）‎ 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0． …（3分）‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以 y1+y2=4m，y1y2=﹣4． ①…（4分）‎ 因为，‎ 所以 y1=﹣2y2． ②…‎ 联立①和②，消去y1，y2，得． …（6分）‎ 所以直线AB的斜率是． …（7分）‎ ‎（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，‎ 从而点O与点C到直线AB的距离相等，‎ 所以四边形OACB的面积等于2S△AOB． …（9分）‎ 因为…（10分）‎ ‎=，…（12分）‎ 所以 m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4． …（13分）‎ ‎【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•安溪县期中）已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1，‎ ‎（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）设g（x）=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）首先求导得，再对a进行分类讨论，分别解不等式即可求出单调区间；‎ ‎（2）将条件对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2）转化为g（x2）≤f（x）min在x2∈[1，3]有解，再参变量分离，即2b在x2∈[1，3]有解，利用基本不等式可知，故b．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，‎ 当a=0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；‎ 当a＜0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；‎ 当时，f'（x）＞0得，∴f（x）的递增区间为f'（x）＜0得0＜x＜1或，∴f（x）的递减区间为（0，1）和．‎ ‎（2）当时，由（1）知，f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，∴，‎ 依题意有在x2∈[1，3]有解在x2∈[1，3]有解，‎ 又当且仅当时等号成立，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题的关键是利用导数性质将条件进行合理转化．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）（2016秋•玉林校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．‎ ‎（1）过E做⊙O的切线，交AC与点D，证明：D是AC的中点；‎ ‎（2）若CE=3AO，求∠ACB的大小．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】（1）利用圆的切线的性质、弦切角与等腰三角形的性质、直角三角形的性质即可证明．‎ ‎（2）；△ABE中，‎ ‎，BE=2AOsin∠ACB，代入化简基础即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OE，AE，∵AC是⊙O的切线，DE也是⊙O的切线，‎ ‎∴弦切角∠CAE=∠DEA，∴△ADE是等腰三角形，AD=DE，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°=∠CEA．‎ ‎∴D是△AEC的外心，即是AC的中点．‎ ‎（2）解：；△ABE中，，BE=2AOsin∠ACB；‎ ‎∴；‎ 解方程的，∴锐角∠ACB=30°．‎ ‎【点评】本题考查了圆与切线的性质、直角三角形的边角关系及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．（2016秋•秀峰区校级月考）已知直线l1：（t为参数），圆C1：（x﹣）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．‎ ‎（1）求圆C1的极坐标方程，直线l1的极坐标方程；‎ ‎（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）根据，求出极坐标方程即可；（2）求出，从而求出三角形的面积即可．‎ ‎【解答】解：（1）因为，将其代入C1展开整理得：‎ ‎，‎ ‎∴圆C1的极坐标方程为：，‎ l1消参得（ρ∈R），‎ ‎∴直线l1的极坐标方程为：（ρ∈R）．‎ ‎（2）‎ ‎⇒⇒，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了参数方程和极坐标方程以及普通方程的转化，考查求三角形的面积，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．（2016秋•玉林校级月考）已知函数f（x）=|x|+|2x﹣3|，g（x）=3x2﹣2（m+1）x+；‎ ‎（1）求不等式f（x）≤6的解集；‎ ‎（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（x），求m的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（1）通过讨论x的范围求出不等式组的解集，取并集即可；（2）通过讨论x的范围，得到关于m的不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）原不等式等价于或 或，‎ 解得或或﹣1≤x＜0．‎ 即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}．‎ ‎（2）①当x=0时，易知成立：当0＜x≤1时，，‎ 即在0≤x≤1时恒成立．‎ 因为0≤x≤1，所以当且仅当时，取到最小值3，‎ 故3≥2m+1，即m≤1．‎ ‎②当﹣1≤x＜0时，‎ 即在﹣1≤x＜0时恒成立；‎ 因为﹣1≤x＜0，所以当且仅当时取到最小值3，‎ 故3≥﹣2m+1，即m≥﹣1，‎ 综上可知，m的取值范围为[﹣1，1]．‎ ‎【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．‎ ‎　‎