陕西省西安地区八校联考2020届高三上学期第一次数学(文)试题

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陕西省西安地区八校联考2020届高三上学期第一次数学(文)试题

西安市教育学会教研信息专业委会员2020届高三卷•启用前机密 西安地区陕师大附中 西安高级中学 西安高新一中 西安交大附中 西安市83中 西安市85中 西安市一中 西安铁一中 西安中学 西工大附中八校联考 ‎2020届高三年级数学(文科)试题 注意事项:‎ ‎1. 答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.‎ ‎2. 选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.‎ ‎3. 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.‎ ‎4. 保持纸面清洁,不折叠,不破损.‎ ‎5. 若做选考题时,考生应按照题目要求作答,并在答题纸上对应的题号后填写.‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集运算结果求解即可 ‎【详解】,‎ ‎,‎ 则 故选:D ‎【点睛】本题考查集合交集运算,属于基础题 ‎2.复数(为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数运算的除法法则求解即可 ‎【详解】,在复平面内对应的点为 故选:A ‎【点睛】本题考查复数的除法运算,复数与复平面的对应关系,属于基础题 ‎3.函数的零点个数为( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导,令,再根据极值点的正负进一步判断零点个数即可 ‎【详解】由,令得或,‎ 当时,单调递增,当时,函数单调递减,‎ ‎,画出函数图像,如图所示:‎ 故函数图像有两个零点 故选:C ‎【点睛】本题考查导数研究函数零点个数,属于基础题 ‎4.若实数,满足,则的最小值为( )‎ A. -2 B. ‎-3 ‎C. -5 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,画出可行域,再根据目标函数与可行域的位置关系求解即可 ‎【详解】如图所示,画出目标可行域,可转化为,‎ 当交于点时,有最小值,求得,代入得 故选:A ‎【点睛】本题考查根据二元一次方程组求目标函数的最小值,属于基础题 ‎5.在一次技能比赛中,共有12人参加,他们的得分(百分制)茎叶图如图,则他们得分的中位数和方差分别为( )‎ A. 89 54.5 B. 89 53.5‎ C. 87 53.5 D. 89 54‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中位数和方差定义求解即可 ‎【详解】由题可知,中位数为:,先求平均数:‎ 故中位数为:89,方差为53.5‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查茎叶图的识别,中位数与方差的求法,属于基础题 ‎6.已知(为自然对数的底数),若,则函数是( )‎ A. 定义域为的奇函数 B. 在上递减的奇函数 C. 定义域为的偶函数 D. 在上递增的偶函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,结合分段函数,先求出,再求出的具体表达式,进一步分析即可 ‎【详解】,则,‎ 则,画出反比例函数的图像,显然B项符合 故选:B ‎【点睛】本题考查分段函数的求值,函数图像奇偶性增减性的判别,属于基础题 ‎7.已知点到抛物线的准线的距离为5,则抛物线的焦点坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合抛物线第一定义和图像即可求解 ‎【详解】可变形为,则焦点坐标为,由抛物线第一定义,点到抛物线准线的距离为5,即,即,解得,则抛物线焦点坐标为 故选:C ‎【点睛】本题考查抛物线的基本性质,熟悉抛物线基本表达式特征,明确焦点位置,是解题关键,属于基础题 ‎8.已知正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为,且三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,画出大致图像,确定球心在的连线上,再结合几何关系和勾股定理进行求解即可 ‎【详解】‎ 如图,由几何关系可知,,先将三角形转化成平面三角形,‎ 如图:‎ ‎,由勾股定理解得,,则,由勾股定理可得,即,解得,球体的表面积为:‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查锥体外接球表面积的求法,解题关键在于找出球心,属于中档题 ‎9.若为实数,则“”是“”成立的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解不等式可得,是的真子集,故“”是“”成立的必要不充分条件.‎ 故选B.‎ ‎10.函数的单调递增区间为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数化简,再结合正弦函数增区间的通式求解即可 ‎【详解】,再令 ‎,解得 故选:A ‎【点睛】本题考查正弦型三角函数单调区间的求法,属于基础题 ‎11.已知双曲线:的左焦点为,过且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为(为双曲线的离心率),则双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设左焦点的坐标为,直线与曲线的两交点坐标为,代入双曲线方程可解得纵坐标,通过题设的通径可得参数基本关系,再结合即可求解 ‎【详解】设,直线与曲线的两交点坐标为,将代入,解得,则,解得,又因为,联立得:,即双曲线的渐近线方程为:‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查双曲线通径的使用,双曲线的基本性质,无论是椭圆还是双曲线,通径公式都为,属于中档题 ‎12.