2010年普通高等学校招生全国统一考试 理数(天津卷)

2010年普通高等学校招生全国统一考试 理数(天津卷)

‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学 （理工类）‎ 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至11页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 注意事项：‎ ‎1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。‎ ‎2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。‎ ‎3. 本卷共10小题，每小题5分，共50分。‎ 参考公式：‎ ‎·如果事件A，B互斥，那么 ·如果事件A，B相互独立，那么 ‎ P（AB）=P（A）+P（B）. P(AB)=P(A)P(B).‎ ‎·棱柱的体积公式V=Sh. ·棱锥的体积公式V=Sh.‎ ‎ 其中S表示棱柱的底面积， 其中S表示棱锥的底面积.‎ ‎ H表示棱柱的高 h表示棱锥的高.‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）i是虚数单位，复数=‎ ‎（A）1+i （B）5+5i （C）-5-5i （D）-1-i ‎(2)函数的零点所在的一个区间是 ‎（A）（-2，-1） （B）（-1，0） （C）（0，1） （D）（1，2）‎ ‎（3）命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题是 ‎（A）若是偶函数，则是偶函数 ‎（B）若是奇数，则不是奇函数 ‎（C）若是奇函数，则是奇函数 ‎（D）若是奇函数，则不是奇函数 ‎（4）阅读右边的程序框图，若输出S的值为-7，则判断框内可填写 ‎（A）i<3? ( B)i<4?‎ ‎(C) i<5? (D)i<6?‎ ‎（5）. 已知双曲线的一条渐近线方程式是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）已知{a}是首项为1的等比数列，是的前n项和，且．则数列的前5项和为[来源:‎ ‎（A）或5 （B）或5 （C） （D） ‎ ‎（7）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，sinC=2sinB，则A=‎ ‎（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°‎ ‎（8）设函数f（x）= 若，则实数的取值范围是 ‎ （A） （Ｂ） [来源:学科网]‎ ‎（Ｃ） （Ｄ）‎ ‎（9）设集合A＝，B＝．若，则实数必满足 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（10）如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有 ‎ ‎（A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．‎ ‎（11）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数．则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 ．‎ ‎(12 ) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．‎ ‎（13）已知圆C的圆心是直线（为参数）与轴的交点，且圆C与直线相切．则圆C的方程为 ．‎ ‎（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P．若，，则的值为 ．‎ ‎ ‎ ‎（15）如图，在中，，，则= ．‎ ‎ ‎ ‎（16）设函数，对任意, 恒成立，则实数m的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 已知函数=2．‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎(Ⅱ)若，，求的值．‎ ‎(18)(本小题满分12分)[来源:Zxxk.Com]‎ 某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．‎ ‎(Ⅰ)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；‎ ‎(Ⅱ)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；‎ ‎(Ⅲ)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 如图，在长方体中，分别是棱，上的点，，．‎ ‎(Ⅰ)求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎(Ⅱ)证明⊥平面；‎ ‎(Ⅲ) 求二面角的正弦值．‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知椭圆(＞＞0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4．求的值．‎ ‎（21）（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；‎ ‎(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称．证明当x>1时，f(x)>g(x)；‎ ‎ (Ⅲ)如果且证明．‎ ‎（22）（本小题满分14分）‎ 在数列中，，且说对任意，成等差数列，其公差为．‎ ‎(Ⅰ)若=2k，证明成等比数列（）；‎ ‎(Ⅱ)若对任意，成等比数列，其公比为．‎ ‎ （i）设1．证明是等差数列；‎ ‎ (ii)若，证明．‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）参考解答 三、解答题 ‎（17）本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.‎ ‎（Ⅰ）解：由，得 ‎.‎ 所以函数的最小正周期为.‎ 因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又 ‎，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知.‎ 又因为，所以.‎ 由，得.‎ ‎（18）本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.‎ ‎（Ⅰ）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率 ‎.‎ ‎（Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =.‎ ‎（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为.‎ ‎ ；‎ ‎ =；‎ ‎；‎ ‎（19）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分12分.‎ 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 点A为坐标原点.设,依题意得,‎ ‎,,.‎ ‎（Ⅰ）解：易得,.‎ 于是.‎ ‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（Ⅱ）证明：已知,,.‎ 于是·=0，·=0.因此，,.又.‎ 所以平面.‎ ‎(Ⅲ)解：设平面的法向量，则,即.‎ 方法二：（Ⅰ）解：设AB=1，可得AD=2，AA1=4，CF=1，CE=.‎ 连接B‎1C，BC1，设B‎1C与BC1交于点M.易知A1D∥B‎1C.由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角.易知BM=CM=,所以[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎.‎ 所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为.‎ ‎（Ⅱ）证明：连接AC，设AC与DE交点N.‎ ‎ 因为，所以.‎ 从而.又由于,所以.‎ 故AC⊥DE.又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF.从而AF⊥DE.‎ 连接BF，同理可证B‎1C⊥平面ABF,从而AF⊥B‎1C,所以AF⊥A1D.因为，所以AF⊥平面A1ED.‎ ‎(Ⅲ)解：连接A1N，FN.由（Ⅱ）可知DE⊥平面ACF.又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF，DE⊥A1N，故为二面角A1-ED-F的平面角.‎ 易知，所以.又，所以.在中.在中，.‎ 连接A‎1C1，A‎1F. 在.‎ 在中，.所以.‎ 所以二面角A1-DE-F正弦值为.‎ 由得 设线段AB的中点为M，则M的坐标为 以下分两种情况：‎ ‎（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是 ‎（21）本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分[来源:学|科|网]‎ ‎（Ⅰ）解：‎ 令,解得x=1‎ 当x变化时，，的变化情况如下表 X ‎()‎ ‎1‎ ‎()‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 所以在()内是增函数，在()内是减函数.‎ 函数在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)‎ 令F(x)=f(x)-g(x),即 ‎（Ⅲ)证明：（1）‎ 若，由（Ⅰ）及，得与矛盾 ‎（2）若，由（Ⅰ）及，得与矛盾 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以>,即>2.‎ ‎(22)本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.‎ ‎（Ⅰ）证明：由题设，可得 所以 由=0，得从而 于是.‎ 所以成等比数列.‎ ‎（Ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及 成等比数列，得 当≠1时，可知≠1，k 从而，即，‎ 所以是等差数列，公差为1.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（ii）证明：由，，可得，从而=1.由（i）有 ‎，得 ‎ ‎ ‎+‎ ‎ ‎ 所以，从而 ‎(2)当n为奇数时，设n=‎2m+1（）‎ 所以从而···‎ 综合（1）和（2）可知，对任意,,有 ‎（ii）证明：因为所以.‎ 所以，从而，.于是，由（i）可知是公差为1的等差数列.由等差数列的通项公式可得=，故.‎ 从而.‎ 所以，由，可得 ‎.‎ 于是，由（Ⅰ）可知 以下同证法一.‎