数学理卷·2018届贵州省贵阳市第一中学高三12月月考（2017
理科数学试卷
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集为 ，集合 ， ，则图中阴影部分
表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2.已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3.直线 ： ， ： ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为
和 ，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ）
A． B． C. D．
5.已知平面向量 ， ， ，若 ，则 与 的夹角为
（ ）
A． B． C. D．
6.将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，再向右平移 个
单位长度，得到函数 的图象，则 图象的一条对称轴为（ ）
R { }ln(2 )A x y x= = − { }2 2 3 0B x x x= − − <
{ }1 2x x− < < { }2 3x x≤ < { }2 3x x< < { }1x x ≤ −
i z (1 ) 1 2i z i+ = − z =
5
2 1 5
2
10
2
1l 2 0ax y+ + = 2l 3 ( 2) 2 0x a y a+ − + = 3a = 1 2/ /l l
2
5
3
5
2
15
2
5
13
15
8
15
(4, 2)a = − 2 5b = (1, 2)c = − ( ) 3a b c+ ⋅ = b c
30° 60° 120° 150°
2sin(4 )3y x
π= + 2 3
π
( )y g x= ( )y g x=
A． B． C. D．
7.设定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ， ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C. D．
8.过抛物线 的焦点 作倾斜角为锐角 的直线 ，交抛物线于 ， 两点，
若 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C. D．
9.某三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的体积是 ，则该三棱锥的外接球的表面积为
（ ）
A． B． C. D．
10.已知双曲线 的两个焦点分别为 ， ，是双曲线上一点，且满足
，则 的面积为（ ）
A． B． C. D．
11.执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）
12x
π=
3x
π= 5
12x
π= 2
3x
π=
R ( )f x '( )f x '( ) ( )ln 2
f x f x> (1) 4f =
1( ) 2xf x +≥
[1,2] [1, )+∞ ( ,1]−∞ (0,1]
2 2 ( 0)y px p= > F α l A B
2FA BF= l
2 3 2 2 2 3
8
3
12π 16π 24π 48π
2
2 1( 1)x y aa
− = > 1F 2F
1 2 2 2PF PF a+ = + 1POF∆
2
a a 1 1
2
n
A． B． C. D．
12.若函数 ，（ ， 为自然对数的底数）与 的图
象上存在两组关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. 的展开式中 的系数为 ，则
．
14.设 满足约束条件 ，则 的最小值为 ．
15.设等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， 对任意 ，都有
，则 的值为 ．
16.已知函数 ，下列函数 的判断：① 的值域为 ；
② 在 上单调递减；③ 的图象关于 轴对称；④方程
至少有一个实根.其中判断正确的序号为 ．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
5 6 7 8
3 2 1y x x a= − − − 1( ,x ee
∈ e 2 3lny x x= −
x a
3
10, 2e
+
30, 4e − 3
3
1 2, 4ee
+ − 3
1 2,e
+ +∞
61(1 ) ( 0)x ax ax
+ + >
2x 240
0
4a
x dx2− =∫
,x y
1
2 1
1
x y
x y
x y
+ ≤
+ ≥ −
− ≤ −
2 2z x y= +
{ }na n nS 2017 0S > 2018 0S < *n N∈
n ma a≥ m
1( ) 1f x x
= − ( )f x ( )f x ( , 1) (0, )−∞ − ∪ +∞
( )y f x= (0, )+∞ ( )y f x= y
( ) ( 0)f x ax a= ≠
算步骤.）
17.在 中，角 , , 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（I）求证：角 , , 成等差数列；
（II）若 ，求 面积的最大值.
18.某购物站对在 7 座城市的线下体验店的广告费指出 （万元）和销售额 （万元）的数
据统计如下表：
城市
广告费支出
销售额
（I）若用线性回归模型拟合 与 关系，求 关于 的线性回归方程；
（II）若用对数函数回归模型拟合 与 的关系，可得回归方程 ，经计算
对数函数回归模型的相关系数约为 ，请说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预
测 城市的广告费用支出 万元时的销售额.
参考数据： ， ， ， ，
， .
参考公式： ， .
相关系数 .