陕西关中的秦腔表演朴实,粗犷,细腻,深刻,再有电子布景的独有特效,深得观众喜爱.戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查,发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系,年龄在,,,的爱看人数比分别是0.10,0.18,0.20,0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段,如42代表.由此求得爱看人数比关于年龄段的线性回归方程为.那么,年龄在的爱看人数比为( )‎ A. 0.42 ‎B. ‎0.39 ‎C. 0.37 D. 0.35‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,可列出关于的表格,求出,代入,求出,即可求解 ‎【详解】由题,对数据进行处理,得出如下表格:‎ 年龄段 ‎42‎ ‎47‎ ‎52‎ ‎57‎ 爱看人数比 ‎0.10‎ ‎0.18‎ ‎0.20‎ ‎0.30‎ 求得,,因样本中心过线性回归方程,将代入,得,即,年龄在对应的为,将代入得:,对应的爱看人数比为:0.35‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查线性回归方程的应用,样本中心过线性回归方程是一个重要特征,属于中档题 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上)‎ ‎13.已知平面向量,,且,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题,根据,即向量平行的坐标运算即可求出参数 ‎【详解】,,因为,所以,解得 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标运算,属于基础题 ‎14.在3与156之间插入50个数,使这52个数成等差数列,则插入的50个数的和等于______.‎ ‎【答案】3975‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列下标性质进行求解即可 ‎【详解】由题,可设,则,‎ 故 故答案为:3975‎ ‎【点睛】本题考查等差数列下标性质的应用,属于基础题 ‎15.从1,2,3,5,6,7中任意取三个数,则这三个数的和为偶数的概率为______.‎ ‎【答案】0.6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,采用列举法,表示出所有的情况,再选出符合题意的个数,结合古典概型公式求解即可 ‎【详解】由题可知,所有可能的情况为:,‎ ‎,共计20个 其中符合题意的有:‎ ‎,共计12个 故这三个数的和为偶数的概率为:‎ 故答案为:0.6‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的计算,正确表示各个数的形式是解题关键,属于基础题 ‎16.金石文化,是中国悠久文化之一.“金”是指“铜”,“石”是指“石头”,“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件.在一千多年前,有一种凸多面体工艺品,是金石文化的代表作,此工艺品的三视图是三个全等的正八边形(如图),若一个三视图(即一个正八边形)的面积是,则该工艺品共有______个面,表面积是______.‎ ‎【答案】 (1). 26 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由三视图还原出立体图,再结合立体图特点求解表面积即可 ‎【详解】‎ 由立体图可确定该几何体由26个面构成,其中有18个正方形面和8个正三角形面构成,‎ 先研究正视图,若设中间的正方形的边长为,则(正视图长度会被压缩),该正八边形面积为,解得 ‎18个正方形面积为:,8个正三角形的面积为:‎ 故表面积为:‎ 故答案为:26;‎ ‎【点睛】本题考查由三视图还原立体图,多面体表面积的求法,还原立体图形、正确理解三视图与立体图线段关系是解题关键,属于难题 三、解答题(本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)‎ ‎17.已知的内角、、的对边分别为、、,且,,边上的中线的长为.‎ ‎(1)求角、的大小;‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎【答案】(1), (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将展开,结合余弦定理即可求得,‎ 再由可得,结合三角形内角和公式可求得;‎ ‎(2)结合(1)可判断为等腰三角形,结合余弦定理即可求得,再结合正弦面积公式即可求解 ‎【详解】(1)由,得.‎ ‎∴.‎ ‎∵,∴,‎ 由,得,‎ ‎∴,由此得.‎ 又,∴,即.‎ ‎(2)由(1)知,,则,‎ 在中,由余弦定理,得 ‎,‎ 解得.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形,属于中档题 ‎18.已知四棱锥中,底面四边形为平行四边形,为的中点,为上一点,且(如图).‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)当平面平面,,时,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)要证平面,即证平面的一条线段,可连接,交于点,通过相似三角形证明即可;‎ ‎(2)采用等体积法进行转化,,平面平面,可通过几何关系先求出点到平面的距离,再结合求得点到平面的距离,结合体积公式即可求解;‎ ‎【详解】(1)证明:取的中点,连接,,,连接.‎ ‎∵四边形为平行四边形,,分别为,的中点,‎ ‎∴根据平行线分线段成比例定理得,‎ 又,得,‎ ‎∴,又在平面内,不在平面内,‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)‎ 由题意,得,,‎ ‎.连接,(为的中点),‎ 则,,且,.‎ ‎∵平面平面,,在平面内,.‎ ‎∴平面,‎ ‎∵,得点到平面的距离就是,‎ 又,‎ ‎∴到平面的距离为.