19.在如图所示的几何体中，四边形 是等腰梯形， ， ，
平面 ， ， .
ABC∆ A B C a b c sin1 sin sin
B a
A C b c
− =+ +
A C B
3c = ABC∆
ix iy
A B C D E F G
ix
1 2 4 6 11 13 19
iy 19 32 40 44 52 53 54
y x y x
y x 12ln 22y x
∧
= +
0.95
A 8
7
1
294i
i
y
=
=∑ 7
1
2794i i
i
x y
=
=∑ 7
2
1
708i
i
x
=
=∑ 7
2
1
( ) 31.654i
i
y y
−
=
− =∑
260 16.125≈ ln 2 0.6931≈
1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
− −
∧
=
−
=
− −
=
−
∑
∑
a y b x
∧ − ∧ −
= −
1
2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
− −
=
− −
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
ABCD / /AB CD 60DAB °∠ =
FC ⊥ ABCD AE BD⊥ AD DC CF= =
（I）求证： 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的余弦值.
20.已知椭圆 ： 过点 ， ， 分别是椭圆的左、右焦点，
以原点为圆心，椭圆 的短轴长为直径的圆与直线 相切.
（I）求椭圆 的方程；
（II）过点 的直线 交椭圆 于 ， ，求 内切圆面积的最大值和此时直线 的
方程.
21.已知函数 ， .
（I）若 ，求 的单调区间；
（II）若对任意的 ， 都有 成立，求实数 的取值范围.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），点 是曲
线 上的一动点，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的方程为
.
（I）求线段 的中点 的轨迹的极坐标方程；
（II）求曲线 上的点到直线 的距离的最大值.
23.选修 4-5：不等式选讲
设函数 .
/ /FC AED
AF BDF
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 31, 2A
1F 2F
C 6 0x y− + =
C
2F l C P Q 1F PQ∆ l
( ) ln af x x x x
= + 3 2( ) 5g x x x= − −
0a = ( )f x
1x 2x 1 ,22
∈ 1 2( ) 2 ( )f x g x− ≥ a
C 2 2cos
2sin
x
y
α
α
= +
=
α P
C x l
2 sin 14
πρ θ − = ( 0)ρ >
OP M
C l
( ) 1 1f x x x= − − +
（I）作出函数 的图象并求其值域；
（II）若 ，且 ，求 的最大值.
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A C C C B C A D D A
【解析】
1． ， ，图中阴影部分表示 ，故选
B．
2．因为 ，所以 ，所以
，故选 D．
3．若 ，则 ，且 ，解得 或 ，∴“ ”是“ ”
的充分不必要条件，故选 A．
4．分别设甲、乙两贫困户获得扶持资金为事件 A，B， ， ，“这两户中至
少有一户获得扶持资金”的对立事件是“这两户都没有获得扶持资金”，概率为
，所以这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为 ，故选
C．
5．设向量 与 的夹角为 ，由 得 ，所以 ，
( )f x
max
3 ( )4m f x= 2 2 22 3a c b m+ + = 2ab bc+
{ | 2}A x x= < { | 1 3}B x x= − < < ( ) { | 2 3}B A x x=
( ) ln 2 ( ) 0f x f x′ − >
( )( ) 2x
f xg x = ( ) ln 2 ( )( ) 02x
f x f xg x
′ −′ = >
( )( ) 2x
f xg x = (1)(1) 22
fg = = 1( ) 2xf x +≥
( ) 22x
f x ≥ ( ) (1)g x g≥ 1x≥
| |BF x= | | 2AF x= A B
1A 1B 1| |BB x=
1| | 2AA x= B 1AA H | |AH x=
| | 2 2BH x= tan 2 2α =
a 3 2 31 1 1 84 3 2 3 3V a a a a= − × × = = 2a =
2 2 3r =
24π 12πS r= =
1 2| | | |PF PF> 1 2| | | | 2PF PF a− = 1 2| | | | 2 2PF PF a+ = +
1| | 2PF a a= + + 2| | 2PF a a= + − 1 2| | 2 1F F a= +
2 2
1 2| | | |PF PF+
2
1 2| |F F= 1 2PF F 1 2 90F PF∠ = ° 1 2PF F 1 2
1 | | | |2 PF PF
1 2 12
= × =
1 1 2
1 1
2 2POF PF FS S= =△ △
1 1 1
2 1 1
(2 1)(2 1) 2 1 2 1
n
n n n n+ + += −− − − − 1 1
1 1
2 1 2 1nS += −− −
126
127S =
7n = 126
127S > 254
255S = 8n = 126
127S >
8n =
图 1
12．由题意，问题等价于方程 在 上有两个解，即方程
在 上有两个解. 设 ，则
，所以当 时， ， 单调递减；当 时， ，
单调递增；于是 有最小值为 ，又 ， ，
，由图可知，若方程 在 上有两个解，则
，所以 ，故选 A．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
答案 ③④
【解析】
13． 的展开式的通项 ．令 ，不合题意，
舍去；令 ，得 ，所以 的展开式中 的系数是 ，
得 （舍负），所以 ．根据 的几何意义是以原点为圆心， 为半径
的圆面积的 ，所以 ．
14．由约束条件作出可行域，如图 2 所示． 表示可行
域内的点 到原点 距离的平方，由图可知，
．
15．∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，所以 且
，故对任意 ，都有 ，∴ ．
16．画出函数 的图象，如图 3，由此判断③，④正确．
3 2 21 ( 3ln )x x a x x− − − = − − 1 ee
，
3 3ln 1x x a− = + 1 ee
， 3( ) 3lnf x x x= − 2 3( ) 3f x x x
′ = −
33( 1)x
x
−= 1 1e x <≤ ( ) 0f x′ < ( )f x 1 ex< ≤ ( ) 0f x′ >
( )f x ( )f x (1) 1f = 3
1 1 3e ef = +
3(e) e 3f = −
1 (e)ef f <
3 3ln 1x x a− = + 1 ee
，
3
11 1 3ea< + +≤ 3
10 2ea< +≤
π 1
2 1009
61ax x
+
6 6 6 2
1 6 6
1C ( ) C
r
r r r r r
rT ax a xx
− − −
+
= = 6 2 1r− =
6 2 2r− = 2r =
61(1 )x ax x
+ +
2x 2 4
6C 240a =
2a = ± 2a = 2 2
0
4 dx x−∫ 2
1
4
2 2
0
4 d πx x− =∫
2 2z x y= +
( )P x y， (0 0)O ，
2
min 2 2
| 0 0 1| 1
21 ( 1)
z
− + = = + −
1 2017
2017
2017( ) 02
a aS
+= > 1 2017 1009 10090 2 0 0a a a a+ > ⇒ > ⇒ >
1 2018
2018
2018( ) 02
a aS
+= < 1 2018 1009 10100 0a a a a+ < ⇒ + < 1010 0a <
1010 1009| | | |a a> n ∗∈N 1009| | | |na a≥ 1009m =
1( ) | | 1f x x
= −
图 2
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）证明：由 ，得 ，
由正弦定理 ，化简得 ，
根据余弦定理 ，
∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，所以角 A，C，B 成等差数列． ……………（6
分）
（Ⅱ）解：根据余弦定理得 ，
∴ ，当且仅当 时“ ”成立，
则△ 的面积为 ，
所以△ 面积的最大值为 ． ……………………………………（12
分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由已知得， ， ，根据参考公式和数据得
，
∴ ，
∴ 关于 的线性回归方程为 ． …………………………………（6
分）
（Ⅱ） ，
∵ ，∴对数函数回归模型更合适，
当 万元时，预测 A 城市的销售额为 万元．
……………………………………（12
sin1 sin sin
B a
A C b c
− =+ +
sin sin sin
sin sin
A B C a
A C b c
− + =+ +
a b c a
a c b c
− + =+ +
2 2 2a b c ab+ − =
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
+ −= =
(0 π)C ∈ ， π
3C =
πA B C+ + = 2A B C+ =
2 2 2 2 22 cos 2c a b ab C a b ab ab ab ab= + − = + − − =≥
9ab≤ a b= =