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明,锥体体积的求法,属于中档题 ‎19.已知数列的前项和为,设.‎ ‎(1)若,,且数列为等差数列,求数列的通项公式;‎ ‎(2)若对任意都成立,求当为偶数时的表达式.‎ ‎【答案】(1) (2)(为偶数)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意求出公差,即可求出通项公式;‎ ‎(2)由,当时,,两式作差可得,再令,则,结合前项和公式即可求解;‎ ‎【详解】(1)∵,,,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ 设等差数列为的公差为,则.‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎(2)对任意,都成立,即 ①‎ 当时,②‎ ‎①-②得.‎ 令,则,‎ ‎∴,‎ 故(偶数).‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的基本求法,由与求数列前项和,对运算能力有较高要求,属于中档题 ‎20.已知函数在区间上单调递减.‎ ‎(1)求的最大值;‎ ‎(2)若函数的图像在原点处的切线也与函数的图像相切,求的值.‎ ‎【答案】(1)-1 (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过求导,再将函数在上单调递减作等价转化,可得在上恒成立,求得,即可求解;‎ ‎(2)可先求出过原点的切线方程,再设函数的图像在处的切线为,根据点斜式得出,又,结合点经过,即可求解 ‎【详解】解:(1)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∵函数在区间上为减函数.‎ ‎∴即,在上恒成立,‎ 当时,,则当即时,取最小值-1.‎ ‎∴,‎ ‎∴的最大值为-1.‎ ‎(2)的定义域为,的定义域为.‎ 由,得.‎ ‎∴函数的图像在原点处的切线方程为,‎ 由,得,‎ 设函数的图像在处的切线为,‎ 则: ①.且过原点,,‎ 将,代入①,解得.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查用导数和函数增减性求解参数问题,具体切线方程中参数的求法,学会等价转化,分离参数是解决参数类问题常用方法,属于中档题 ‎21.已知,,顺次是椭圆:的右顶点、上顶点和下顶点,椭圆的离心率,且.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若斜率的直线过点,直线与椭圆交于,两点,试判断:以为直径的圆是否经过点,并证明你的结论.‎ ‎【答案】(1) (2)经过,证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意,列出相应表达式,再结合,即可求解;‎ ‎(2)可联立直线和椭圆的标准方程,结合韦达定理表示出两根和与积的关系,再由向量证明即可;‎ ‎【详解】(1)解:由題意得,,,.‎ ‎∴即,‎ 设椭圆的半焦距为,得方程组,解得,‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)方法一:以为直径的圆经过点.理由如下:‎ ‎∵椭圆:,.直线的斜率,且过点.‎ ‎∴直线:,‎ 由消去,并整理得,‎ ‎,直线与椭圆有两个交点.‎ 设,,则,.‎ ‎∵‎ ‎.‎ ‎∴以为直径的圆经过点.‎ 方法二:同方法一,得,.‎ ‎∴‎ ‎.‎ 设的中点为,则,.‎ ‎∴.‎ ‎∴以为直径的圆经过点.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,韦达定理、向量法在解析几何中的应用,属于中档题 ‎22.在直角坐标系中,直线经过点,其倾斜角为,以原点为极点,以轴非负半轴为极轴,与直角坐标系取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程和极坐标方程;‎ ‎(2)若直线与曲线有公共点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)普通方程为,极坐标方程为 (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由得,代入,化简即可求得曲线的普通方程,再结合 ‎,即可求解的曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)设直线方程为,由直线与曲线有公共点可得圆心到直线距离,可解得,进而求得的取值范围 详解】(1)显然,参数,由得,‎ 代入并整理,得,‎ 将,代入,得,‎ 即.‎ ‎∴曲线的普通方程为,‎ 极坐标方程为.‎ ‎(2)曲线的直角坐标方程为,曲线是以为圆心,半径为2的圆.‎ 当时,直线:与曲线没有公共点,‎ 当时,设直线的方程为.‎ 圆心到直线的距离为.‎ 由,得.‎ ‎∴,即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查曲线的普通方程和极坐标方程的求法,直线与圆的位置关系,属于中档题 ‎23.已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若存在,使成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)采用取绝对值方法可求得的分段函数,分三组方程求解即可;‎ ‎(2)存在,使成立,即求出在区间的最大值,使得即可求解的取值范围 ‎【详解】解:(1)∵,‎ ‎∴不等式等价于下列不等式组,‎ ‎①或②或③,‎ 由①得,得,由②得,得;‎ 由③得,得.‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎(2)区间上,当时,;‎ 当时,;‎ 当时,.‎ ‎∴在区间上,.‎ 由存在使成立,得,得或.‎ ‎∴的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,存在性问题的等价转化,属于中档题
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