ABC 1 3 9 3sin2 4 4S ab C ab= = ≤
ABC 9 3
4
8x = 42y =
1 1
222 2
1 1
( )( ) 2794 7 8 42 1.7708 7 8( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b
x x x nx
= =
= =
− − − − × ×= = = =− ×− −
∑ ∑
∑ ∑
42 1.7 8 28.4a y bx= − = − × =
y x 1.7 28.4y x= +
1
2 2
1 1
( )( ) 442 0.8716.125 31.654( ) ( )
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
= = ≈×− −
∑
∑ ∑
0.87 0.95<
8x = ˆ 12ln8 22 36ln 2 22 46.95y = + = + ≈
图 3
分）
19．（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）证明：∵四边形 ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，
∴BC=DC，∠ADC=∠BCD=120°，∴∠CDB=30°，
∴∠ADB=90°，即 BD⊥AD．
又 AE⊥BD， =A，∴BD⊥平面 AED，
又 BD 平面 ABCD，∴平面 AED⊥平面 ABCD．
如图 4，过 E 作 EG⊥AD 于 G，则 EG⊥平面 ABCD，
又 FC⊥平面 ABCD，∴FC∥EG．
又 EG 平面 AED，FC 平面 AED，
∴FC∥平面 AED． ……………………（6 分）
（Ⅱ）解：如图 5，连接 AC，由（Ⅰ）知 AC⊥BC，
∵FC⊥平面 ABCD，
∴CA，CB，CF 两两垂直．
以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C−xyz．
设 BC ，则 AC ，AB ，
， ， ，
，∴ ，
， ．
设平面 BDF 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ， ，则 ．
设直线 AF 与平面 BDF 所成角为 ，则 ，
故直线 AF 与平面 BDF 所成角的余弦值为 ． ……………………………（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
AE AD
⊂
⊂ ⊄
2= 2 3= 4=
(0 0 2)F ， ， (0 2 0)B ， ， ( 3 1 0)D −， ，
(2 3 0 0)A ， ， ( 2 3 0 2)AF = − ， ，
( 3 3 0)BD = − ， ， (0 2 2)FB = − ， ，
( )n x y z= ， ，
0
0
n BD
n FB
= =
，
，
3 3 0
0
x y
y z
− = − =
，
，
1y = 3x = 1z = ( 3 1 1)n = ，，
θ | | 5sin 5| || |
n AF
n AF
θ = =
2 5
5
图 4
图 5
解：（Ⅰ）以原点为圆心，椭圆 的短轴长为直径的圆的方程为 ，
由题意， ，所以 ．
∵点 在椭圆上，∴ ，解得 ，
∴椭圆 C 的方程为 ． …………………………………………………（4
分）
（Ⅱ）由 ，
根据椭圆定义， ，所以 ，
于是求△ 内切圆面积的最大值即为求△ 面积的最大值．
设直线 l 的方程为 ， ， ，则
消去 得 ，所以 ， ．
因为 ，点 到直线 的距离为 ，
所以△ 的面积为 ．
令 ，则 ．
∵ 在 上单调递增，∴当 时， 取得最大值为 3，
此时 ，直线 l 的方程为 ，
内切圆的半径为 ，所以内切圆面积的最大值为 ． ……………………（12
分）
21．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）若 ，则 ， ，
由 得 ；由 得 ，
C 2 2 2x y b+ =
| 0 0 6 |
2
b
− + = 3b =
31 2A
， 2 2
1 9 14a b
+ = 2 4a =
2 2
14 3
x y+ =
1
1 1| | | | | |
2F PQ
PF QF PQS r
+ += △ 内切圆
1 1| | | | | | =4 8PF QF PQ a+ + =
1
4F PQS r= △ 内切圆
1F PQ 1F PQ
1x ty= + 1 1( )P x y， 2 2( )Q x y，
2 2
14 3
1
x y
x ty
+ =
= +
，
，
x 2 2(3 4) 6 9 0t y ty+ + − = 1 2 2
6
3 4
ty y t
+ = − + 1 2 2
9
3 4y y t
= − +
2 2
1 2 1 2| | = (1 ) ( ) 4PQ t y y y y + + − 1F l 2
2
1
h
t
=
+
1F PQ 1 | |2S PQ h= 2
1 2 1 2= ( ) 4y y y y+ −
2
2 2
112 (3 4)
t
t
+= +
2 1t u+ = ( 1)u≥ 2 2
112 12 12 1(3 1) 9 6 1 9 6
u uS u u u u u
= = =+ + + + +
19y u u
= + [1 )+ ∞， 1u = S
0t = 1x =
3
4
9π
16
0a = ( ) lnf x x x= ( 0)x > ( ) ln 1f x x′ = +
( ) 0f x′ > 1
ex > ( ) 0f x′ < 10 ex< <
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ． ……………（4
分）
（Ⅱ） ，所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
又 ， ，所以 在 上的最大值为
．
由题意，若对任意的 ，都有 成立，
即对任意的 ，都有 恒成立，即 恒成立，
即 对任意的 恒成立，所以 ．
设 ， ，则 ， ，
所以 在 上单调递减，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
∴ 在 上的最大值为 ，∴ ，
所以 的取值范围是 ． ………………………………………………（12
分）
22．（本小题满分 10 分）【选修 4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）设线段 的中点 的坐标为 ，
由中点坐标公式得 （ 为参数），
消去参数得 的轨迹的直角坐标方程为 ，
由互化公式可得点 的轨迹的极坐标方程为 ． ……………………（5
( )f x 1
e
+ ∞ ， 10 e
，
2( ) 3 2 (3 2)g x x x x x′ = − = − 1 2
2 3x <≤ ( ) 0g x′ < ( )g x
2 23 x≤ ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x
1 1 1 4152 8 4 8g = − − = − (2) 8 4 5 1g = − − = − ( )g x 1 22
，
1−
1 2
1 22x x ∈ ， ， 1 2( ) 2 ( )f x g x− ≥
1 22x ∈ ， ( ) 1f x ≥ ln 1ax x x
+ ≥
2 lna x x x−≥ 1 22x ∈ ， 2
max( ln )a x x x−≥
2( ) lnh x x x x= − 1 22x ∈ ， ( ) 1 2 lnh x x x x′ = − − ( ) 2ln 3h x x′′ = − −
( )h x′′ 1 22x ∈ ， 1( ) 2ln 2 3 02h x h ′′ ′′ = − < ≤
( ) 1 2 lnh x x x x′ = − − 1 22x ∈ ， (1) 0h′ =
1 12 x <≤ ( ) 0h x′ > ( )h x
1 2x< ≤ ( ) 0h x′ < ( )h x
2( ) lnh x x x x= − 1 22x ∈ ， (1) 1h = 1a≥
a [1 )+ ∞，
OP M ( )x y，
1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
，
，
α
M 2 2( 1) 1x y− + =
M 2cosρ θ=
分）
（Ⅱ）由直线 的极坐标方程为 ，得 ，
所以直线 的直角坐标方程为 ，
曲线 的普通方程为 ，它表示以 为圆心，2 为半径的圆，
则圆心到直线 的距离为 ，所以直线 与圆相离，
故曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 ． ………………（10
分）
23．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ）由 ……………………………（2
分）
如图 6 所示， ……………………（4 分）
值域 ． ……………………………（5 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， …………（6 分）
∵
∴ ∴ 的最大值为 ，
当且仅当 时，等号成立． ……………………………………… （10
分）
l 2 sin 14
ρ θ π − = 2 sin cos cos sin 14 4
ρ θ θπ π − =
l 1 0x y− + =
C 2 2( 2) 4x y− + = (2 0)，
l 2 2
| 2 0 1| 3 2 221 ( 1)
d
− += = >
+ − l
C l 3 2 22d r+ = +
2( 1)
( ) | 1| | 1| 2 ( 1 1)
2( 1)
x
f x x x x x
x
< −
= − − + = − −
− >
，
≤ ≤ ，
，
2 2y ∈ −[ ， ]
max
3 3( )4 2m f x= =
2 2 2 2 2 2 23 2 3 ( ) 2( ) 2 42 m a c b a b c b ab bc= = + + = + + + +≥ ，
32 4ab bc+ ≤ ， 2ab bc+ 3
4
1
2a b c= = =
图 6